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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形角形 4-34-3 三角函数的图象与性质教师用书三角函数的图象与性质教师用书1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域R RR Rx|xR R 且xk，kZ Z 2值域1
2、,11,1R R单调性在2k，2k 2 2(kZ Z)上递增；在2k，2k 23 2(kZ Z)上递减在2k，2k(kZ Z)上递增；在2k，2k(kZ Z)上递减在(k，k 2 2)(kZ Z)上递增最值当x2k(kZ Z) 2时，ymax1；当x2k(kZ Z)时，ymax1；12 / 19当x2k(kZ Z) 2时，ymin1当x2k(kZ Z)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kZ Z)(k，0) 2(kZ Z)(，0)(kZ Z)k 2对称轴方程xk(kZ Z) 2xk(kZ Z)周期22【知识拓展】1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对
3、称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若 f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是 k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( )(2)常数函数 f(x)a 是周期函数，它没有最小正周期( )(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( )(4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.( )3 / 19(5)ysin |x|是偶函数( )(6
4、)若 sin x，则 x.( )1(教材改编)函数 f(x)3sin(2x)在区间0，上的值域为( )A， B，3C， D，3答案 B解析 当 x0，时，2x，sin(2x)，1，故 3sin(2x)，3，即 f(x)的值域为，32函数 ytan 2x 的定义域是( )A. B.Error!C. D.Error!答案 D解析 由 2xk，kZ，得 x，kZ，ytan 2x 的定义域为.3(2016绍兴期末)函数 f(x)2cos(4x)1 的最小正周期为_，f()_.答案 0解析 T，f()2cos()12cos10.4已知函数 f(x)2sin(x)，对于任意 x 都有 ff，则 f 的值为
5、_4 / 19答案 2 或2解析 ff，x是函数 f(x)2sin(x)的一条对称轴f2.题型一 三角函数的定义域和值域例 1 (1)函数 f(x)2tan(2x)的定义域是_(2)(2016台州模拟)已知函数 f(x)sin(x)，其中 x，a，若 f(x)的值域是，1，则实数 a 的取值范围是_答案 (1)x|x，kZ (2)，解析 (1)由 2xk，kZ，得 x，kZ，所以 f(x)的定义域为x|x，kZ(2)x，a，x，a，x，时，f(x)的值域为，1，由函数的图象知a，a.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函
6、数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；把所给的三角函数式变换成 yAsin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域(1)函数 ylg sin x 的定义域为 .5 / 19(2)函数 y2sin() (0x9)的最大值与最小值的和为_答案 (1)x|2kx 32k，k Z(2)23解析 (1)要使函数有意义必须有Error!即解得Error!2kx2k(kZ)，函数的定义域为.(2)0x9，sin()1，故2sin()2.即函数 y2sin() (0x9)的最大值为 2，最小值为.最大值与最小值的和为 2.题型二 三角函数的单调性例
7、2 (1)函数 f(x)tan 的单调递增区间是( )A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)已知 0，函数 f(x)sin 在上单调递减，则 的取值范围是_答案 (1)B (2)1 2，5 46 / 19解析 (1)由 k2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数 f(x)tan 的单调递增区间为(kZ)，故选 B.(k 212，k 2512)(2)由x，0，得x， 2又 ysin x 的单调递减区间为2k，2k，kZ，所以Error!解得 4k2k，kZ.又由 4k(2k)0，kZ 且 2k0，kZ，得 k0，所以，引申探究本例(2)中，若已知 0，函数 f(x)cos(x)在(
8、，)上单调递增，则 的取值范围是_答案 ，解析 函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ，则Error!解得 4k2k，kZ，又由 4k0，kZ 且 2k0，kZ，得 k1，所以 .思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区7 / 19间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” ；求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中 0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0，那么一定先借助诱导公式将 化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(1)
9、函数 f(x)sin 的单调减区间为_(2)若函数 f(x)sin x(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则 等于( )A. B.3 2C2 D3答案 (1)，kZ (2)B解析 (1)已知函数可化为 f(x)sin，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin 的单调增区间由 2k2x2k，kZ，得 kxk，kZ.故所给函数的单调减区间为(kZ)(2)f(x)sin x(0)过原点，当 0x，即 0x时，ysin x 是增函数；当x，即x时，8 / 19ysin x 是减函数由 f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减，知，.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点 1 周期性
10、例 3 (1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan 中，最小正周期为 的所有函数为( )A BC D(2)若函数 f(x)2tan(kx)的最小正周期 T 满足 10)的最小正周期为 ，则 f()等于( )A1 B.1 2C1 D1 2答案 A解析 T，2，13 / 19f()sin(2)sin 1.2若函数 f(x)cos 2x，则 f(x)的一个递增区间为( )A(，0) B(0，)C(，) D(，)答案 B解析 由 f(x)cos 2x 知递增区间为k，k，kZ，故只有 B 项满足3关于函数 ytan(2x)，下列说法正确的是( )A是奇函数B在区间(0，)上单调
11、递减C(，0)为其图象的一个对称中心D最小正周期为 答案 C解析 函数 ytan(2x)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，)上单调递增，B 错误；最小正周期为，D 错误当 x时，tan(2)0，(，0)为其图象的一个对称中心，故选 C.4(2016余姚模拟)已知函数 f(x)2sin(x)1(xR)的图象的一条对称轴为 x，其中 为常数，且 (1,2)，则函数 f(x)的最小正周期为( )A. B.6 5C. D.12 514 / 19答案 B解析 由函数 f(x)2sin(x)1 (xR)的图象的一条对称轴为x，可得 k，kZ，k，从而得函数 f(x)的最小正周期为.5已知函数 f(x)
12、2sin(2x)(|0 且|0)在区间，上是增函数，则 的取值范围是_答案 (0，解析 方法一 由 2kx2k，kZ，得 f(x)的增区间是，kZ.16 / 19因为 f(x)在，上是增函数，所以，所以且，所以 (0，方法二 因为 x，0.所以 x，又 f(x)在区间，上是增函数，所以，则又 0，得 00，xR)，最小正周期 T，则实数 _，函数 f(x)的图象的对称中心为_，单调递增区间是_答案 2 (，0)，kZ (k，k)，kZ解析 由题意知，得 2，令 2xk，kZ，得 x，kZ，所以其对称中心为(，0)，kZ，令 2k2x2k，kZ，得 kxk，kZ，所以其单调递增区间为k，k，kZ
13、.11(2015北京)已知函数 f(x)sin x2sin2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间上的最小值解 (1)因为 f(x)sin xcos x317 / 192sin，所以 f(x)的最小正周期为 2.(2)因为 0x，所以x.当 x，即 x时，f(x)取得最小值所以 f(x)在区间上的最小值为 f.12已知函数 f(x)sin(x)(00，函数 f(x)2asin2ab，当 x时，5f(x)1.(1)求常数 a，b 的值；(2)设 g(x)f 且 lg g(x)0，求 g(x)的单调区间解 (1)x，2x，sin，2asin2a，a，f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此 a2，b5.(2)由(1)得 f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由 lg g(x)0，得 g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当 2k2x2k，kZ 时，g(x)单调递增，即 kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当 2k2x2k，kZ 时，g(x)单调递减，即 kxk，kZ.19 / 19g(x)的单调减区间为，kZ.