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1、2023/2/221第2章 预备知识 第3节 内积空间 第2节 线性空间 第4节 索伯列夫空间HK Institute of Mechanical Engineering and Automation第6节 小结 第1节 概述 第5节 Galerkin变分原理和Ritz变分原理 第1页/共46页2023/2/222第1节 概 述 本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论，目的在于对于有限元解的收敛性以及单元精度问题能有确切的了解。对于有限元方法的数学研究，目前已进行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著1,2。实际上有限元解是有限元插值函数的线性组合，因此，有限元解空间为函数
2、空间(即某种函数的集合)。相关的概念可以从泛函分析书籍中了解3。概述Institute of Mechanical Engineering and Automation1李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用M.西安:西安交通大学出版社,1992.2陈传淼,黄云清.有限元高精度理论M.长沙:湖南科学技术出版社,19953李广民,刘三阳.应用泛函分析原理M.西安:西安电子科技大学出版社,2003第2页/共46页2023/2/223第2节 线性空间线性空间的定义 Institute of Mechanical Engineering and Automation第3页/共46页2023/2/2
3、24第2节 线性空间线性空间的定义 Institute of Mechanical Engineering and Automation第4页/共46页2023/2/225第2节 线性空间线性空间的维数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第5页/共46页2023/2/226第2节 线性空间线性空间的维数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第6页/共46页2023/2/227第2节 线性空间线性空间的模/范数 Institute of Mechanical Engi
4、neering and Automation第7页/共46页2023/2/228第2节 线性空间线性空间的模/范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第8页/共46页2023/2/229第2节 线性空间线性空间的模/范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第9页/共46页2023/2/2210第2节 线性空间线性空间的模/范数 Institute of Mechanical Engineering and Automation第10页/共46页2023/2/221
5、1第3节 内积空间内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第11页/共46页2023/2/2212内积模/范数Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间第12页/共46页2023/2/2213正交性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间第13页/共46页2023/2/2214正交性Institute of Mechanical Engineering and Automation第
6、3节 内积空间第14页/共46页2023/2/2215许瓦兹不等式Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间第15页/共46页2023/2/2216收敛性与完备性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间第16页/共46页2023/2/2217收敛性与完备性Institute of Mechanical Engineering and Automation第3节 内积空间第17页/共46页2023/2/2218Sobolev空间HK定义Instit
7、ute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第18页/共46页2023/2/2219Sobolev空间HK定义Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第19页/共46页2023/2/2220Sobolev空间HK定义Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第20页/共46页2023/2/2221Sobolev空间HK定义Institute of Mechanic
8、al Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第21页/共46页2023/2/2222Sobolev空间HK的模/范数Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第22页/共46页2023/2/2223Sobolev空间HK的半模/范数Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第23页/共46页2023/2/2224能量模/范数和能量内积Institute of Mechanical Enginee
9、ring and Automation第4节索伯列夫空间HK 第24页/共46页2023/2/2225能量模/范数和能量内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第25页/共46页2023/2/2226能量模/范数和能量内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第4节索伯列夫空间HK 第26页/共46页2023/2/2227能量模/范数和能量内积Institute of Mechanical Engineering and Automation第4
10、节索伯列夫空间HK 第27页/共46页2023/2/2228Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 椭圆型PDEs实例考察具有定解的椭圆型偏微分方程边值问题 其中p(x,y)一阶连续可导，且p(x,y)p00,(x,y)0且连续，n是的外法线方向，是R2中的连通区域，它的边界=1 2分段光滑。记C1()和C2()分别为上一切一阶和二阶连续可导函数的全体。如果函数u(x,y)C2()，并且具有一直到边界上的一阶连续导数，同时u(x,y)在内和边界上满足偏微分方程，那么u(x,y)称为该方程的古
11、典解。绝大多数PDEs求不出第28页/共46页2023/2/2229Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 椭圆型PDEs实例 古典解要求过严，为解出方程，必须扩大解的范围，为此，在线性解空间中引入范数 完备化C1()所得到的空间为H1()，在该空间中定义内积 则H1()亦为Hilbert空间。记D()为上一切无限可微且支集在内函数的全体，将D()赋予范数和内积，得到的空间记为H10()。第29页/共46页2023/2/2230Institute of Mechanical Engineer
