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1、 经济研究中的经济研究中的 计算方法计算方法一个生活问题一个生活问题v 星期天，小明和张老师提着篮子（篮子星期天，小明和张老师提着篮子（篮子重重0.50.5斤）去集市买斤）去集市买1010斤鸡蛋，当张老师往篮斤鸡蛋，当张老师往篮子里放称好的鸡蛋时，感觉比过去买子里放称好的鸡蛋时，感觉比过去买1010斤鸡斤鸡蛋时个数少很多。于是她将鸡蛋装进篮子再蛋时个数少很多。于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得让摊主一起称，共称得10.5510.55斤。她即刻要求斤。她即刻要求摊主补给少称部分的蛋。旁边的小明感到疑摊主补给少称部分的蛋。旁边的小明感到疑惑不解。聪明的你，张老师怎么知道蛋肯定惑不解。聪明的
2、你，张老师怎么知道蛋肯定少了。若用摊主的秤称应补多少斤？少了。若用摊主的秤称应补多少斤？v 让我们分析一下：因为篮子重让我们分析一下：因为篮子重0.50.5斤，连鸡蛋一起称为斤，连鸡蛋一起称为0.550.55斤，故篮子重斤，故篮子重了了0.050.05斤。故张老师就知道这斤。故张老师就知道这1010斤蛋肯斤蛋肯定少了。设用摊主的秤称应补定少了。设用摊主的秤称应补x x斤鸡蛋，斤鸡蛋，则则 0.50.50.55=100.55=1010+x10+x。v 解得解得x=1x=1。经检验经检验x=1x=1是原方程的解且符合题意。是原方程的解且符合题意。所以用摊主秤称应补给张老师一斤鸡蛋。所以用摊主秤称应
3、补给张老师一斤鸡蛋。通过以上例题让学生明白上街买菜虽是通过以上例题让学生明白上街买菜虽是小事，但每天必做。生活确实离不开数小事，但每天必做。生活确实离不开数学。学。复利、连续复利与贴现复利、连续复利与贴现v这个结果表明，结算周期无穷小，即银行要这个结果表明，结算周期无穷小，即银行要连续不断地向顾客付利息，这种计息方式就连续不断地向顾客付利息，这种计息方式就称为称为-连续复利。连续复利。但这种连续复利的结果也不是无穷大。但这种连续复利的结果也不是无穷大。复利、连续复利与贴现的例子复利、连续复利与贴现的例子什么是什么是“总收入的现值总收入的现值”？资金的时间价值体现在这个计算公式中资金的时间价值体
4、现在这个计算公式中第一章 误 差 主要知识点主要知识点v数值计算方法的主要内容；数值计算方法的主要内容；v数值计算方法的定义；数值计算方法的定义；v近似计算时，常采用的一些方法；近似计算时，常采用的一些方法；v误差的来源；误差的来源；v计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字位数；误差、相对误差限，有效数字位数；v数值运算中应注意的事项。数值运算中应注意的事项。数值数值计算方法的主要内容计算方法的主要内容数值计算方法这门学科是根据解决实际问题数值计算方法这门学科是根据解决实际问题的需要而产生，并随着科学技术的发展而不断地的需要而产生，并
5、随着科学技术的发展而不断地发展与创新。主要内容包括误差的一般概念、插发展与创新。主要内容包括误差的一般概念、插值法、数据拟合法、非线性方程的数值解法、线值法、数据拟合法、非线性方程的数值解法、线性代数方程组的数值解法、数值积分法、数值微性代数方程组的数值解法、数值积分法、数值微分法、常微分方程初值问题的数值解法和矩阵特分法、常微分方程初值问题的数值解法和矩阵特征值与特征向量的求法等。征值与特征向量的求法等。数值数值计算方法的定义计算方法的定义v数值数值计算方法是研究常见的基本数学问题的数值计算方法是研究常见的基本数学问题的数值解法及其相关理论的一门数学分支，它包含了数解法及其相关理论的一门数学
6、分支，它包含了数值代数、数值微分与积分，常微分方程数值解等值代数、数值微分与积分，常微分方程数值解等内容。内容。课程的主要目的课程的主要目的v数值数值计算方法课程的主要目的就是为人类解决很计算方法课程的主要目的就是为人类解决很多实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的多实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的任务就是学习、掌握并利用这个工具。任务就是学习、掌握并利用这个工具。v培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识；培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识；v在学完数学分析、高等代数之后继续提高运用数在学完数学分析、高等代数之后继续提高运用数学知识，解决数值计算问题的能力。学知识，解决数值计
7、算问题的能力。误差来源误差来源 1、模型误差、模型误差 2、观测误差、观测误差 3、截断误差、截断误差 4、舍入误差、舍入误差模型误差模型误差v用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽略许多次要因素，把模型略许多次要因素，把模型“简单化简单化”、“理想化理想化”，因此模型本身就包含有误差，这种误差称为，因此模型本身就包含有误差，这种误差称为模型误差。模型误差。模型误差例题模型误差例题v例例1 我们用我们用 ，（为重力加速度）为重力加速度）来描述物体自由下落时距离与时间的关系设自来描述物体自由下落时距离与时间的关系设自由落体在时间由落体在时间 时的实际
8、下落距离为时的实际下落距离为 ，则，则 就是就是“模型误差模型误差”。观测误差观测误差v在数学模型中总要包含一些观测数据，这在数学模型中总要包含一些观测数据，这些观测数据受工具、方法、观测者的主观些观测数据受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差，这种误差称为观测误差。入误差，这种误差称为观测误差。观测误差例题观测误差例题v例例2 设一根铝棒在温度设一根铝棒在温度 时的实际长度为时的实际长度为 ，在，在 时的实际长度为时的实际长度为 ，用，用 来表示铝棒在温度为来表示铝棒在温度为 时时的长度计算值，并建立数学模型：的长度计算值，并
