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1、一、三角形的定义及分类定义：定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。成的封闭图形叫做三角形。分类：分类：按边分：按边分：按角分：按角分：二、三角形三边关系a ab bx xa+ba+b1.1.下列长度的三条线段能组成三角形的是（下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A A1 1、2 2、3.5 B3.5 B4 4、5 5、9 C9 C2020、1515、8 D8 D5 5、1515、8 82.2.已知三角形的三边分别为已知三角形的三边分别为3,7,a,3,7,a,则整数则整数a a 的值是的值是 。3.3.已知已知ABC
2、ABC中中AB=8AB=8，AC=6AC=6，则中线，则中线ADAD的取值范围是的取值范围是 。4.4.若平行四边形若平行四边形ABCDABCD中中AB=8,AC=6,AB=8,AC=6,则对角线则对角线BDBD长的取值范围是长的取值范围是 。5.5.若梯形若梯形ABCDABCD中中ABABCDCD，底边，底边AB=8,CD=6,AB=8,CD=6,一腰一腰AD=3AD=3，则另一腰，则另一腰 BC BC长的取值范围是长的取值范围是 。6.6.（最值问题（最值问题线段和最小、差最大）线段和最小、差最大）E EP P三、三角形三角关系1.1.1.1.在在在在ABCABCABCABC中中中中,AD
3、,AD,AD,AD是是是是BCBCBCBC边上的高，若边上的高，若边上的高，若边上的高，若DAC=20DAC=20DAC=20DAC=20o o o o,则则则则ACB=ACB=ACB=ACB=。CECECECE是是是是ACBACBACBACB的角平分线，交的角平分线，交的角平分线，交的角平分线，交ADADADAD于点于点于点于点P P P P，则，则，则，则CPD=_CPD=_CPD=_CPD=_。BEC=105BEC=105BEC=105BEC=105o o o o，则，则，则，则B=_B=_B=_B=_。3.3.如图：点如图：点D D在在BCBC上，点上，点E E在在ADAD上比较上比较
4、 B B与与11的大小。的大小。并说明你的理由？并说明你的理由？ABCED1三角形的内角和为三角形的内角和为180180 三角形的外角和为三角形的外角和为360 360 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。B=45,BAD=30,ECD=35,B=45,BAD=30,ECD=35,求求11的度数。的度数。三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。2 2、在、在ABCABC中，中，A=2B=3CA=2B=3C，判断三角形类型。，判断三角形类型。三、三角形三角关系D DC CB BA A练习练习1 1：如图，点
5、：如图，点D D在在BACBAC内部，内部，请说明请说明BDCBDCBACBAC的理由。的理由。若若B=25B=25，C=20C=20，A=40A=40，你能用几种方法计算出你能用几种方法计算出DD的度数。的度数。2.2.如图、如图、A+B+C+D+E=A+B+C+D+E=。ABCDE3.3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：有一次柯南看见这样一个图，要计算：A+B+C+D+E+F=A+B+C+D+E+F=度度1、角平分线、角平分线（1 1）定义）定义:连结三角形的一个角的顶点和这个角的平分线与对边连结三角形的一个角的顶点和这个角的平分线与对边交点的线段；交点的线段；（2 2）性质：三角形的三
6、内角的平分线交于一点）性质：三角形的三内角的平分线交于一点,这个点称为内心；这个点称为内心；它到三角形的三条边的距离相等它到三角形的三条边的距离相等如图如图:三村庄三村庄A A、B B、C C恰好位于三条公路交叉口上，现欲建一生活恰好位于三条公路交叉口上，现欲建一生活污水处理中心污水处理中心P,P,要求到三条公路的距离相等要求到三条公路的距离相等,请问请问P P应建在何处？应建在何处？A A三角形三角形ABCABC三边的中垂线交点处三边的中垂线交点处B B三角形三角形ABCABC三个内角的角平分线交点处三个内角的角平分线交点处C C三角形三角形ABCABC三条高线交点处三条高线交点处D D三角
7、形三角形ABCABC三条中线交点处三条中线交点处四、三角形中重要的线1.1.如如图图,BE,BE、CFCF是是ABCABC的角平分的角平分线线,A=80,A=80。则则BOC=BOC=（）度）度2.2.在在ABCABC中，中，ADAD平分平分BACBAC，AB+BD=ACAB+BD=AC，求，求BB：CC的值的值2、三边中垂线、三边中垂线性质：三角形的性质：三角形的三边中垂线三边中垂线交于一点交于一点,这个点称为外心；它到三角这个点称为外心；它到三角形的三个顶点的距离相等形的三个顶点的距离相等如图如图:三村庄三村庄A A、B B、C C恰好位于三条公路交叉口上，现欲建一生活恰好位于三条公路交叉
8、口上，现欲建一生活污水处理中心污水处理中心P,P,要求到三个村庄的距离相等要求到三个村庄的距离相等,请问请问P P应建在何处？应建在何处？A A三角形三角形ABCABC三边的中垂线交点处三边的中垂线交点处B B三角形三角形ABCABC三个内角的角平分线交点处三个内角的角平分线交点处C C三角形三角形ABCABC三条高线交点处三条高线交点处D D三角形三角形ABCABC三条中线交点处三条中线交点处四、三角形中重要的线练习练习：如：如图图,O,O是是ABCABC三边中垂线交点，三边中垂线交点，连连BOBO、COCO，A=80A=80。则则BOC=BOC=（）度）度A A、110 B110 B、12
9、0 C120 C、140 D140 D、1601603、中线、中线（1）定义：连结三角形的一个顶点和它对边中点线段；）定义：连结三角形的一个顶点和它对边中点线段；（2）性质：）性质：三角形的中线平分三角形面积；三角形的中线平分三角形面积；三角形的三条中线交于一点，这个点称为重心；三角形的三条中线交于一点，这个点称为重心；在在ABC中，中，AD是是BC边上的中线，已知边上的中线，已知AC=3，ABD 与与ACD的周长的差是的周长的差是2。（1）你能求出）你能求出AB的长吗？的长吗？（2）ABD与与ACD面积有什么关系？面积有什么关系？A AB BC CD D四、三角形中重要的线例例1 1：如图，
10、：如图，ABCABC的面积为的面积为a a 如图，延长如图，延长ABCABC的边的边BCBC到点到点D D，延长边，延长边CACA到到点点E E，使，使CD=BCCD=BC，AE=CAAE=CA，连结，连结DEDE若若DECDEC的面积的面积为为S S2 2，则，则S S2 2=_(=_(用含用含a a的代数式表示的代数式表示)A AB BC CE ED D2a 在上图的基础上延长在上图的基础上延长ABAB到点到点F F，使，使BF=ABBF=AB，连结，连结FDFD，FEFE，得到，得到DEFDEF（如图）若阴影部分的面积（如图）若阴影部分的面积为为S S3 3，则，则S S3 3=_(=_
11、(用含用含a a的代数式表示的代数式表示)例例1 1：如图，：如图，ABCABC的面积为的面积为a a6aA AB BC CE ED D发现发现发现发现:像上面那样像上面那样像上面那样像上面那样,将将将将ABCABCABCABC各边均顺次延长一倍各边均顺次延长一倍各边均顺次延长一倍各边均顺次延长一倍,连结所得连结所得连结所得连结所得端点端点端点端点,得到得到得到得到DEF,DEF,DEF,DEF,称第一次操作称第一次操作称第一次操作称第一次操作.将将将将DEFDEFDEFDEF各边均顺次延长各边均顺次延长各边均顺次延长各边均顺次延长一倍一倍一倍一倍,连结所得端点连结所得端点连结所得端点连结所得
12、端点,得到得到得到得到GHI,GHI,GHI,GHI,称第二次操作称第二次操作称第二次操作称第二次操作,.,.,.,.若若若若ABCABCABCABC的面积为的面积为的面积为的面积为1,1,1,1,按此规律按此规律按此规律按此规律,要使得到的三角形的面积超过要使得到的三角形的面积超过要使得到的三角形的面积超过要使得到的三角形的面积超过2010,2010,2010,2010,最少经过最少经过最少经过最少经过_次操作。次操作。次操作。次操作。4 例例2：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。的一半。已知：如图，已知：如图，AD是是ABC 的中线，
13、的中线，ABCDE求证：求证：常用辅助线：延长中线常用辅助线：延长中线4、高线、高线（1）定义：从三角形的顶点到它对边所在直线的垂线段；）定义：从三角形的顶点到它对边所在直线的垂线段；（3）性质：）性质：三角形的三条高线交于一点；三角形的三条高线交于一点；这个点可以在三角形的内部这个点可以在三角形的内部(锐角三角形锐角三角形)可以在直角顶点，可以在直角顶点，还可以在三角形的外部还可以在三角形的外部(钝角三角形钝角三角形)；（2）作图：）作图：四、三角形中重要的线5.三角形的中位线三角形的中位线1、定义：连结三角形两边中点的线段、定义：连结三角形两边中点的线段2、性质：、性质：三角形的中位线平行
14、于第三边且等于第三边的一半三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半已知等腰三角形的腰长是已知等腰三角形的腰长是6cm，底边长为，底边长为8cm，那么以，那么以各边中点为顶点的三角形的周长是各边中点为顶点的三角形的周长是_。三角形的中位线构成的三角形与原三角形之联系三角形的中位线构成的三角形与原三角形之联系四、三角形中重要的线练习：连接四边形练习：连接四边形ABCDABCD各边中点所成的小四边形的形状是：各边中点所成的小四边形的形状是：。若四边形若四边形ABCDABCD的面积为的面积为S S，周长为，周长为L L，则小四边形的面积与周长，则小四边形的面积与周长分别是：分别是：。六、三角形的稳
15、定性 如图所示，工人师傅砌门时，选用木条如图所示，工人师傅砌门时，选用木条EF固定固定长方形门框长方形门框ABCE，使其不变形，这种做法的根，使其不变形，这种做法的根据是（据是（）A、矩形的四个角都是直角、矩形的四个角都是直角 B、矩形的对称性、矩形的对称性 C、两点之间线段最短、两点之间线段最短 D、三角形的稳定性、三角形的稳定性D（1 1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。）全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2 2）全等三角形的对应线段全部相等）全等三角形的对应线段全部相等(包括面积）。包括面积）。2 2、性质、性质3 3、判定、判定（1 1）全等三角形的定义）全等三角形的定义(通过
16、折叠、旋转、轴对称所得的三角形通过折叠、旋转、轴对称所得的三角形)（2 2）边边边公理（）边边边公理（SSSSSS）（3 3）边角边公理（）边角边公理（SASSAS）（4 4）角边角公理（）角边角公理（ASAASA）（5 5）角角边定理（）角角边定理（AASAAS）（6 6）斜边直角边定理（）斜边直角边定理（HLHL）七、三角形全等1 1、定义、定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形4 4、关注：、关注：SSASSA不能直接判定两三角形全等不能直接判定两三角形全等如图：如图：BAF=CAEBAF=CAE，AB=ACAB=AC，CE=BFCE=BF，但
17、两三角形显然不全等。但两三角形显然不全等。但可构造全等但可构造全等D如图：在四边形如图：在四边形ABCDABCD中，中，ACAC平分平分BADBAD，BC=CD=10BC=CD=10，AB=21,AD=9AB=21,AD=9，（，（1 1）B+D=180B+D=180（2 2）求）求ACAC长长全等三角形全等三角形 常见常见的基本图形的基本图形背靠型背靠型小山型小山型倒影型倒影型平移型平移型旋转型旋转型8字型字型A字型字型反反8型型方法总结方法总结:1、要说明两个三角形全等，只要结合题目的条、要说明两个三角形全等，只要结合题目的条件和结论，就可选择恰当的判定方法进行判定件和结论，就可选择恰当的
18、判定方法进行判定2、经过翻折、旋转、平移等变换得到的三角形和原三角形全等。、经过翻折、旋转、平移等变换得到的三角形和原三角形全等。1、如图，已知、如图，已知ABC和和DCB中，中，AB=DC，请补充一个条件请补充一个条件 ，使，使ABC DCB。思路思路1：找夹角找夹角找第三边找第三边已知两边：已知两边：ABC=DCB（SAS）AC=DB（SSS）ABCDABC=DCB思路思路2：找任一角找任一角已知一边一角已知一边一角（边与角相对）（边与角相对）CAB=DAB 或者或者 CBA=DBA七、三角形全等开放题：添条件，证全等开放题：添条件，证全等 2、如图，已知如图，已知 B=E ，要使要使 A
19、BC AED，需要添加的一个条件是需要添加的一个条件是 .思路思路3：已知两角：已知两角：找夹边找夹边找一角的对边找一角的对边ABCDEAB=AEAC=AD或或 DE=BC(ASA)(AAS)AB=AE思路思路4：找夹这个角的另一边找夹这个角的另一边找夹这条边的另一角找夹这条边的另一角找边的对角找边的对角AO=BO APO=BPO PAO=PBO（SAS）（AAS）七、三角形全等证全等，得角相等证全等，得角相等三角形全等的证题思路：三角形全等的证题思路：方法总结方法总结:3.3.如图，点如图，点A A、F F、E E、C C在同一直线上，在同一直线上，AFAFCECE，BE BE=DFDF，B
