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1、1 / 6【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习精选高考数学一轮复习 第第 4 4 章章 三角函三角函数与解三角形数与解三角形 第第 7 7 讲讲 正、余弦定理的应用举例分层演练正、余弦定理的应用举例分层演练 文文一、选择题1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80解析：选 D.由条件及题图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80.2已知 A、B 两地间的
2、距离为 10 km，B、C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C 两地间的距离为( )A10 kmB10 kmC10 kmD10 km解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得：AC210040021020cos 120700，所以 AC10(km)3. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 2 / 6m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角CAD 等于( )A30B45C60D75解析：选 B.依题意可得 AD20 m，AC30 m，又 CD50 m，所以在ACD 中，由余弦定理得cosCADAC2AD
3、2CD2 2ACAD，又 0CAD180，所以CAD45，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知 AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为( )A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/h解析：选 B.设 AB 与河岸线所成的角为 ，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin ，从而 cos ，所以由余弦定理得12221，解得 v6.5一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水
4、柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45，沿点 A 向北偏东 30前进 100 m 到达点 B，在 B 点3 / 6测得水柱顶端的仰角为 30，则水柱的高度是( )A50 mB100 mC120 mD150 m解析：选 A.设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在ABC 中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即 h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即 h50，故水柱的高度是 50 m.6(2018江西联考)某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶
5、的仰角为 60，小高层底部的俯角为 45，那么这栋小高层的高度为( )A20mB20(1)mC10()mD20()m解析：选 B.如图，设 AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线由题意知 AB20 m，DAE45，CAE60，故DE20 m，CE20m.所以 CD20(1)m.故选 B.二、填空题7.如图所示，一艘海轮从 A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距 20 海里的 B 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 分钟后到达 C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东 75的方向，则海轮的速度为_海里/分解析：由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以 AC1
6、0，所以海轮航行的速度为(海里/分)4 / 6答案：638.(2018河南调研)如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_米解析：由题图知BAS453015，ABS451530，所以ASB135，在ABS 中，由正弦定理可得，所以 AB1 000，所以 BC1 000.答案：1 0009江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.解析：如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan
7、 303010(m)，在MON 中，由余弦定理得，MN 9003002 30 10 3 3210(m)答案：10310(2018福州综合质量检测)在距离塔底分别为 80 m，160 m，240 m 的同一水平面上的 A，B，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为 ，.若 90，则塔高为_m.解析：设塔高为 h m，依题意得，tan ，tan ，tan 5 / 6.因为 90，所以 tan()tan tan(90)tan 1，所以tan 1，所以1，解得h80，所以塔高为 80 m.答案：80三、解答题11.如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙
8、以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin 的值解：(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC 中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784.解得 BC28.所以渔船甲的速度为14 海里/时(2)在ABC 中，因为 AB12，BAC120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即 sin .12.已知在东西方向上有 M，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶 A，B 的海拔高度分别为
9、 AM100 米和 BN200 米，一6 / 6测量车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30，该测量车向北偏西 60方向行驶了 100 米后到达点 Q，在点 Q 处测得发射塔顶 B 处的仰角为 ，且BQA，经测量 tan 2，求两发射塔顶 A，B 之间的距离解：在 RtAMP 中，APM30，AM100，所以 PM100，连接 QM，在PQM 中，QPM60，又 PQ100，所以PQM 为等边三角形，所以 QM100.在 RtAMQ 中，由 AQ2AM2QM2，得 AQ200.在 RtBNQ 中，tan 2，BN200，所以 BQ100，cos .在BQA 中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，所以 BA100.即两发射塔顶 A，B 之间的距离是 100 米