9、建立数学模型：，v其中其中 是实验观测到的常数：是实验观测到的常数：v则称则称 为为“模型误差模型误差”，是是 的的“观测观测误差误差”。截断误差截断误差v在解决实际问题时，数学模型常常难于直在解决实际问题时，数学模型常常难于直接求解，往往要近似代替，其近似解与精接求解，往往要近似代替，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。确解之间的误差称为截断误差。截断误差例题截断误差例题v例例3 求求 时，可将时，可将 展开为级数形式：展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如在实际计算时，我们只取前面有限项（例如 项）项）计算部分和计算部分和 作为作为 的值必然产生误差，其误的值必然产生误
10、差，其误差为：差为：这个误差就是这个误差就是“截断误差截断误差”。舍入误差舍入误差v在计算时总是只能取有限位有效数字进行在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而引起，初始参数与中间结果都必须计算而引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。舍入误差例题舍入误差例题v例例4 ，等，在计算机上运算时只能用有限等，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果取小数点后四位数字，则位小数，如果取小数点后四位数字，则 ,，就是就是“舍入误差舍入误差”误差来源分析误差来源分析总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、总之，误差一般来自模型误差、观
11、测误差、截断误差、舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。成为计算中误差的主要部分。误差分析是一门专门的学科，
12、经过训练的计算工作者，误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。误差理论误差理论v误差、误差限、有效数字误差、误差限、有效数字v相对误差及与有效数字的联相对误差及与有效数字的联系系v算术运算的误差和相对误差算术运算的误差和相对误差误差的概念误差的概念v定义定义1.1 设设 为准确值，为准确值，为为 的一个近似值，的一个近似值，称称 为为 近似值的绝对误差，简称误差。近似值的绝对误差，简称误差。v误差
13、是有量纲的量误差是有量纲的量，它可正可负，当绝对误差为，它可正可负，当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。负时，近似值偏小，则称弱近似值。绝对误差限绝对误差限v通常我们并不知道准确值通常我们并不知道准确值 ，也不能算出误差的，也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值的绝对值的上限，这个上限称为近似值 的误差的误差限。记为限。记为 。v 即即v v在工程中常记为：在工程中常记为：绝对误差限例题绝对误差限例题v例
14、例5 我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度度 ，读出的长度为，读出的长度为 ，是是 的近似值，由于米尺的精度知道，它的的近似值，由于米尺的精度知道，它的误差限为误差限为0.5mm，则有，则有相对误差相对误差v定义定义1.2 误差与精确值的比值误差与精确值的比值 称作近似值称作近似值 的相对误差，记作。相对误差的相对误差，记作。相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。相对误差限相对误差限v相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：估计的：就是相对误差限当
15、就是相对误差限当 较小时，可以忽略不较小时，可以忽略不计，所以以后我们就用计，所以以后我们就用 表示相对误差限。表示相对误差限。有效数字位数有效数字位数v定义定义1.3 如果近似值如果近似值 的绝对误差限的绝对误差限 是某一位是某一位数字的半个单位，我们就说数字的半个单位，我们就说 准确到该位，从这准确到该位，从这一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数字称为字称为 的有效数字。的有效数字。有效数字位数有效数字位数(续续)则说则说x*近似表示近似表示 x 准确到小数后第准确到小数后第n位，并从这第位，并从这第n位起位起直到最左边的非零数字之间的一切数
16、字都称为直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字有效数字有效数字有效数字，并把有效数字的位数称为并把有效数字的位数称为有效位数有效位数有效位数有效位数。有效数位为有效数位为3位位有效数位为有效数位为5位位有效数位为有效数位为4位位有效数字位数例题有效数字位数例题重要定理、结论重要定理、结论v定理定理1.1 设近似值设近似值 ，有有n位有位有效数字，则其相对误差限为效数字，则其相对误差限为 v定理定理1.2 设近似值设近似值 的相对误差限的相对误差限为：为：，则它有则它有n位有效数字。位有效数字。例题分析例题分析v例若例若 是是 的具有六位有效数字的的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是：近似值，那么它的误差限是：v若若 是是 的具有五位有效数字的近似的具有五位有效数字的近似值，则误差限是：值，则误差限是：1 1、避免两个相近的数相减；、避免两个相近的数相减；2 2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；3 3、要防止大数、要防止大数“吃掉吃掉”小数；小数；4 4、尽可能减少运算次数；、尽可能减少运算次数；5 5、要设法控制误差的传播。、要设法控制误差的传播。在近似计算中应该注意的事项在近似计算中应该注意的事项