经济研究中的计算方法.ppt

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1、边际问题边际问题v边际：边际：经济变量的变化率。v边际分析：边际分析：利用导数研究经济变量的边v 际变化的方法。v边际分析方法（边际分析方法（marginal analysismarginal analysismarginal adding analysis)marginal adding analysis)v边际分析法是十九世纪产生的一种经济边际分析法是十九世纪产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉用学派，代表人物有瓦尔拉(L.Walras)(L.Walras)、杰文斯杰文斯(W.S.Jevons)(W.S.Jevons)、

2、戈森、戈森(H.H.(H.H.Gossen)Gossen)、门格尔、门格尔(C.Menger)(C.Menger)、埃奇沃、埃奇沃思思(F.Y.Edgeworth)(F.Y.Edgeworth)、马歇尔、马歇尔(A.(A.Marshall)Marshall)、费希尔、费希尔(I.Fisher)(I.Fisher)、克拉、克拉克克(J.B.Clark)(J.B.Clark)以及庞巴维克以及庞巴维克(E.von(E.von Bohm-Bawerk)Bohm-Bawerk)等人。等人。v 边际效用学派对边际概念作出了解边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫释和定义，当时瓦尔

3、拉斯把边际效用叫做稀缺性，做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数导数”和和“偏导数偏导数”。v 在西方经济学中在西方经济学中,边际分析方法是边际分析方法是最基本的分析方法之一最基本的分析方法之一,是一个比较科学是一个比较科学的分析方法。西方边际分析方法的起源的分析方法。西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯。他在可追溯到马尔萨斯。他在18141814年曾指出年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途。微分法对经济分析所可能具有的用途。v 1824 1824年，汤普逊年，汤普逊(W.Thompson)(W

4、.Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件。功利主义创始人边沁利益的条件。功利主义创始人边沁(J.Bentham)(J.Bentham)在其最大快乐和最小痛在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理。边际效应递减的原理。v 在西方经济学中，我们把研究一种可变在西方经济学中，我们把研究一种可变因素的数量变动会对其他可变因素的变动产因素的数量变动会对其他可变因素的变动产生多大影

5、响的方法，称为边际分析方法。生多大影响的方法，称为边际分析方法。边边际分析法就是运用导数和微分方法研究经济际分析法就是运用导数和微分方法研究经济运行中微增量的变化，用以分析各经济变量运行中微增量的变化，用以分析各经济变量之间的相互关系及变化过程的一种方法。之间的相互关系及变化过程的一种方法。v 边际即边际即“额外的额外的”、“追加追加”的意思，的意思，指处在边缘上的指处在边缘上的“已经追加上的最后一个单已经追加上的最后一个单位位”，或，或“可能追加的下一个单位可能追加的下一个单位”，属于，属于导数和微分的概念，就是指在函数关系中，导数和微分的概念，就是指在函数关系中，自变量发生微量变动时，在边

6、际上因变量的自变量发生微量变动时，在边际上因变量的变化，边际值表现为两个微增量的比。变化，边际值表现为两个微增量的比。v 这种分析方法广泛运用于经济行为和经这种分析方法广泛运用于经济行为和经济变量的分析过程，如对效用、成本、产量、济变量的分析过程，如对效用、成本、产量、收益、利润、消费、储蓄、投资、要素效率收益、利润、消费、储蓄、投资、要素效率等等的分析多有边际概念。等等的分析多有边际概念。边际分析法之所边际分析法之所以成为西方经济学研究中的非常重要的方法，以成为西方经济学研究中的非常重要的方法，是由西方经济学的对象决定的。由于西方经是由西方经济学的对象决定的。由于西方经济学研究资源最优效率的