12、ing and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 椭圆型PDEs实例在内分片一阶光滑，,中赋予范数，完备化得到的空间等价于：在V中引入内积，则V也是一个Hilbert空间，且：引入双线性泛函所谓双线性泛函，即固定u时，B(u,v)是v的线性泛函，而固定v时，则是u的线性泛函。换言之，若1,1,2,2为任意常数，则第30页/共46页2023/2/2231第5节 Galerkin-Ritz变分原理 椭圆型PDEs实例Institute of Mechanical Engineering and Automation可以证明B(u,v)具有以下性质：(1)对称性(2)在
13、VV上连续，即存在一个常数M0，使得(3)在V上具有强制性/正定性，即存在一个常数0，使得式(8a)(9a)表示有界性和强制性对任意引入的范数|均成立。有界性第31页/共46页2023/2/2232Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 椭圆型PDEs实例再作v的连续线性泛函：式(1)相应的变分问题就是：求uV，使得 满足式(11)的解u称为原椭圆型偏微分方程的弱解，将弱解所在的空间称为容许空间/试函数空间。同时由于式(11)必须对V中任一元素v都成立，故V称为检验空间。上述问题其容许空间和
14、检验空间取同一个Hilbert空间V，这时V又称为能量空间。第32页/共46页2023/2/2233Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 古典解和弱解的关系 作二次泛函古典解和弱解的关系：若u C2()是椭圆偏微分方程式(1)的古典解，则u必为变分方程式(11)的弱解。反之，若变分方程式(11)的解为u，且u C2()，则u也是式(1)的古典解。注：该关系具有严格的证明，证明可见1。1李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用M.西安:西安交通大学出版社,1992.式(12)称为椭圆偏微分
15、方程边值问题式(1)的Galerkin变分形式，其解的存在性由Lax-Milgram定理1保证。J(v)的极小值问题就是求u V,使得第33页/共46页2023/2/2234Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin和Ritz解关系式(13)称为椭圆偏微分方程式(1)的Ritz变分形式。设V是Hilbert空间，B(u,v)是V V上满足条件式(7)、式(8a)、式(9a)的双线性泛函，f是V上线性连续泛函，J(v)为式(12)所定义的二次泛函，那么，Galerkin变分形式(
16、11)和Ritz变分形式(13)两个问题中(1)任何一个问题有解，则解多于一个(2)任一个问题的解，必式另一个问题的解Galerkin变分形式和Ritz变分形式解及其关系定理：下面给出该定理的详细证明第34页/共46页2023/2/2235Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin和Ritz解关系第35页/共46页2023/2/2236Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理
17、Galerkin和Ritz解关系第36页/共46页2023/2/2237Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin和Ritz解关系第37页/共46页2023/2/2238Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin和Ritz解关系(3)由于Galerkin解具有唯一性，则Ritz解唯一性由Galerkin解和Ritz解的等价性得到。证毕。第38页/共46页2023
18、/2/2239Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin和Ritz解关系 相当广泛的一类椭圆偏微分方程边值问题，都存在与之对应的对称、连续、有界、强制的双线性泛函，使得边值问题的弱解，对应一个Hilbert空间上的抽象变分。对于这一类问题的研究是从事有限元研究的应用/计算数学研究者主要工作，即推导出方程的计算格式。第39页/共46页2023/2/2240Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-
19、Ritz变分原理 Galerkin逼近解推导 有限元数值分析方法的任务就是将工程实践中抽象出来的PDEs离散为代数方程，即将无穷维空间中的问题转化到有限维子空间中来，然后求其近似解。以本节给出的椭圆型偏微分方程为例，推导其Galerkin逼近解。设Vh是V的有限维子空间，当h0时，Vh的维数无限增加，直到充满V为止。那么，Galerkin变分问题式(11)逼近解uhVh，使得设Vh的基函数系为第40页/共46页2023/2/2241Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin逼近
20、解推导 设Vh是V的有限维子空间，当h0时，Vh的维数无限增加，直到充满V为止。那么，Galerkin变分问题式(11)逼近解uhVh，使得其中，ai,bi Rn。将式(15)代入式(14)，得第41页/共46页2023/2/2242Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Galerkin逼近解推导由bi的任意性，可得令则 式(18)是对应于Galerkin变分形式的线性代数方程组，求解可得Galerkin逼近解。第42页/共46页2023/2/2243Institute of Mechan
21、ical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Ritz逼近解推导而原问题变为多元函数的极小值问题，有从而得到第43页/共46页2023/2/2244Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 Galerkin-Ritz变分原理 Ritz逼近解推导式(18)和式(22)相同，表明Galerkin逼近解和Ritz逼近解等价。同样，可以证明Galerkin-Ritz逼近解所满足的代数方程的系数矩阵是对称、正定。Galerkin-Ritz逼近序列按能量范数单边逼近真解(保证解稳定
22、性)。Galerkin-Ritz逼近解误差的先验误差估计等等。具体参见11李开泰,黄艾香,黄庆怀.有限元方法及其应用M.西安:西安交通大学出版社,1992第44页/共46页2023/2/2245小结Institute of Mechanical Engineering and Automation第5节 小结 本章简要地给出了一些与有限元理论相关的数学概念。完整的数学理论基础对于从事有限元理论研究，进一步全面阅读有限元方面的文献提供必要的知识准备。同时对变分原理有了一定认识。有限元理论博大精深，或许穷其一生也不能较准确地把握其内涵。本章目的在于能对有限元方法数学基础有一个明确而大致的了解，这往往是工程有限元分析书籍和课程所忽略的地方。第45页/共46页2023/2/2246感谢您的观看。第46页/共46页