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1、1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学二轮复习专题六概率与随机变精选高考数学二轮复习专题六概率与随机变量及其分布第量及其分布第 2 2 讲随机变量及其分布列练习讲随机变量及其分布列练习1.(2015全国卷)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312解析 3 次投篮投中 2 次的概率为 P(k2)C0.62(10.6)，投中 3 次的概率为 P(k3)0.63，所以通过测试的概率PP(k2)P(k3)C0.6
2、2(10.6)0.630.648.故选 A.答案 A2.(2017合肥模拟)从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取 5 次，设摸得白球数为X，已知 E(X)3，则 D(X)等于( )A. B. C. D.2 5解析 根据题目条件，每次摸到白球的概率都是 p，满足二项分布，则有 E(X)np53，解得 m2，那么 D(X)np(1p)5.答案 B3.(2016北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一2 / 9个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述
3、过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解析 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除 A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除 C；故选B.答案 B4.箱中装有标号为
4、 1，2，3，4，5，6 且大小相同的 6 个球.从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是 4 的倍数，则获奖.则有 4 人参与摸奖(每人一次)，则恰好有 3 人获奖的概率是( )A. B. C. D.4 625解析 若摸出的两球中含有 4，必获奖，有 5 种情况；若摸出的两球是 2，6，也能获奖.故获奖的情形共 6 种，获奖的概率为.现3 / 9有 4 人参与摸奖，恰有 3 人获奖的概率是 C.2 66 C答案 B5.已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取 i(i1，2)个球放入甲盒中.(a)放入 i 个球后，甲盒
5、中含有红球的个数记为 i(i1，2)；(b)放入 i 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为pi(i1，2).则( )A.p1p2，E(1)E(2)C.p1p2，E(1)E(2) D.p10，所以 p1p2.答案 A二、填空题6.(2016四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬4 / 9币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 X的均值是_.解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为 P1，2 次独立试验成功次数 X 满足二项分布 XB，则 E(X)2.答案 3 27.连续掷一枚均匀的正方体骰子(6 个面分别标有1，2，3，4
6、，5，6)，现定义数列 anSn 是其前 n 项和，则S53 的概率是_.解析 该试验可看作一个独立重复试验，结果为1 发生的概率为，结果为 1 发生的概率为，S53 即 5 次试验中1 发生一次，1 发生四次.故其概率为 C.答案 10 2438.(2017金丽衢十二校联考)有甲、乙、丙三位同学，投篮命中的概率如下表：同学甲乙丙概率0.5aa现请三位同学各投篮一次，设 表示命中的次数，若 E()，则 a_.解析 可取值 0，1，2，3.P(0)0.5(1a)(1a)0.5(1a)2；P(1)0.5(1a)(1a)20.5a(1a)0.5(1a2)；P(2)0.5a220.5a(1a)0.5a
7、(2a)；5 / 9P(3)0.5aa0.5a2.E()P(0)0P(1)1P(2)2P(3)3.即 0.5(1a2)a(2a)1.5a2，解得 a.答案 1 3三、解答题9.(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保
8、费，求其保费比基本保费高出 60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解 (1)设 A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费” ，则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于 1，故 P(A)0.20.20.10.050.55.(2)设 B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%” ，则事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 3，故 P(B)0.10.050.15.6 / 9又 P(AB)P(B)，故 P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为 X，则 X 的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP 0.300.150
9、.200.200.100.05E(X)0.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.10.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求 T 的分布列与数学期望 E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率.解 (1)由统计结果可得 T
10、 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而 E(T)250.2300.3350.4400.132(分钟).(2)设 T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与 T 的分布列相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ，由于讲座时间7 / 9为 50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70分钟”.法一 P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T230)0.
11、210.310.40.90.10.50.91.法二 P(A)P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09，故 P(A)1P(A)0.91.11.(2016合肥二模)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为 10 元，求：()顾客所获的奖励额为 60 元的概率；()顾客所获的奖励额的分
12、布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解 (1)设顾客所获的奖励额为 X.()依题意，得 P(X60)C,C)，即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为.8 / 9()依题意，得 X 的所有可能取值为 20，60.P(X60)，P(X20),C)，即 X 的分布列为X2060P1 21 2所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X
13、)206040(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以，先寻找期望为 60 元的可能方案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以期望不可能为 60 元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案
14、2.以下是对两个方案的分析：对于方案 1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则 X1 的分布列为X12060100P1 62 31 6X1 的期望为 E(X1)206010060，X1 的方差为 D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则 X2 的分布列为9 / 9X2406080P1 62 31 6X2 的期望为 E(X2)40608060，X2 的方差为 D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.