7、使用，而最优点实济学研究资源最优效率的使用，而最优点实际就是函数的极值点，根据高等数学的知识，际就是函数的极值点，根据高等数学的知识，很容易理解，数学方法求得极值就是对函数很容易理解，数学方法求得极值就是对函数求导数，当它的一阶导数为求导数，当它的一阶导数为0 0时，即找到极值时，即找到极值点。点。导数的经济学意义导数的经济学意义-边际函数边际函数称为在称为在 x=x0 点的点的边际函数值。边际函数值。为经济函数并可导为经济函数并可导,定义定义设函数设函数称为称为边际函数。边际函数。导函数导函数（1）边际成本v产量增加一个单位时所增加的总成本。产量增加一个单位时所增加的总成本。v（例子：盒饭问

8、题）（例子：盒饭问题）设某产品产量为设某产品产量为单位时所需的总成本为单位时所需的总成本为则边际成本则边际成本即即边际边际成本是成本是总总成本关于成本关于产产量的量的导导数，其数，其经济经济意意义义为为近似等于近似等于 产产量量为为时时再生再生产产一个一个单单位位产产品品所需增加的成本所需增加的成本。这这是因是因为为当当时时，（2）边际收入v多销售一个单位产品所增加的销售总收入。多销售一个单位产品所增加的销售总收入。设设某某产产品的品的销销售量售量为为时时的的总总收入收入为为，称，称为总为总收入函数，即收入函数。当收入函数，即收入函数。当可可导时导时，称称为销为销售量售量为为时该产时该产品的品

9、的边际边际收入。收入。收入函数的变化率收入函数的变化率近似等于销售量为近似等于销售量为所增加（或减少）的收入。所增加（或减少）的收入。时再销售一个单位产品时再销售一个单位产品（3）边际利润1 1、边际成本：、边际成本：成本函数成本函数 C(x)的导函数的导函数2 2、边际收入：、边际收入：收益函数收益函数 R(x)的导函数的导函数2 2、边际利润：、边际利润：利润函数利润函数 L(x)的导函数的导函数注：边际成本可以反映在注：边际成本可以反映在 x x 处成本增长的快慢，处成本增长的快慢，利润函数利润函数 L(x)取最大值的必要条件：取最大值的必要条件：利润最大利润最大的必要条件：的必要条件：

10、边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本例例1 1：已知某产品的销价为：已知某产品的销价为 P(x)=200,总成本函数总成本函数（1 1）总利润函数）总利润函数 L(x)（2 2）边际利润）边际利润 （3 3）产量为多少时，）产量为多少时，利润最大利润最大？解：（解：（1 1）例例2.设某商品售价设某商品售价 元时元时,每天的需求量为每天的需求量为 解解:收益函数为收益函数为 当产量为当产量为7个单位时，利润最大，此时售价为个单位时，利润最大，此时售价为 元元.某工厂每天生某工厂每天生产产商品商品单单位的成本位的成本为为(元).如果工厂有权自定价格，问该工厂每天产量为多少时如果工厂有权自定价

11、格，问该工厂每天产量为多少时，利润最大？利润最大？此时此时价格为多少价格为多少？利润函数为利润函数为 令令得得的的驻驻点点为为.唯一唯一驻驻点点.解解.平均成本函数平均成本函数例例3.若总成本函数是若总成本函数是 其中其中问当问当 为多少时为多少时,平均成本最低平均成本最低？令令 得得驻驻点点.又又,故故有极小有极小值值，又又是唯一的极小是唯一的极小值值点，故也是最小点，故也是最小值值点点.因此当产量为因此当产量为时，时，平均成本最低平均成本最低.边际效用递减规律边际效用递减规律 v早在早在1854年，德国经济学家戈森就曾提出一年，德国经济学家戈森就曾提出一个有关欲望的法则：同一享乐不断重复，

12、则个有关欲望的法则：同一享乐不断重复，则其带来的享受逐渐递减。由此变出经济学中其带来的享受逐渐递减。由此变出经济学中著名的戈森第一定律，即边际效用递减规律著名的戈森第一定律，即边际效用递减规律.19世纪末期，英国经济学家世纪末期，英国经济学家A马歇尔把马歇尔把这一规律称为这一规律称为“人类本性的这种平凡而基本人类本性的这种平凡而基本的倾向的倾向”，并把这一规律作为解释消费者行，并把这一规律作为解释消费者行为与需求原理的基础。为与需求原理的基础。v边际效用递减规律是经济学上的一个基边际效用递减规律是经济学上的一个基本规律本规律,有人说是公理有人说是公理.v边际效用（边际效用（MarginalUt

