有限元法及其应用.ppt

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1、有限元方法及其应用能源与动力学院202研究室 授课教师：关玉璞 办公室：动力楼333室 Tel：84890515 84892202-2333 Mobile：能源与动力学院202研究室 课程简介本课程是一门专业选修课程 航空宇航推进理论与工程 动力机械及工程 机械设计及理论 车辆工程能源与动力学院202研究室 课程简介本课程是一门应用基础课程 以现代力学和应用数学为基础，以计算机及技术为工具，以求解现代工程和科学技术中的力学问题为目标，研究离散化理论和求解方程，伴随计算机出现而兴起和发展，在许多领域得到广泛需求和应用。能源与动力学院202研究室 课程简介本课程内容丰富充实 介绍有限元法的数学基础

2、变分原理；讨论连续体结构的有限元分析，包括平面问题、轴对称问题和空间问题；将线性有限元法推广至非线性有限元法，包括弹塑性问题有限元法和有限变形问题有限元法。能源与动力学院202研究室 学习目标 熟悉并掌握有限元法的数学基础，丰富与掌握常用单元的特性与总体分析方法，掌握有限元分析数值解的有关性质和复杂单元的实现技术，了解非线性有限元法的基本概念、基本方程与求解方法。初步学会使用一种通用结构分析有限元软件。能源与动力学院202研究室 教材及参考书 航空航天结构有限元法 关玉璞主编 哈尔滨工业大学出版社 有限元分析及应用 曾 攀主编 清华大学出版社能源与动力学院202研究室 教材及参考书 The F

3、inite Element Method O.C.Zienkiewicz,R.L.Taylor 世界图书出版公司 有限元分析的概念与应用 R.D.Cook,D.S.Malkus,M.E.Plesha,etc 关正西，强洪夫，王铁军等译 西安交通大学出版社能源与动力学院202研究室 第1章 绪论1.1 有限元法的发展简史1.2 弹性力学的基本概念1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 求解微分方程的数值计算方法。优点：理论完善，物理意义直观明确，解题效率高等。随着电子计算机的发展和应用，有限元法已经成为解决许多科学和工程实际问题的有效工具。能源与动力学院

4、202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1943年，数学家Courant 应用定义在三角形区域上的分片连续函数，与最小势能原理相结合，来求解St.Venant扭转问题。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1955年，Argyris和Kelsey 利用最小势能原理，得到了系统的刚度方程，推广杆系结构矩阵分析法，对连续结构进行了分析。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1956年，波音公司Turner,Clough,Martin和Topp等人 在分析大型飞机结构时，第一次给出采用直接刚度法推导出的三角形单元，将结构力学中的位移法推广到平面应力问题。能源与动

5、力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1960年，Clough 在一篇论文中首次使用“Finite Element”（有限元或有限单元）这一名称。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1963年，Besseling等人 证明了有限元法是基于变分原理的Ritz法的另一种形式。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1969年，Oden将有限元法推广应用于加权残量法（如Galerkin法）。同年，Zienkiewicz提出了等参元的概念，从而使有限元法更加普及与完善。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1970年代以后，随着电子计算机

6、硬件和软件技术的发展，有限元法的研究和应用得到了飞速地进展。出现了一些大型结构分析软件，如SAP，NONSAP等，安装在大中型计算机上。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史有限元法应用的领域不断扩大 平面问题空间问题和板壳问题 静力平衡动力响应和结构稳定能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 固体力学流体力学、传热学和电磁学等 弹性材料弹塑性、塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等 航空领域宇航、土木建筑、机械制造、水利工程、船舶海洋工程与核工程等领域能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 1980年代，多种功能扩大，大型通用程序如ADINA等，微型

7、计算机，前后处理出现。1990年代，领域扩大，前后处理功能增强，大型商用软件，如ANSYS、MARC、NASTRAN等。能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 目前，面向工程，与CAD结合成为CAE（计算机辅助工程）软件。能源与动力学院202研究室1.1 有限元法的发展简史汽轮机叶片六面体有限元网格能源与动力学院202研究室1.1 有限元法的发展简史整级叶片接触振动分析（第四阶振型）能源与动力学院202研究室1.1 有限元法的发展简史涡轮盘强度疲劳分析能源与动力学院202研究室 1.1 有限元法的发展简史 喷嘴热固耦合分析能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念

8、有限元法最初求解弹性力学平面问题时显露出有效性。弹性体的变形能和外力势能可以表示为二次泛函。能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 1.应力与平衡方程应力与平衡方程 在外力作用下，弹性体内部各部分之间产生内力，单位面积上的内力称为应力。能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 一点的9个应力分量构成应力张量 x,xy,xz,yx,y,yz,zx,zy,z 能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 切应力互等定律 能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 有

9、限元法中，6个独立的应力分量排成列向量 能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 由四面体的平衡条件，得到 能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 是斜面上的应力 的三个分量。能源与动力学院202研究室 斜面上的正应力分量为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 斜面上的切应力分量为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 弹性体中任意一点都存在三个互相正交的主应力。体积应力为三个正应力之和，在坐标变换下是不变量。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 微元六面体的

10、平衡方程为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 2.应变与几何方程应变与几何方程 弹性体内任一点 ，小变形后移动到 ，位移函数为能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 一微小线段PA=dr，经小变形后变为 ，其正应变为能源与动力学院202研究室 正应变关于位移的表达式为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 展开右端并略去高阶无穷小，得到 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院2

