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1、1问题的提出函数y=f(x)1）解析式未知；2）虽有解析式但表达式较复杂，通过实验计算得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，xx0 x1x2 xny=f(x)y0y1y2yn3）列表函数问题：无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的其他性质，如函数的积分和导数等。因此需寻找y=f(x)的近似函数p(x),但要求p(xi)=f(xi)。插插值问题第1页/共17页已知精确函数已知精确函数 y=f(x)在一系列在一系列节点点 x0 xn 处测得函数得函数值 y0=f(x0),yn=f(xn)，由，由此构造一个此构造一个简单易算的近似函数易算的近似函数
2、p(x)f(x)，满足条件足条件p(xi)=f(xi)(i=0,n)。这里的里的 p(x)称称为f(x)的的插插值函数函数。最常用的插。最常用的插值函函数是数是?多多项式式x0 x1x2x3x4xp(x)f(x)第2页/共17页Taylor插值函数y=f(x)在点x0处展开有Taylor 多项式:可见:Pn(k)(x0)=f(k)(x0)k=0,1,n因此,Pn(x)在点x0邻近会很好的逼近f(x).Taylor展开方法就是一种插值方法.泰勒插值要求提供 f(x)在点x0处的各阶导数,这仅仅适用于 f(x)相当简单的情况.第3页/共17页 设函数y=f(x)在区间a,b上有定义，且给出一系列点
3、上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,n)，求作n次多项式pn(x)使得 pn(xi)=yi (i=0,1,2,n)函数pn(x)为f(x)的插值函数；称x0,x1,xn称为插值节点或简称节点。插值节点所界的区间a,b称为插值区间。pn(xi)=yi 称为插值条件。构造的n次多项式可表示为:Pn(x)=a0+a1x+a2x2+anxn 1.2 Lagrange插值第4页/共17页定理定理 (插插值多多项式的式的存在唯一性存在唯一性)满足足 的的 n 阶插插值多多项式是唯一存在的。式是唯一存在的。证明：明：(利用利用Vandermonde 行列式行列式论证)这是一个关于是一个关于a0,a1
4、,an 的的n+1元元线性方程性方程组,其系数行列式其系数行列式:由于由于i j时时,xi xj,因此因此 ,即方程即方程组有唯一解有唯一解.第5页/共17页2 拉格朗日插拉格朗日插值公式公式 niyxPiin,.,0,)(=求求 n 次多次多项式式 使得使得条件：条件：无重合无重合节点，即点，即n=1已知已知 x0,x1;y0,y1，求，求使得使得111001)(,)(yxPyxP=可可见 P1(x)是是过(x0,y0)和和(x1,y1)两点的直两点的直线。)()(0010101xxxxyyyxP +=101xxxx 010 xxxx =y0+y1l0(x)l1(x)=10)(iiiyxl称
5、称为拉氏基函数拉氏基函数第6页/共17页直线方程的两点式：线性插性插值l0(x)l1(x)=10)(iiiyxlL1(x)第7页/共17页抛物插抛物插值l0(x)l1(x)l2(x)第8页/共17页n 1li(x)每个每个 li 有有 n 个根个根 x0 xi xn=njj i jiniiixxCxxxxxxCxl00)().().()(=j i jiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插次拉格朗日插值多多项式式与与 有关，而与有关，而与 无关无关节点点f希望找到希望找到li(x)，i=0,n 使得使得 li(xj)=；然后令；然后令=niiinyxlxP0)()(，则显然有然有Pn(xi
6、)=yi。n次多次多项式式第9页/共17页 插插值余余项/*Remainder*/设节点点在在a,b内存在内存在,考察截断考察截断误差差，且，且 f 满足条件足条件 ,用用简单的插的插值函数函数L n(x)代替原复代替原复杂函数函数f(x),其精度取决于截断其精度取决于截断误差差,即插即插值余余项.拉格朗日余拉格朗日余项定理定理第10页/共17页注：注：通常不能确定通常不能确定 ,而是估而是估计 ,x(a,b)将将 作作为误差估差估计上限。上限。当当 f(x)为任一个次数任一个次数 n 的的多多项式式时，,可可知知 ，即插，即插值多多项式式对于次数于次数 n 的的多多项式是式是精确精确的。的。
7、第11页/共17页例：例：已知已知分分别利用利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插插值计算算 sin 50 并估并估计误差。差。解：解：n=1分分别利用利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算算利用利用这里里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外推外推/*extrapolation*/的的实际误差差 利用利用sin 50 0.76008,内插内插/*interpolation*/的的实际误差差 内插通常内插通常优于外推。于外推。选择要要计算的算的 x 所在的区所在的区间的端点，插的端点，插值效果效果较好。好。第12页/共
8、17页n=2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 =0.76604442次插次插值的的实际误差差 高次插高次插值通常通常优于低次于低次插插值但但绝对不是次数越高就越不是次数越高就越好，嘿嘿好，嘿嘿第13页/共17页 拉格朗日插拉格朗日插值多多项式式编程容易，只需双重循程容易，只需双重循环 如果如果发现当前的插当前的插值方法不方法不够精确，就要增精确，就要增加插加插值点的个数，点的个数，则拉格朗日插拉格朗日插值基函数基函数 li(x)都将重新都将重新计算。算。牛牛顿插插值法将法将讨论该问题。第14页/共17页例：已知数据表 xk10111213f(xk)2.302 62.
9、397 92.484 92.564 9试用二次插值计算f(11.75)(计算过程保留4位小数)解：因为11.75更接近12，故应取11，12，13三点作二次插值先作插值基函数已知x0=11,y0=2.397 9，x1=12,y0=2.484 9，x2=13,y2=2.564 9 2(x)=f(11.75)2(11.75)=第15页/共17页例 已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2解：x0=1,x1=4,x2=9f(x0)=1,f(x1)=2,f(x2)=3 L2(7)=(14)(19)(74)(79)*1+(41)(49)(71)(79)*2+(91)(94)(71)(74)*3=2.7(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L2(x)=第16页/共17页感谢您的观看！第17页/共17页