13、ility）,有时也称有时也称为边际贡献，指消费者在一定时间内增加一为边际贡献，指消费者在一定时间内增加一个单位商品消费所得到的效用量的增量。边个单位商品消费所得到的效用量的增量。边际效用递减规律（际效用递减规律（LawofDiminishingMarginalUtility）说的是：在一定时间内，）说的是：在一定时间内，在其它商品的消费数量保持不变的条件下，在其它商品的消费数量保持不变的条件下，消费者从某种商品连续增加的每一消费单位消费者从某种商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量，即边际效用，是递减中所得到的效用增量，即边际效用，是递减的（虽然带来的总效用仍然是增加的）。的（虽然带来

14、的总效用仍然是增加的）。v通俗地讲：当你极度口渴的时候十分需通俗地讲：当你极度口渴的时候十分需要喝水，你喝下的第一杯水是最解燃眉之急、要喝水，你喝下的第一杯水是最解燃眉之急、最畅快的，但随着口渴程度降低，你对下一最畅快的，但随着口渴程度降低，你对下一杯水的渴望值也不断减少，当你喝到完全不杯水的渴望值也不断减少，当你喝到完全不渴的时候即是边际，这时候再喝下去甚至会渴的时候即是边际，这时候再喝下去甚至会感到不适，再继续喝下去会越来越感到不适感到不适，再继续喝下去会越来越感到不适（负效用）。（负效用）。心理或生理的解释心理或生理的解释v 效用是消费者的心理感受，消费某种物品实际上效用是消费者的心理感

15、受，消费某种物品实际上就是提供一种刺激，使人有一种满足的感受，或心就是提供一种刺激，使人有一种满足的感受，或心理上有某种反应。消费某种物品时，开始的刺激一理上有某种反应。消费某种物品时，开始的刺激一定大，从而人的满足程度就高。但不断消费同一种定大，从而人的满足程度就高。但不断消费同一种物品，即同一种刺激不断反复时，人在心理上的兴物品，即同一种刺激不断反复时，人在心理上的兴奋程度或满足必然减少。或者说，随着消费数量的奋程度或满足必然减少。或者说，随着消费数量的增加，效用不断累积，新增加的消费所带来的效用增加，效用不断累积，新增加的消费所带来的效用增加越来越微不足道。增加越来越微不足道。19世纪的

16、心理学家韦伯和费世纪的心理学家韦伯和费克纳通过心理实验验证了这一现象，并命名为韦伯克纳通过心理实验验证了这一现象，并命名为韦伯费克纳边际影响递减规律。这一规律也可以用费克纳边际影响递减规律。这一规律也可以用来解释边际效用递减规律。来解释边际效用递减规律。资源配置说资源配置说 v设想每种物品都有几种用途，且可按重要性分设想每种物品都有几种用途，且可按重要性分成等级。消费者随着获得该物品数量的增加，会将成等级。消费者随着获得该物品数量的增加，会将其逐次用到不重要的用途上去。这本身就说明边际其逐次用到不重要的用途上去。这本身就说明边际效用是递减的。比如水，按重要程度递减的顺序，效用是递减的。比如水，

17、按重要程度递减的顺序，分别由饮用、洗浴、洗衣、浇花等多种用途。水很分别由饮用、洗浴、洗衣、浇花等多种用途。水很少时，它被用作最重要的用途如饮用。随着得到的少时，它被用作最重要的用途如饮用。随着得到的水的量的增加，它会被逐次用到洗浴、洗衣、浇花水的量的增加，它会被逐次用到洗浴、洗衣、浇花等相对越来越不重要的用途上。这说明水的边际效等相对越来越不重要的用途上。这说明水的边际效用是递减的。用是递减的。凯恩斯的国民收入乘数原理凯恩斯的国民收入乘数原理v 凯恩斯在消费倾向的基础上，建立了一凯恩斯在消费倾向的基础上，建立了一个乘数原理，乘数原理的经济含义可以归结个乘数原理，乘数原理的经济含义可以归结为，投