11、02研究室 变形前两条线段的夹角 ，它们的夹角余弦 为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 变形后两条线段的夹角 ，它们的夹角余弦 为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 两条线段夹角关于位移的表达式为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 只要P点处的三个正应变 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 和三个切应变 已知，就可以完全确定P点附近的变形状态。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 切应变同样满足互等定律，六个应变分量表示为一个应变向量为 1.2

12、弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 同样，弹性体中任意一点都存在三个互相正交的主应变。体积应变为三个正应变之和，在坐标变换下也是不变量。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 对于各向同性体，应力主轴和应变主轴的方向是一致的。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 几何方程的矩阵形式为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 3.物理方程物理方程 应力与应变之间的一般关系式，即物理方程为能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基

13、本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 用应变表示应力的物理方程为 写成矩阵形式 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 式中 和剪切弹性模量G称为拉梅系数。而体积应变与体积应力之间的关系为 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 式中比例系数称为体积弹性模量。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.1 三维问题三维问题 4.边界条件边界条件 弹性体的边界以固定、荷载和弹性支承三种方式承受面力能源与动力学院202研究室

14、 对应三种支承的边界条件为 （1）几何约束条件 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 （2）面力平衡条件 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 （3）耦合平衡条件 在 上式中 是弹性支承系数。1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.2 二维问题二维问题薄板_平面应力问题相当长的棱柱体_平面应变问题能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.2 二维问题二维问题 1.平面应力问题平面应力问题 （1）力的平衡方程能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念（2）几何方程能源与动力学院202研

15、究室 1.2 弹性力学的基本概念（3）物理方程能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念用应变表达应力则为能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念从三维物理方程还可推导出能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念（4）边界条件 固定支承、荷载支承和弹性支承的边界条件分别为能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念1.2.2 二维问题二维问题 2.平面应变问题平面应变问题 力的平衡方程、几何方程和边界条件同平面应力问题一样。能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 从 和三维问题

16、物理方程，得到能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念用应变表达应力则为能源与动力学院202研究室 1.2 弹性力学的基本概念 平面应力问题中的弹性常数更换能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 1.3.1 结构离散化结构离散化 求解域离散化 结点，有限单元 假设近似解的模式，结点未知参数 代数方程组，求解未知数，近似解能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 结构离散化结构离散化：（1）划分单元 （2）约束简化 （3）等效结点载荷计算能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 单元单元：分割连续体的小区域，有线、面或实体等种类。结点结点

17、：连接单元的空间点，具有一定的自由度。自由度自由度：描述物理场响应特性的参量，随单元类型变化。能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 结构离散化后，进行单元特性分析，确定单元结点力和结点位移的关系。能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 在位移型有限元法中，就是要确定单元刚度矩阵。单元刚度矩阵反映了单元的特性。能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 用弹簧来模拟单元说明刚度的概念。弹簧结点 i 处的力和位移之间

18、的关系为能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 1.杆系结构的单元刚度矩阵杆系结构的单元刚度矩阵 一平面桁架结构如下图。能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 杆单元的结点位移列阵和结点力列阵为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 当 时，在 i、j 二结点的x，y两个方向所产生的抵抗变形的力（即刚度）为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 当 时，在 i、j 二结点的x，y两个方向所产生

19、的抵抗变形的力（即刚度）为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 当各结点位移分量同时存在，在线弹性范围内，则各结点力分量等于各个位移分量所产生的结点力分量的线性叠加，即 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 写成矩阵形式 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 杆件只承受轴向力，只产生轴向位移，从图1.10可以看出 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 求出其他结点力与结点位移的关系，写成矩阵形式 式中K为杆件的轴向刚度系数 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元

20、法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力。能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 2.结构刚度方程结构刚度方程 将杆单元组成结构，列出整体刚度方程，即建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 单元的刚度方程为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 单元的刚度方程为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 单元的刚度方程为 能源与动力学院

21、202研究室 1.3 有限元法的基本概念 根据变形协调条件，即在相互连接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如结点4处，其位移 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 按力的平衡条件，就是在相互连接的公共结点处，各单元的对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点4有 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 将上面各结点总合力与各结点位移的关系写成矩阵形式 能源与动力学院202研究室

22、 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念1.3.2 刚度矩阵刚度矩阵 3.连续体的刚度矩阵连续体的刚度矩阵 一个带孔的矩形薄板，两端承受均布拉力。用有限元法分析，离散成在 n 个结点处相连接的有限个三角形单元的组合体。能源与动力学院202研究室1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 任取1个单元，令其3个结点为i，j，m，单元结点位移和结点力为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 当 ，其它结点位移分量为零时，这相当于在结点 i 处设

23、置了一个只允许产生水平方向位移的连杆铰支座，在结点 j,m 处分别设置了固定铰支座。能源与动力学院202研究室1.3 有限元法的基本概念能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 若假设三角形单元内各点的位移按线性变化，单元的变形情况如图中虚线所示，那末抵抗变形的各结点力分量（即刚度）为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 同样方法，当 ，其它结点位移分量为零时，抵抗变形的结点力分量为 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 若各结点位移分量同时存在，则各结点力分量为各个位移分量所产生的结点力分量的线性叠加，写成矩阵形式，即 能源与动力学院202研究室 1.3 有限元法的基本概念 能源与动力学院202研究室