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1、第第 4 4 章章指数函数和对数函数指数函数和对数函数Exponential Function andLogarithmic Function4.5反函数的概念反函数的概念温故知新温故知新课前思考课前思考新课讲解新课讲解课堂练习课堂练习引例引例：商店买铅笔，单价：商店买铅笔，单价2元元/支，支，购买购买 支，支，总价为，总价为 元，元，是正偶数是正偶数.考察总价与数量的关系：考察总价与数量的关系：若由数量求总价：若由数量求总价：若由总价求数量：若由总价求数量：思考思考：函数：函数 的因变量的因变量 与自变量与自变量的对应关系逆过来，能否构成函数？的对应关系逆过来，能否构成函数？函数函数 的因变
2、量的因变量 与自变量与自变量的对应关系逆过来，能否构成函数？的对应关系逆过来，能否构成函数？一、反函数的概念一、反函数的概念一般地，对于函数一般地，对于函数若对于若对于 中任意一个值中任意一个值 ，都有，都有 中中唯一唯一的的使得使得，那么在，那么在 上就确定了上就确定了的的反函数反函数，记作，记作例例的反函数就是的反函数就是正偶数集正偶数集函数函数与函数与函数互为反函数互为反函数！例例1.判断下列函数是否存在反函数判断下列函数是否存在反函数.(1)(2)(3)(4)存在存在不存在不存在存在存在不存在不存在二、一个函数存在反函数的判定二、一个函数存在反函数的判定记记(1)对于任意对于任意 ，若
3、，若 ,则则(或其逆否命题或其逆否命题)若若 ，则，则(2)函数函数 是单调函数是单调函数.(充分非必要条件充分非必要条件)(3)函数函数 的图像符合的图像符合“水平线检验法水平线检验法”(4)由由 解得的解得的 也是一个函数也是一个函数.上述所有方法都可说明函数上述所有方法都可说明函数 存在存在反函数，即反函数，即 是是“一对一一对一”的的.三、求一个函数的反函数三、求一个函数的反函数例例 求函数求函数 的反函数的反函数.解：解：的值域为的值域为求求 得得所以反函数为所以反函数为为了在同一坐标系内作出一个函数为了在同一坐标系内作出一个函数表示，因变量用表示，因变量用 表示表示.因此，反函数改
4、写为因此，反函数改写为与其反函数的图像，习惯上自变量用与其反函数的图像，习惯上自变量用表达式：表达式：定义域：定义域：值域：值域：-1,+)0,+)原函数：原函数：反函数：反函数：-1,+)0,+)例：例：求函数求函数 的反函数的反函数.解解:因此反函数为因此反函数为解得：解得：例例2.求下列函数的反函数求下列函数的反函数.(1)(2)(3)(4)解解:(1)因此反函数为因此反函数为(2)解得：解得：解得：解得：因此反函数为因此反函数为例例2.求下列函数的反函数求下列函数的反函数.(3)(4)解解:(3)因此反函数为因此反函数为(4)解得：解得：解得：解得：因此反函数为因此反函数为反函数的概念
5、小结反函数的概念小结存在反函数的存在反函数的是是一一对应一一对应的的与与函数函数 与函数与函数互为反函数互为反函数.充要条件是：充要条件是：求求 的反函数的一般步骤为：的反函数的一般步骤为：求值域求值域(即反函数的定义域即反函数的定义域)求函数求函数 的逆运算的逆运算改写为反函数改写为反函数(1)(2)(3)对应法则互逆，定义域、值域互反对应法则互逆，定义域、值域互反.例例1.求函数求函数 的反函数，并在同一坐标系中的反函数，并在同一坐标系中画出它们的图像画出它们的图像.解：解：的值域为的值域为的反函数是的反函数是思考思考 所作函数的图像与其反函数的图像所作函数的图像与其反函数的图像有什么有怎
6、样的位置关系？有什么有怎样的位置关系？四、互为反函数的函数图像间的关系四、互为反函数的函数图像间的关系定理定理 函数函数 和它的反函数和它的反函数 的图像的图像关于直线关于直线 对称对称.证：设证：设 是是 的图像上的图像上任意一点任意一点.因此因此是是 的反函数的反函数因此因此即即 在反函数在反函数 图像上图像上.例例2.已知已知 ，求，求解：解：因此因此解法二：设解法二：设因此因此即点即点 在在 图像上图像上即点即点 在在 图像上图像上解得解得例例3.求证：函数求证：函数 的图像关于直线的图像关于直线对称对称.分析分析：由于：由于存在反函数，且存在反函数，且因此，即证因此，即证证：证：因此因此 的图像关于直线的图像关于直线 对称对称.与与 的图像关于的图像关于 对称，对称，定理定理 单调函数的反函数也是单调函数单调函数的反函数也是单调函数且两个函数具有相同的单调性且两个函数具有相同的单调性.五、单调函数的反函数的单调性五、单调函数的反函数的单调性课堂练习课堂练习P15/4.51、2、3、4、5、6