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1、2002年世界数学大会会标第1页/共77页第2页/共77页1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如图的正方形孔吗？第3页/共77页正方形矩形2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？第4页/共77页第5页/共77页第6页/共77页第7页/共77页第8页/共77页第9页/共77页第10页/共77页第11页/共77页 创设情景情景一问题:从这个图形中你想到了什么？第12页/共77页A AB BC CD D第13页/共77页A AB BC CD D第14页/共77页A AB BC CD D第15页/共77页A AB BC CD D第16页/共77页A AB BC CD D第17页/共77页A AB
2、 BC CD D第18页/共77页A AB BC CD D第19页/共77页A AB BC CD D第20页/共77页A AB BC CD DA AB B情景二当当CDCD移动到移动到 位置，且位置，且 时，此时，此时的图形还是矩形吗？时的图形还是矩形吗？图中图中CDCD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CDCD在移动的过程中始终保持与在移动的过程中始终保持与ABAB平行）平行）第21页/共77页邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形第22页/共77页菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？第23页/共77页两组对边分别平行
3、有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形第24页/共77页平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形第25页/共77页菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。第26页/共77页第27页/共77页回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列平行四平行四边形边形矩矩 形形 (所特有所特有)菱形菱形 (所特有所特有)边边角角对角线对角线图形的图形的对称性对称性对边平行且相等四条边
4、相等对边平行且四条边相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形图形性质分类正方形第28页/共77页对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。边:对边平行 四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.第29页/共77页 你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）第30页/共77页平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、
5、正方形菱形 2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法第31页/共77页四条边相等，四个角都是直角对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。第32页/共77页第33页/共77页对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结第34页/共77页5种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且
6、一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结第35页/共77页第36页/共77页(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（）判断题:第37页/共77页（6）正方形一定是矩形（）（7）正方形一定是菱形（）（8）菱形一定是正方形（）（9）矩形一定是正方形（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形 （）（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴()(1
7、3)四个角都相等的四边形是正方形 ()(14)四条边都相等的四边形是正方形 ()第38页/共77页1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.BD选择题:第39页/共77页3、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形D第40页/共77页 4四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形 B、菱形 C
8、、矩形 D平行四边形 5在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA第41页/共77页6 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形A第42页/共77页1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。ABCDEGF7.5试一试第43页/共77页4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，则AC=,正方形的面积S=_.2246365.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
9、，且AC6 cm，面积S=_.则边长AB_,第44页/共77页5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。若AB=BC，则四边形ABCD是（）若AC=BD，则四边形ABCD是（）若BCD=900，则四边形ABCD是（）若OA=OB，则四边形ABCD是（）若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是 （）菱形矩形矩形矩形正方形第45页/共77页如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？ABCDE解：BE=DE.因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以 BE=DE第46页/共77
10、页已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证：ABO BCO CDO ADO 例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形。第47页/共77页3如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，分析：要证明BMCN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？还需要的条件是 AMBNABMBCN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：第48页/共77页例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于
11、M、N，求证：BMCN。证明：OAOMOBONOMONOMN13ONM45又MNAB12345OAOB AB=BC四边形ABCD是正方形即：AM=BNABMBCNBM=CN第49页/共77页例3、直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。ABCDEF四边形ABCD是正方形（)DE=DF()DEAC，DFBC CD平分ACB 四边形ABCD为矩形()而ACB=90 DEC=90，DFC=90证明：DEAC，DFAB有三个角是 直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形第50页/共77页4已知：如图(4)在正方形ABCD中，F
12、为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45分析：欲证MFD45，由于MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即只要证 _=_要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?试一试看能不能完成证明?CMDADF第51页/共77页例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45证明：DM=DFRtCDMRtADF(AAS)又CDAD，ADFMDC=Rt12CMDAMEADCAEM90CEAF 四边形ABCD是正方形MFD45第52页/共77页1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AED
13、C和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)ACFDCB (2)BHAF 练一练第53页/共77页2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG 证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS)CEAABG第54页/共77页3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？DCBADCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。第55页/共77
14、页ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。第56页/共77页6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)第57页/共77页1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）课外拓展：第58页/共77页 如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直
15、的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）请你当设计师第59页/共77页1已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，如图(2)。求：AC的长及正方形的面积S。EFG矩形EFCG的周长。第60页/共77页6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。OABCDE第61页/共77页7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF第62页/共77页8、如图，正方形ABCD的边长为8，
16、M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN第63页/共77页8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN第64页/共77页9、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，求证：四边形ADCE是矩形。当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。ABCEMND第65页/共77页10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理
17、由。（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC第66页/共77页11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP第67页/共77页思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，
18、试判断线段AM于BN之间的关系.探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。第68页/共77页探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？第69页/共77页构建与证构建与证明明ODCBA如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD求证：四边形ABCD是正方形。八年级 数学第十九章 四边形第70页/共77页数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多 （）个（）个（）个（）个第n个图中正
19、方形有 个3n-1长见识八年级 数学第十九章 四边形第71页/共77页 四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数8解：四边形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450 ABCDOEF(2)若AC=4，则正方形边长 ;正方形的面积是4(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离22第72页/共77页 AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EFAC交BC于F.请说明：EC=EF=FBABCDEF解：四边形ABCD是正方形 B=900,ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL）BF=EF 又FEC=900,ECF=45EFC=45 EC=EF（等角对等边）BF=EF=EC第73页/共77页2.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EFFEPDCBA第74页/共77页 成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。-爱迪生 在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点-马克思第75页/共77页2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能求这矩形色块的面积吗？课外拓展：第76页/共77页感谢您的观看！第77页/共77页