18、资变动给国民收入带来的影响，要比为，投资变动给国民收入带来的影响，要比投资变动更大，这种变动往往是投资的变动投资变动更大，这种变动往往是投资的变动的倍数。通过乘数原理，凯恩斯得到了国民的倍数。通过乘数原理，凯恩斯得到了国民收入（收入（Y Y）与投资量（）与投资量（I I）之间的确切关）之间的确切关系，将其经济理论导向经济政策，并指导经系，将其经济理论导向经济政策，并指导经济实践。济实践。v 所谓乘数，是指在一定的边际消费所谓乘数，是指在一定的边际消费倾向条件下，投资的增加（或减少）可倾向条件下，投资的增加（或减少）可导致国民收入和就业量若干倍的增加导致国民收入和就业量若干倍的增加（或减少）。收

19、入增量与投资增量之比（或减少）。收入增量与投资增量之比即为投资乘数。以公式表示为：即为投资乘数。以公式表示为：K=Y/I K=Y/I 其中，其中，K K表示乘数，表示乘数，YY表示收入增量，表示收入增量，II表示投资增量。表示投资增量。v 同时，由于投资增加而引起的总收入增加同时，由于投资增加而引起的总收入增加中还包括由此而间接引起的消费增量（中还包括由此而间接引起的消费增量（CC）在内，即在内，即Y=I+CY=I+C，这使投资乘数的大，这使投资乘数的大小与消费倾向有着密切的关系，两者之间的小与消费倾向有着密切的关系，两者之间的关系可用数学公式推导如下：关系可用数学公式推导如下：K=Y/I=Y

20、/(Y-C)=1/(1-C/Y)K=Y/I=Y/(Y-C)=1/(1-C/Y)其中，其中，C/Y C/Y为边际消费倾向。由上式可为边际消费倾向。由上式可见，边际消费倾向越高，投资乘数越大，反见，边际消费倾向越高，投资乘数越大，反之则投资乘数越小。之则投资乘数越小。v 假定边际消费倾向假定边际消费倾向=4/5=4/5，增加投资，增加投资100100万，万，则增加总收入：则增加总收入：100+100*4/5+100*4/5*4/5+100+100*4/5+100*4/5*4/5+-=500v 比如说，我花费比如说，我花费10001000元购买了一套衣服，元购买了一套衣服，服装加工者和布料生产者因此

21、增加了服装加工者和布料生产者因此增加了10001000元元收入。如果他们的边际消费倾向均为收入。如果他们的边际消费倾向均为0.75(0.75(或或者说边际储蓄倾向为者说边际储蓄倾向为0.25)0.25)他们会支出他们会支出750750元元购买他们需要的消费品。这些消费品的生产购买他们需要的消费品。这些消费品的生产者也会增加者也会增加750750元的收入，如果他们的边际消元的收入，如果他们的边际消费倾向也是费倾向也是0.75,0.75,他们又会支出他们又会支出750*0.75=625.50750*0.75=625.50元。如此继续下去，每一轮元。如此继续下去，每一轮新支出都是上一轮收入的新支出都

22、是上一轮收入的3/43/4（即（即0.75).0.75).v 这样，最初的这样，最初的10001000元消费就导致了一系元消费就导致了一系列次一轮的再消费支出。尽管这一系列的再列次一轮的再消费支出。尽管这一系列的再支出永无止境，但其数值却一次比一次减少。支出永无止境，但其数值却一次比一次减少。最终的总和是一个有限的量。即：最终的总和是一个有限的量。即：1000*(1+c+c2+c3+.+cn)=1000*(1/s)=11000*(1+c+c2+c3+.+cn)=1000*(1/s)=1000*(1/0.25)=4000000*(1/0.25)=4000v 如果另外一个国家的人民生活很简朴，如果

