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1、19.2.3 19.2.3 正方形正方形平行四边形平行四边形情境一：观察体会有一个直角有一个直角有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角矩形矩形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等
2、矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形你能给正方形下一个定义吗？你能给正方形下一个定义吗？问题问题:情景二情景二图中图中图中图中CDCD在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形在平移时，这个图形始终是怎样的图形？当当当当CDCD移动到移动到移动到移动到C C D D 位置，此时位置，此时位置，此时位置，此时ADAD ABAB，四，四，四，四边形边形边形边形ABCDABCD还是矩
3、形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？还是矩形吗？A AB BC CD DA AB BC C D D 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形两组互相垂直的平行线围成矩形ABCDABCDABCDABCD矩 形正方形正方形矩形矩形一组邻边相等时一组邻边相等时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢?探究（一）探究（一）菱菱 形形正方形正方形探探 究（二）究（二）菱形菱形有一个角是直角有一个角是直角时时变成怎样的图形呢变成怎样的图形呢?探究小结探究小结矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等发现：发现：一组邻边相等的矩形一组邻边相等的矩
4、形 叫正方形叫正方形 菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形正方形发现：发现：一个角为直角的菱形叫一个角为直角的菱形叫正方形正方形如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？平行四边形平行四边形正方形正方形矩形矩形菱形菱形一组邻边相一组邻边相等等一组邻边相一组邻边相等等一一内角是直内角是直角角一一内角是直内角是直角角平行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角定义：定义：一组一组邻边相等邻边相等，且有，且有一个角是直角一个角是直角的平行四边的平行四边形叫做形叫做正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四边形平行四边形正正形形方方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
5、平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。形，也是特殊的菱形。回顾回顾平行四边形平行四边形，矩形矩形，菱形菱形的性质，的性质，完成表格前三列完成表格前三列平行四平行四边形边形矩矩 形形 (所特有所特有)菱形菱形 (所特有所特有)边边角角对角线对角线图形的图形的对称性对称性对边平行对边平行且相等且相等四条边相等四条边相等对边平行对边平行且且四条边相等四条边相等对角相等对角相等四个角都四个角都是直角是直角四个角都四个角都是直角是直角对角线互对角线互相平分相平分对角线对角线相等相等对角线对角线互相互相垂直垂直
6、，每条，每条对角线平分对角线平分一组对角一组对角对角线对角线相等相等且且互互相垂直平分相垂直平分，每，每条对角线平分一条对角线平分一组对角组对角中心对称中心对称图形图形既是既是中心对中心对称图形称图形又是又是轴对称图形轴对称图形既是既是中心对中心对称图形称图形又是又是轴对称图形轴对称图形既是既是中心对中心对称图形称图形又是又是轴对称图形轴对称图形图形性质分类正方形正方形对角线：对角线：相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。每条对角线平分一组对角。边边:对边平行对边平行 四边相等四边相等角角：四个角都是直角四个角都是直角图形的对称性：图形的对称性：既是轴对称图形既是轴对称图
7、形,又是中心对称图形又是中心对称图形.1 1.已知：正方形已知：正方形ABCDABCD对角线对角线ACAC、BDBD相相交于点交于点O O，且，且ABAB2cm2cm，则，则AC=AC=,正方形的面积正方形的面积S=_.S=_.224 46 636361 1.已知：在正方形已知：在正方形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面积面积S=S=_.则边长则边长ABAB_,例题例题1如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，点中，点E在对角线在对角线AC上，那么，上，那么，BE和和DE相等吗？相等吗？为什么？为什么？ABCDE解：
8、解：BE=DE.因为因为 对角线对角线AC所在的直所在的直线是正方形线是正方形ABCD的对的对称轴，而点称轴，而点E在对称轴上，在对称轴上，点点B为点为点D关于关于AC的对的对称点，称点，所以所以 BE=DE2.在正方形在正方形ABCD中，点中，点P是对角线是对角线AC上一点，上一点，PEAB，PFBC，垂，垂足分别是点足分别是点E、F.求证：求证：DP=EFFEPDCBA3、如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8，M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一个动上一个动点，求点，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN例例例例2
9、 2、如图，四边形、如图，四边形、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD是正方形，延长是正方形，延长是正方形，延长是正方形，延长BCBC到到到到E E，使使使使CE=ACCE=AC，连接，连接，连接，连接AEAE，交，交，交，交CDCD于于于于F F，求求求求E E，AFCAFC的的的的度数度数度数度数.A AB BD DC CE EF F练习：练习：练习：练习：1 1、如图，正方形、如图，正方形、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD中，中，中，中，BE=BDBE=BD，求，求，求，求E EA AB BC CD DE E练练:正方形正方形ABCD中，中，M为为AD中点，中点，MEBD
10、于于E，MFAC于于F,若若ME+MF=8cm，则，则AC=_.课堂练习课堂练习例例3.已知正方形已知正方形ABCD中中,AC=10,P是是AB上一点上一点,PEAC于于E，PFBD于于F,则则PE+PF=_.53016cm2.以正方形以正方形ABCD的一边的一边DC向外作等边向外作等边DCE,则则AEB=AEB=_._._._.PABCDEFOEABCDMABCDEFO分析：分析：PE=AE，PF=OEPEPFOA1 1、如图：正方形如图：正方形ABCDABCD的周长为的周长为15cm15cm，则矩则矩形形EFCGEFCG的周长为的周长为 cmcm。ABCDEGF7.57.5试一试试一试2.
