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1、概率论多维随机变量及其分布函数第1页，本讲稿共36页3.1 3.1 二维二维随机变量随机变量一、二维随机变量及其分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量四、两个常用的分布第2页，本讲稿共36页1.定义一、二维随机变量及其分布函数若若 E 是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是=e，设设 X=X(e)和和 Y=Y(e)是定义在是定义在 上的随机变量。上的随机变量。由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做，叫做二维随机向量二维随机向量，或或二维随机变量。二维随机变量。图示图示第3页，本讲稿共36页注意事项(1)向量向量(X,Y)是一个整体是一个整体
2、,其性质不仅与其性质不仅与 X、Y 有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.(2)向量向量(X,Y)从几何上看可以作为一个平面上随机点从几何上看可以作为一个平面上随机点.2.实例实例实例实例1 炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量.实例实例2 考查某一地考查某一地 区学前儿童区学前儿童的发育情况的发育情况,则儿童的身高则儿童的身高 H 和体重和体重 W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量(H,W).第4页，本讲稿共36页3.二维随机变量的分布函数(1)分布函数的定义分布函数的定义(2)分布函数的几何
3、意义分布函数的几何意义第5页，本讲稿共36页且有且有(3)分布函数的性质第6页，本讲稿共36页证证某一二元函数是二维随机变量分布函数某一二元函数是二维随机变量分布函数 该函数具有以上四条性质。该函数具有以上四条性质。可以证明可以证明第7页，本讲稿共36页(4)一个重要的公式(X,Y)yxox1x2y1y2(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)则第8页，本讲稿共36页4.n 维随机变量(2)n维随机变量的联合分布函数维随机变量的联合分布函数(1)定义定义为联合分布函数为联合分布函数.第9页，本讲稿共36页二、二维离散型随机变量1.定义定义 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)
4、所取的可能值是有限对或无所取的可能值是有限对或无限可列多对限可列多对,则称则称(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.2.二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律第10页，本讲稿共36页二维随机变量(X,Y)的联合分布律也可表示为3.联合分布律的性质联合分布律的性质第11页，本讲稿共36页例1解解由乘法公式得由乘法公式得第12页，本讲稿共36页第13页，本讲稿共36页抽取两支都是绿笔抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔抽取一支绿笔,一支红笔一支红笔例2从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若 X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布
5、律.解(X,Y )所取的可能值是抽取一支蓝笔抽取一支蓝笔,一支红笔一支红笔第14页，本讲稿共36页综合之所求分布律为综合之所求分布律为第15页，本讲稿共36页4.二维离散型随机变量的联合分布函数一般不好写出！一般不好写出！第16页，本讲稿共36页(X,Y )的可能取值为的可能取值为例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X,Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求 (X,Y)的分布律与分布函数.解解故故(X,Y )的分布律为的分布律为第17页，本讲稿共36页下面求分布函数.第18页，本讲稿共36页
6、第19页，本讲稿共36页所以(X,Y)的分布函数为第20页，本讲稿共36页练习解解第21页，本讲稿共36页离散型随机变量离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为的分布函数归纳为说明第22页，本讲稿共36页三、二维连续型随机变量1.定义定义使得对于任意的使得对于任意的 x,y有有第23页，本讲稿共36页2.性质按定义，概率密度 f(x,y)具有以下性质：在几何上在几何上 z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式表示空间的一个曲面，上式即表示即表示 P(X,Y)G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲面为底，以曲面 z=f(x,y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积第24页，本讲稿共36页例4解解第25页
7、，本讲稿共36页(2)将将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标看作是平面上随机点的坐标,即有即有例4解第26页，本讲稿共36页例5解解x+y=1x=1y=2将将(X,Y)看作是平面上随看作是平面上随机点的坐标机点的坐标,第27页，本讲稿共36页例6解解 按性质，按性质，用极坐标系计算用极坐标系计算第28页，本讲稿共36页例6解(2)第29页，本讲稿共36页四、两个常用的分布1.均匀分布均匀分布设设 D 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 S,若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在 D 上服从上服从均匀分布均匀分布.定义定义均匀分布
8、几何意义均匀分布几何意义(几何概型几何概型)第30页，本讲稿共36页 已知随机变量(X,Y)在 D上服从均匀分布,其中D为x 轴,y 轴及直线 y=x+1 所围成的三角形区域.试求(X,Y)的分布密度及分布函数,例7解解D第31页，本讲稿共36页第32页，本讲稿共36页所以(X,Y)的联合分布函数为第33页，本讲稿共36页2.二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度第34页，本讲稿共36页二维正态分布的图形第35页，本讲稿共36页1.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数2.二维离散型随机变量的分布律及分布函数二维离散型随机变量的分布律及分布函数3.二维连续型随机变量的概率密度二维连续型随机变量的概率密度小结4.均匀分布、二维正态分布均匀分布、二维正态分布第36页，本讲稿共36页