23、另外一个国家的人民生活很简朴，将收入的大部分都储蓄起来，比如边际储蓄将收入的大部分都储蓄起来，比如边际储蓄倾向是倾向是s=0.80s=0.80，亦即边际消费倾向，亦即边际消费倾向c=0.2c=0.2，那么这个国家的经济规模增长情，那么这个国家的经济规模增长情况如何呢？况如何呢？=1/s=1/0.8=1.125=1/s=1/0.8=1.125也就是说，每新增加也就是说，每新增加10001000单位的收入，只能单位的收入，只能推动国民经济增长推动国民经济增长125125个单位。与前面相比，个单位。与前面相比，差别很大。差别很大。v 政府的财政支出（包括政府消费支出和政府的财政支出（包括政府消费支出

24、和政府投资支出）是一种与居民投资十分类似政府投资支出）是一种与居民投资十分类似的高效能支出。政府在商品与服务上的一项的高效能支出。政府在商品与服务上的一项采购，将会引发一系列的再支出：比如政府采购，将会引发一系列的再支出：比如政府花费花费15001500亿亿RMBRMB修建青藏铁路，修路工和他的修建青藏铁路，修路工和他的公司就会用其收入的一部分购买消费品；这公司就会用其收入的一部分购买消费品；这又会引起出售消费品的人收入的增加，而增又会引起出售消费品的人收入的增加，而增加的收入的一部分又会花掉。按前面的例子，加的收入的一部分又会花掉。按前面的例子，当当=4=4时，那么政府所增加的时，那么政府所

25、增加的15001500亿人民币亿人民币支出，将会增加国民收入支出，将会增加国民收入60006000亿亿RMBRMB！v约翰约翰梅纳德梅纳德凯恩斯凯恩斯（John Maynard KeynesJohn Maynard Keynes），），现代西方经济学最有影现代西方经济学最有影响的经济学家之一，他响的经济学家之一，他创立的宏观经济学与弗创立的宏观经济学与弗洛伊德所创的精神分析洛伊德所创的精神分析法和爱因斯坦发现的相法和爱因斯坦发现的相对论一起并称为二十世对论一起并称为二十世纪人类知识界的三大革纪人类知识界的三大革命。命。v 二战以来最杰出的经济学家之一、英国二战以来最杰出的经济学家之一、英国人约

26、翰人约翰梅纳德梅纳德凯恩斯（凯恩斯（1883-19461883-1946）。凯）。凯恩斯毕业于剑桥大学，除了在剑桥大学任教恩斯毕业于剑桥大学，除了在剑桥大学任教外，还长期担任英国政府要职。外，还长期担任英国政府要职。1929-19331929-1933年年世界经济总危机爆发后，他担任英国内阁财世界经济总危机爆发后，他担任英国内阁财政经济顾问委员会主席。二战期间任英格兰政经济顾问委员会主席。二战期间任英格兰银行董事。银行董事。19441944年他率领英国代表团参加在年他率领英国代表团参加在美国布雷顿森林城召开的国际货币美国布雷顿森林城召开的国际货币 金融金融 会会议，以后又担任了国际货币基金组织

27、（议，以后又担任了国际货币基金组织（IMFIMF）和国际复兴开发银行（世界银行前身）的董和国际复兴开发银行（世界银行前身）的董事。事。v 在繁忙的教书、写书和处理政务之外，他还投在繁忙的教书、写书和处理政务之外，他还投资经营着数家个人资经营着数家个人 企业企业 ，而且规模可观，非常成，而且规模可观，非常成功！此外，他还有一位年轻、漂亮、温柔、小他二功！此外，他还有一位年轻、漂亮、温柔、小他二十岁的前苏联国家芭蕾舞团的着名演员做他的妻子。十岁的前苏联国家芭蕾舞团的着名演员做他的妻子。凯恩斯写过许多论文和专着。最着名的就是就业、凯恩斯写过许多论文和专着。最着名的就是就业、利息和货币通论。在这本书中

28、他把自己的学说发利息和货币通论。在这本书中他把自己的学说发展成一个完整的展成一个完整的 理论理论 体系。经济史学家把通论体系。经济史学家把通论的出版称为经济理论中的的出版称为经济理论中的“凯恩斯革命凯恩斯革命”。甚至。甚至有人把他的贡献与哥白尼的天文学、达尔文的进化有人把他的贡献与哥白尼的天文学、达尔文的进化论相提并论，把通论与亚当论相提并论，把通论与亚当斯密的国富论斯密的国富论、马克思的资本论并列为经济学说史上的三、马克思的资本论并列为经济学说史上的三大着作。大着作。v 凯恩斯不是一个社会主义者，然而他的理论却凯恩斯不是一个社会主义者，然而他的理论却非常适合计划经济模式。就象另一位着名的经济

29、学非常适合计划经济模式。就象另一位着名的经济学家琼家琼罗宾逊夫人评论的那样，如果那些社会主义罗宾逊夫人评论的那样，如果那些社会主义的实践者们能够真正地把凯恩斯理论的实践者们能够真正地把凯恩斯理论 应用应用 于实践，于实践，那么社会主义的经济成就将是十分惊人的！这是因那么社会主义的经济成就将是十分惊人的！这是因为凯恩斯理论是一种十分有效的宏观调控工具，社为凯恩斯理论是一种十分有效的宏观调控工具，社会主义国家政府的权力又比较集中，二者的充分结会主义国家政府的权力又比较集中，二者的充分结合与自如运用，将会产生巨大的创造力！它不象在合与自如运用，将会产生巨大的创造力！它不象在西方市场经济国家，政府的权

30、力十分有限，人民担西方市场经济国家，政府的权力十分有限，人民担心政府的权力太大会侵害公民的人身自由和个人财心政府的权力太大会侵害公民的人身自由和个人财产安全，因此政府的权力受到许多限制，使许多宏产安全，因此政府的权力受到许多限制，使许多宏观调控工具不能有效地发挥作用。在观调控工具不能有效地发挥作用。在19371937年的德文年的德文版通论序言中，凯恩斯也说：我的理论最适合版通论序言中，凯恩斯也说：我的理论最适合集权国家和极权国家。集权国家和极权国家。v 凯恩斯理论后来经过许多着名经济学家凯恩斯理论后来经过许多着名经济学家如库兹涅克、汉森、萨缪尔森、克莱因等的如库兹涅克、汉森、萨缪尔森、克莱因等

31、的改造和发扬光大，逐渐使凯恩斯理论改造和发扬光大，逐渐使凯恩斯理论“政策政策化化”，并为有关的政策执行部门所应用，产，并为有关的政策执行部门所应用，产生了巨大的生了巨大的 影响影响 ，实现了，实现了“充分就业充分就业”和和“稳定中求发展稳定中求发展”，并逐渐熨平和减少了商，并逐渐熨平和减少了商业周期的危害。尤其是他的业周期的危害。尤其是他的“收入乘数原理收入乘数原理”对国民经济的计划调节与管理是十分有用对国民经济的计划调节与管理是十分有用的。的。第二章第二章 插插 值值 法法主要知识点主要知识点vLagrangeLagrange插值插值(含线性插值、抛物插值、含线性插值、抛物插值、n n次次L

32、agrangeLagrange插值公式插值公式)；v牛顿（牛顿（NewtonNewton）插值及余项、差商的定义与性质）插值及余项、差商的定义与性质;v埃尔米特埃尔米特(Hermite)(Hermite)插值公式及余项；插值公式及余项；v等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条等距节点的多项式插值、分段低次多项式插值、三次样条插值。插值。插值问题描述插值问题描述v设已知某个函数关系设已知某个函数关系 在某些离散点上的函数值：在某些离散点上的函数值：vv插值问题插值问题插值问题插值问题：根据这些已知数据来构造函数：根据这些已知数据来构造函数 的一的一种简单的近似表达式种简单的近似表达式

33、,以便于计算点以便于计算点 的函数值的函数值 ，或计算函数的一阶、二阶导数值。，或计算函数的一阶、二阶导数值。插值的几何意义插值多项式插值多项式的几何意义的几何意义插值唯一性定理插值唯一性定理定理：定理：(唯一性唯一性)满足满足 的的 n 阶插值阶插值多项式是唯一存在的。多项式是唯一存在的。存在唯一性定理证明存在唯一性定理证明设所要构造的插值多项式为：设所要构造的插值多项式为：由插值条件由插值条件 得到如下线性代数方程组：得到如下线性代数方程组：存在唯一性定理证明存在唯一性定理证明(续续)此方程组的系数行列式为此方程组的系数行列式为 范得蒙行列式范得蒙行列式！当当 时时，D 0，因此，因此，P

34、 Pn n(x x)由由a a0 0,a a1 1,a an n唯一确定。唯一确定。插值方法一、解方程组法：一、解方程组法：类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为为，将，将个节点的函数值个节点的函数值代入多项式里，便得到代入多项式里，便得到个等式，得到一个关于多项式个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。插值多项式。二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介

35、绍。求解的方法，下面将具体介绍。拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉拉格格朗朗日日（LagrangeLagrange）插插值值公公式式的的基基本本思思想想是是，把把p pn n(x x)的的构构造造问问题题转转化化为为n+1n+1个个插插值值基基函函数数l li i(x)(i=0,1,n)(x)(i=0,1,n)的构造。的构造。线性插值函数线性插值函数x0 x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见可见 是过是过 和和 两点的直线。两点的直线。抛物插值函数抛物插值函数x0 x1x2p2(x)f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。因过三点的二次曲线为抛物线，故称

36、为抛物插值。N次插值函数要求：无重合节点，即要求：无重合节点，即设连续函数设连续函数 在在a,ba,b上对给定上对给定n n+1+1个不同结点：个不同结点：分别取函数值分别取函数值其中其中试构造一个次数不超过试构造一个次数不超过n n的插值多项式的插值多项式使之满足条件使之满足条件 i=0,1,2,n一次Lagrange插值多项式(1)已知函数已知函数 在点在点 上的值为上的值为 ，要求，要求多项式多项式 ，使，使 ，。其几何意义，。其几何意义，就是通过两点就是通过两点 的一条直线，如图所的一条直线，如图所示。示。一次Lagrange插值多项式(2)一次插值多项式一次插值多项式 一次Lagra

37、nge插值多项式(3)由直线两点式可知，通过由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为的直线方程为它也可变形为它也可变形为 显然有：显然有：一次一次Lagrange插值多项式插值多项式(4)记记可以看出可以看出的线性组合得到，其系数分别为的线性组合得到，其系数分别为，称称为节点为节点,的线性插值基函数的线性插值基函数一次Lagrange插值多项式(5)线性插值基函数线性插值基函数满足下述条件满足下述条件1001并且他们都是一次函数。并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要注意他们的特点对下面的推广很重要一次Lagrange插值多项式(6)v我们称我们称 为点为点 的一次插值基函数，

38、的一次插值基函数，为点为点 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为为1 1，而在另外的插值点上取值为，而在另外的插值点上取值为0 0。插值函数。插值函数 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（格朗日（LagrangeLagrange）插值。）插值。例题分析例题分析1例：例：已知特殊角已知特殊角 处的正弦函数值处的正弦函数值分别为分别为求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用求正弦函数的一次、二次插值多项式，并用插值函数近似计算插值函数近似计算，并估计误差，并估计误差解：一次插值函数为解：一次插值函数为例题分析例题分析2误差为误差为在所求点的函数值为在所求点的函数值为误差为误差为知知例题分析例题分析3二次插值多项式为二次插值多项式为误差为误差为所求函数值为所求函数值为例题分析例题分析4误差为误差为右图中红色曲线右图中红色曲线为为 图形图形,绿色绿色曲线为插插值函曲线为插插值函数的图形。数的图形。