11、正方形正方形ABCD中中DAF=25,AF交对角交对角线线BD于于E,交交CD于于F,求求 BEC的度数的度数.ABCDEF若若DCE=30则则DAF=3.AC为正方形为正方形ABCD的对角线，的对角线，E为为AC上一点，上一点，且且AB=AE，EFAC交交BC于于F.请说明：请说明：EC=EF=FBABCDEF解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形 B=900,ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL）BF=EF 又又FEC=900,ECF=45EFC=45 EC=EF（等角对等边）等角对等边）BF=EF=EC4如图如图(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、
12、BD相交于相交于O，分析：分析：要证明要证明BMCN，大家观察大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等图形可以考虑证哪两个三角形全等?MNAB且且MN分别交分别交OA、OB于于M、N，求证：求证：BMCN。你能完成证明吗你能完成证明吗?ABBC，1245 条件够吗？条件够吗？还需要的条件是还需要的条件是 AMBNABMBCN你所要证明的两个三角形已经满足你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：由正方形可以得到的条件有：5 5、已知：如图已知：如图(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F F为为CDCD延长线上一点，延长线上一点，CEAFCEAF
13、于于E E，交，交ADAD于于M M，求证：求证：MFDMFD4545证明：证明：DM=DFDM=DFRtCDMRtADFRtCDMRtADF(AAS)(AAS)又又CDCDADAD，ADFADFMDC=MDC=RtRt1 12 2CMDCMDAMEAMEADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形MFDMFD45456 6、如图，在、如图，在ABAB上取一点上取一点C C，以，以ACAC、BCBC为正为正方形的一边在同一侧作正方形方形的一边在同一侧作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG连结连结AFAF、BDBD延长延长BDBD交交AF
14、AF于于H H。求证：求证：(1)ACFDCB (1)ACFDCB (2)BHAF(2)BHAF 7 7、如图、如图(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，连结连结BGBG、CECE，交点为交点为N N。求证：求证：CEACEAABGABG 证明：证明：四边形四边形ABDEABDE和四边形和四边形ACFGACFG是正方形。是正方形。AEAEABABAGAGACAC1 12 29090又又EACEAC1 1BACBAC9090BACBACBAGBAG2 2BACBAC9090BACBAC EACEACBAGBAG AECABGAECABG(SA
15、S)(SAS)CEACEAABGABG8、如图、如图B、C、E是同一直线上的三个点，是同一直线上的三个点，四边形四边形ABCD与与CEFG是正方形，连接是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想）观察、猜想BG与与DE之间的大小关之间的大小关系，并说明理由。系，并说明理由。（2）正方形）正方形CEFG在绕点在绕点C旋转过程中，旋转过程中，BG与与DE之间的关系是否仍然成立。之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC9、如图，、如图，M为正方形为正方形ABCD边边AB的中点，的中点，E是是AB延长线上一点，延长线上一点，MNDM，且交，且交CBE的平分线于点的平分线于点N。（1）求证：）
16、求证：MD=MN（2）若将上述条件中的）若将上述条件中的“M是是AB的中点的中点”改为改为“M为为AB上任意一点上任意一点”，其它条件不，其它条件不变，问结论变，问结论MD=MN是否仍然成立。是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP思考题：思考题：如图正方形如图正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O O，O O又是另一个正方形又是另一个正方形OEFGOEFG的一个顶点，若正方形的一个顶点，若正方形OEFGOEFG绕点绕点O O旋转，在旋转的过程中旋转，在旋转的过程中.探究二探究二:若正方形若正方形OEFGOEFG与正方形与正方形ABCDABCD两边两边分别相交于分别相交
17、于M NM N，试判断线段，试判断线段AMAM于于BNBN之间之间的关系的关系.探究一探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。发生变化？并说明理由。探究四：探究四：如图，有两个大小不等的两个正如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为积的一半，若阴影部分的面积为8 8，则小正，则小正方形的边长为多少？方形的边长为多少？探究三探究三:若正方形若正方形OEFGOEFG继续旋转时，继续旋转时，AM AM 与与 BNBN之间的关系是否还之间的关系是否还成立？成立？平
18、行四边形平行四边形正方形正方形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角1 1、正方形正方形菱形菱形 2 2、一内角是直角一内角是直角矩形矩形3 3、一组邻边相等一组邻边相等正方形正方形正方形的判定方法：正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法定义法菱形法菱形法矩形法矩形法5种判种判定方法定方法三个角是直角三个角是直角四条边相等四条边相等一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一组邻边相等一组邻边相等或或对角线垂直对角线垂直一个角是直角一个角是直角或或对角线相等对角线相等一个角是
19、直角且一组邻边相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结正方形的判定正方形的判定方法方法1：w定义:一组邻边相等且有一个角是直角的一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形平行四边形是正方形w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:四边形ABCD是平行四边形,A=900,又AB=BC,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是平行四边形,A=900.AB=BCABCD四边形ABCD是矩形.正方形的判定正方形的判定方法方法2：w有一个有一个组邻边相等组邻边相等的的矩形矩形是正方形是正方形w求证:四边形ABCD是正方形.
20、w证明:四边形ABCD是矩形,又AB=BC,AB=BC=CD=AD四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.ABCDA=B=C=D=90，AD=BC,AB=CD.正方形的判定正方形的判定方法方法3w有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.w证明:AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.A=B=C=900.四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,A=90
21、0.ABCDw对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.ACBD,四边形ABCD是菱形.ABC=900.四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.ABCDO正方形的判定正方形的判定方法方法4w对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.w求证:四边形ABCD是正方形.w证明:AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.AC=BD,四边形ABCD是矩形.AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.w已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC
22、=BD.ABCDO正方形的判定正方形的判定方法方法5归纳：归纳：正方形的正方形的4种种判定判定方法方法w1 1、有一有一组邻边相等组邻边相等的的矩形矩形是正方形是正方形w2 2、有一个角是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形.w3 3、对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形.w4 4、对角线相等的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形.(1)(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（等腰直角三角形（）(2)(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)(3)如果一
23、个菱形的对角线相等，那么它一定如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形是正方形 （）(4)(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （）(5)(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（是正方形（）判断题判断题:（6）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（）（7）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（）（8）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（）（9）矩形一定是正方形（）矩形一定是正方形（）(10)正正方方形形、矩矩形形、菱菱形形都都是是平平行行四四边边形形 （）（12）正方形
24、是轴对称图形）正方形是轴对称图形,一共有一共有2条对称轴条对称轴()(13)四个角都相等的四边形是正方形四个角都相等的四边形是正方形 ()(14)四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 ()1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等、四个角相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角互补、对角互补.D、对角线相等、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等、四条边相等.B、对角线互相垂直平分、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角、对角线平分一组对角.
25、D、对角线相等、对角线相等.BD选择题选择题:3、下列命题正确的是（、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形、对角线互相垂直的矩形是正方形D 4四个内角都相等的四边形一定是（四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D平行四边形平行四边形 5在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点，是对角线的交点，能判定这个四边形是正能判定这个四边形是正
26、 方形的是：（方形的是：（）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA6 四个内角都相等，四条边也都相等的四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（四边形一定是：（）A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平平行四边形行四边形A例例3 3、直角三角形直角三角形ABCABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求证：四边形求证：四边形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF四边形四边形ABCDABCD是正方形（是正方形（)DE=DF()DE=DF()DEACDEAC，DFB
27、CDFBC CDCD平分平分ACBACB 四边形四边形ABCDABCD为矩形为矩形()()而而ACB=90ACB=90 DEC=90DEC=90，DFC=90DFC=90证明：证明：DEACDEAC，DFABDFAB有三个角是有三个角是 直直角的四边形是矩角的四边形是矩形形角平分线的定理角平分线的定理有一组邻边相有一组邻边相等的矩形是正等的矩形是正方形方形练习、在正方形中，点练习、在正方形中，点，分别在，上，分别在，上，且且 .四边形四边形 是正方形吗？为什么？是正方形吗？为什么？DCBADCBA2 2、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中点的中点,DEAB,
28、DEAB,DFAC,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.1)1)试说明试说明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一个条件只添加一个条件,使四边形使四边形EDFAEDFA是正方形是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法请你至少写出两种不同的添加方法.(.(不另外不另外添加辅助线添加辅助线,无需证明无需证明)3 3、已知，如图在、已知，如图在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CEANCEAN垂足为点垂足为点E E，求证：四边形求证：四边形ADCEADCE是矩形。是矩形。当
29、当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形 ADCEADCE是正方形，说明理由。是正方形，说明理由。ABCEMND1 1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）？（至少说出三种）课外拓展：课外拓展：如何设计花坛？如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均的小路，使得两条直的小路将花坛
30、平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三宽度），你有几种方法？（至少说出三种）种）请你当设计师请你当设计师1已知：正方形已知：正方形ABCD对角线对角线AC、BD相相交于点交于点O，且，且AB2cm，如图如图(2)。求：求：AC的长及正方形的面积的长及正方形的面积S。EFG矩形EFCG的周长。2 2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由图，由6 6个颜色不同的正方形组成，若中间最小个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为的一个正方形边长为1 1，你能求这矩形色块的面，你能求这矩形色块的面积吗？积吗？课外拓展：课外拓展：