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1、记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。 怎么办，数学家们提出了插值问题。插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2).(xn, yn)，要求一个函数y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n 次多项式 y = an * xn + . a1 * x + a
2、0, 使它们经过这n+1 个点；通过范德蒙行列式和 克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的 x 值各不相同，那么这个多项式是唯一的。结果唯一，但是用直接法很不好求。现在用别的办法来求之。这就是：拉格朗日多项式3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明由于函数经过 4个点 (x0, y0) ，(x1, y1) ，(x2, y2) ，(x3, y3) ，所以可以设函数为：f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3 注意： b0(x) ， .，b3(x) 都是 x 的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。由于要求当x 为 x
3、0时候， f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0; 同理可知，在x1 ，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - b0(x) b1(x) b2(x) b3(x) x=x0 1 0 0 0 x=x1 0 1 0 0 x=x2 0 0 1 0 x=x3 0 0 0 1 问题 1、根据这些值来确定b0(x
4、) 的表达式，由于 b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以 x1, x2, x3 是 b0(x) 的零点，由于b0(x) 是三次多项式，所以设b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3) 由于 b0(x0) = 1, 所以 1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到 c0 = 1/(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3) 所以： b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3) 同理可求 b1(x) 、b2(x) ，略问题 2、根据上面的表格说明插
5、值基函数的一个性质：无论x 取和值，它们的和都为1.【这名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 个叫做调和函数】以3次为例子说明： 将上述表格的每一行分别相加，得到的事函数： g(x) = b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x) 在 x0, x1, x2, x3 的值，都为 1. b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x) x=x0 1+0+0+0 = 1 x=x1 0+1+0+0 =
6、 1 x=x2 0+0+1+0 = 1 x=x3 0+0+0+1 = 1 所以： 方程 g(x) - 1 = 0 ，应该有 4个根 x0, x1, x2, x3 ；但是，由于 b0(x) 、b1(x) 、b2(x) 、b3(x)都是 3次多项式，所以，g(x) 最多也是 3次多项式，至多只有3个根，所以等式：g(x) = 1 应该是恒等式。得证。问题 3、基函数： b0(x) 、b1(x) 、b2(x) 、b3(x) 是线性无关的。设：数 t0, t1, t2, t3 使得： t0 * b0(x) + t1 * b1(x) + t2 * b2(x) + t3 * b3(x) = 0 x=x0
7、时候： 0 = t0 * b0(x0) + t1 * b1(x0) + t2 * b2(x0) + t3 * b3(x0) = t0 * 1 + t1 * 0 + t2 * 0 + t3 * 0 得到： t0 = 0; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 同理有： t1 = t2 = t3 = 0 ，根据定义（所有系数为0） 。所以插值基函数是线性无关的。转自：jiangnanyouzi，博客频道名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -