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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量数系章平面向量数系的扩充与复数的引入第的扩充与复数的引入第 1 1 节平面向量的概念及线性运算教节平面向量的概念及线性运算教师用书文新人教师用书文新人教 A A 版版深研高考备考导航 为教师授课、学生学习提供丰富备考资源五年考情考点2016 年2015 年2014 年2013 年2012 年平面向量的线性运算全国卷T6平面向量基本定理及坐标运算全国卷T13全国卷T2平面向量的数量积及其应用全国卷T13全国卷T3全国卷T20全国卷T4全国卷T4全国卷T13全国卷T14全国卷T15复数的相关
2、概念及其运算全国卷T2全国卷T2全国卷T2全国卷T3全国卷T2全国卷T3全国卷T2全国卷T2全国卷T2全国卷T2重点关注1从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小2平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量2 / 14仅起到穿针引线的载体作用3本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁导学心语1透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基
3、础(1)向量的几何运算侧重于“形” ，坐标运算侧重于“数” ，要善于将二者有机结合和转化(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用2平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用3复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法第一节第一节 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算考纲传真 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算
4、及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的3 / 14(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b
5、的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0 时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则 ab；， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线；a0( 为实数)，则 必为零；a，b 为非零向量，ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中假命题的序号为_ 不正确|a|b|.但 a，b 的方向不确定，故 a，b 不一定是相等或相反向量；不正确因为，A，B，C，D 可能在同一直线上，所以 ABCD不一定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足ab，但 a 与 b 不一定共线不正确当 1，a0 时
6、，a0.不正确对于非零向量 a，b，ab 的充要条件是|a|b|且 a，b 同向规律方法 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3若 a 为非零向量，则是与 a 同向的单位向量，是与 a 反向的单位向量6 / 14变式训练 1 设 a0 为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0 平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个
7、数是 ( ) 【导学号：31222141】A0 B1 C2 D3D 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0 平行，则 a 与 a0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.平面向量的线性运算(1)(2014全国卷)设 D，E，F 分别为ABC 的三边BC，CA，AB 的中点，则( )A.B. C.D.1 2BC(2)(2016广东广州模拟)在梯形 ABCD 中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，则( )A3B C.D3(1)C (2)A (1)如图，BC
8、()2.(2)如图，过 D 作 DEAB，mn，所以 n，m1，所以3.故选 A.规律方法 向量的线性运算的求解方法7 / 14(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练 2 (1)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则等于( )A.B2 C3D4OM(2)已知
9、D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足0，则实数 的值为_(1)D (2)2 (1)因为 M 是 AC 和 BD 的中点，由平行四边形法则，得2，2，所以4.故选 D.(2)因为 D 是 BC 的中点，则2.由0，得.又，所以点 P 是以 AB，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22，所以 2.共线向量定理的应用设两个非零向量 a 与 b 不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线解 (1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2 分8 / 142a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共
10、线，又它们有公共点 B，A，B，D 三点共线.5 分(2)kab 和 akb 共线，存在实数 ，使 kab(akb)，即 kabakb，(k)a(k1)b.9 分a，b 是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.12 分规律方法 共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量 a，b，若存在实数 ，使ab，则 a 与 b 共线(2)证明三点共线：若存在实数 ，使，则 A，B，C 三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练 3 (1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则( )AA，B，C
11、三点共线BA，B，D 三点共线CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线(2)(2015全国卷)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与9 / 14a2b 平行，则实数 _.(1)B (2) (1)2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点 B，A，B，D 三点共线故选 B.(2)ab 与 a2b 平行，abt(a2b)，即 abta2tb，解得思想与方法1向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点” ；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量” ；平行四边形法则应注意“起点重合” 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共
12、点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点 O， ，不共线，满足xy(x，yR)，则 P，A，B 共线xy1.易错与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误3在向量共线的条件中易忽视“a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个课时分层训练课时分层训练( (二十四二十四) )平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算A 组 基础达标10 / 14(建议用时：30 分钟)一、选择题1在ABC 中，已知 M 是 BC 中点，设
13、a，b，则( ) 【导学号：31222142】A.ab B.abCab DabA A b ba a，故选，故选 A.A.2已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是( )AA，B，C BA，B，DCB，C，D DA，C，DB B 因为因为3a3a6b6b3(a3(a2b)2b)3 3，又，有公共点，又，有公共点 A A，所以 A，B，D 三点共线3在ABC 中，已知 D 是 AB 边上的一点，若2，则 等于( )【导学号：31222143】A. B.1 3C D2 3A A 2 2，即，即2(2() )，.4设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是( )Aab
14、BabCa2b Dab 且|a|b|C C a aa a 与与 b b 共线且同向共线且同向a abb 且且 0.B0.B，D D 选项中选项中11 / 14a a 和和 b b 可能反向可能反向A A 选项中选项中 0.0.5设 D，E，F 分别是ABC 的三边 BC，CA，AB 上的点，且2，2，2，则与( )A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直A A 由题意得，由题意得，BE，CF因此()，故与反向平行二、填空题6已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量， ， ，满足等式，则四边形 ABCD 的形状为_. 【导学号：31222144】平行四边形 由得，所以，所
15、以四边形 ABCD 为平行四边形7在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若5e1，3e2，则_.(用 e1，e2 表示)e1e1e2e2 在矩形在矩形 ABCDABCD 中，因为中，因为 O O 是对角线的交点，所以是对角线的交点，所以5 5 2 2( () )( () )(5e1(5e13e2)3e2) 8(2015北京高考)在ABC 中，点 M，N 满足2，.若xy，则 x_；y_. 2，.1 2，()，12 / 14MN()2 3AC.又xy，x，y.三、解答题9在ABC 中，D，E 分别为 BC，AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB2GE，设a，b，试用 a，b 表示，
16、.图 411解 ()ab.2 分()AG()AC1 3ab.12 分10设两个非零向量 e1 和 e2 不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A，C，D 三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且 A，C，D 三点共线，求 k 的值解 (1)证明：e1e2，3e12e2，8e12e2，CD4e1e2(8e12e2)，与共线.3 分又与有公共点 C，A，C，D 三点共线.5 分(2)(e1e2)(2e13e2)3e12e2.7 分13 / 14A，C，D 三点共线，与共线，从而存在实数 使得，9 分即 3e12e2(2e1ke2)，得解得 ，k.12 分B
17、 组 能力提升(建议用时：15 分钟)1设 M 是ABC 所在平面上的一点，且0，D 是 AC 的中点，则的值为 ( )【导学号：31222145】A. B.1 2C1 D2A A DD 是是 ACAC 的中点，延长的中点，延长 MDMD 至至 E E，使得，使得 DEDEMD(MD(图略图略) )，四边形四边形 MAECMAEC 为平行四边形，为平行四边形，( () )0 0，( () )3 3，故选，故选 A.A.2(2017辽宁大连高三双基测试)如图 412，在ABC 中，AB2，BC3，ABC60，AHBC 于点 H，M 为 AH 的中点若，则 _.图 412因为 AB2，ABC60，AHBC，所以 BH1.2 3因为点 M 为 AH 的中点，所以()，又，所以 ，所以 .3已知 a，b 不共线，a，b，c，d，e，设 tR，如果 3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由14 / 14解 由题设知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，3 分整理得(t33k)a(2kt)b.6 分因为 a，b 不共线，所以有 9 分解之得 t.故存在实数 t使 C，D，E 三点在一条直线上.12 分