20、EBEDFDF，求证：，求证：ABABCDCD。七、三角形全等证全等得角相等证全等得角相等4.已知：如图，在已知：如图，在ABC 中，中，D是是BC边的中点，边的中点，DEBC交交BAC 的平分线于的平分线于E，EFAB交交AB于点于点F，EGAC交交AC的延长线于点的延长线于点G。求证：求证：BFCG。七、三角形全等证全等得边相等证全等得边相等5.5.如图，如图，ACB=90ACB=90，AC=BCAC=BC，BECEBECE，ADCEADCE于于D D，AD=2cm,AD=2cm,AB=cm AB=cm。求：。求：BEBE的长。的长。ABCDE利用等腰利用等腰+直角构造全等直角构造全等七、
21、三角形全等利用中点构造全等利用中点构造全等7.7.如图：等腰三角形如图：等腰三角形ABCABC中中AB=ACAB=AC，E E是是ABAB边上一点，边上一点，F F是是ACAC延长延长线上一点，且线上一点，且BE=CFBE=CF，连，连EFEF交交BCBC于点于点D D。求证：。求证：ED=FDED=FD6.6.请设计一种方法，把图中直角梯形只剪一刀后拼成一个矩形。请设计一种方法，把图中直角梯形只剪一刀后拼成一个矩形。8.8.已知，如图，在已知，如图，在ABCABC中，中，D D是是BCBC边的中点边的中点E E是是ADAD上一上一点，点，BEBEACAC，BEBE的延长线交的延长线交ACAC
22、于点于点F F，求证：求证：AEF=EAFAEF=EAF七、三角形全等 9.测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木，视线木，视线 与河岸垂直，然后该人沿河岸步行与河岸垂直，然后该人沿河岸步行步（每步约步（每步约0.75M）到）到O处，进行标记，再向前步行处，进行标记，再向前步行10步步到到D处，最后背对河岸向前步行处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木步，此时树木A，标记，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为，恰好在同一视线上，则河的宽度为 米。米。15ABODC构造全等解决实际问题构造全等解决实际问题七、三角形全等1 1、已知：如图
23、，在梯形、已知：如图，在梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，BC=DCBC=DC，CFCF平分平分BCDBCD，DFABDFAB，BFBF的延长线交的延长线交DCDC于点于点E E。求证：（求证：（1 1）BFCDFCBFCDFC；（；（2 2）AD=DEAD=DE图 3提高练习ABCDEF2、如图，在正方形、如图，在正方形ABCD中，点中，点E是是CD边的中点，边的中点，AC与与BE相交点相交点F，连结连结DF.（1）在不增加点和线段的前提下，）在不增加点和线段的前提下，直接写出图中所有全等三角形；直接写出图中所有全等三角形；（2）连结）连结AE，试判断，试判断AE与与DF的位置关
24、系，并的位置关系，并证明你的结论；证明你的结论；（3）延长）延长DF交交BC于点于点M，试判断，试判断BM与与MC的数量的数量关系（直接写出结论）关系（直接写出结论）.M提高练习ADFCGEB图1ADFCGEB图23、正方形、正方形ABCD中，如图中，如图1，四边形，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点E是边是边BC的中点，的中点，AEF=90，且，且EF交正方形外角的平分线交正方形外角的平分线CF于点于点F，求证：，求证：AE=EF变式变式1：如图如图2，其条件不变的情况下，点，其条件不变的情况下，点E是是BC的延长线的延长线上除上除C外任意一点，结论还成立吗？外任意一点，结论还成立吗？变
25、式变式2：如图如图3，将原题中的正方形改为正，将原题中的正方形改为正ABC，90改为改为60，结论还成立吗？，结论还成立吗？图3变式变式3：如图如图3，将原题中的正方形改为正，将原题中的正方形改为正n边形，边形，请你作出猜请你作出猜想：当想：当AEF=_时，结论仍然成立（直接写出答案）时，结论仍然成立（直接写出答案）提高练习4.已知，如图，在已知，如图，在ABC中，中，B=2A,AB=2BC求证：求证：ACBC提高练习1212、要画出、要画出AOBAOB的平分的平分线线，分，分别别在在OAOA，OBOB上截取上截取OC=ODOC=OD，OE=OFOE=OF，连结连结CFCF，DEDE，交于，交于P P点，那么点，那么AOBAOB的平分的平分线线就是射就是射线线OPOP，要，要说说明明这这个个结论结论成立，可先成立，可先说说明明EODEOD .理是理是 ，得到得到OED=，再说明，再说明PEC ，理由是，理由是 ，得，得到到PE=；最后说明；最后说明EOP ，理由是，理由是 ，从而说明了，从而说明了AOP=BOP，即，即OP平分平分AOB。