备战2023年高考数学二轮专题复习专题五　概率与统计第2讲　概率、随机变量及其分布列.docx-淘文阁

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1、第2讲概率、随机变量及其分布列1.古典概型(2022新高考卷,T5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(D)A.16B.13C.12D.23解析:从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,共有C72=21种不同的取法,若两数不互质,不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)共7种,故所求概率P=21-721=23.故选D.2.相互独立事件(2022全国乙卷,T10)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3p2p10.记该棋手连胜两盘

2、的概率为p,则(D)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大解析:该棋手连胜两盘,则第二盘为必胜盘,记该棋手在第二盘与甲比赛,比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12,记此时连胜两盘的概率为p甲,则p甲=12(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)+12(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)=p1(p2+p3)-2p1p2p3.记该棋手在第二盘与乙比赛,且连胜两盘的概率为p乙,同理得p乙=p2(p1+p3)-2p1p2p3.记该棋手在第二盘与丙比赛,且连胜两盘的概率为p丙,同理得p丙=p3

3、(p1+p2)-2p1p2p3.则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-p2(p1+p3)-2p1p2p3=(p1-p2)p30,p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-p3(p1+p2)-2p1p2p3=(p2-p3)p10,即p甲p乙,p乙0,则条件概率P(B|A)=P(AB)P(A)=n(AB)n(A).2.全概率公式设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An=,且P(Ai)0,i=1,2,n,则对任意的事件B,有P(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai).典例2(1)(2021山东济南山师大附中高三模拟)某地需要从某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、

4、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生参加会议,则在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派的概率为()A.38B.310C.311D.35(2)有三个箱子,编号分别为1,2,3.1号箱装有1个红球、4个白球,2号箱装有2个红球、3个白球,3号箱装有3个红球.某人从三个箱子中任取一箱,从中任意摸出一球,取得红球的概率为.解析:(1)设事件A表示“有一名主任医师被选派”,事件B表示“两名主任医师都被选派”,则“在有一名主任医师被选派的条件下,两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)=n(AB)n(A)=C42C31C53C42-C43C32=1848=38.故选

5、A.(2)记事件Ai为“球取自于i(i=1,2,3)号箱”,记事件B为“取得红球”,B总是伴随着A1,A2,A3之一同时发生,且A1B,A2B,A3B两两互斥,P(A1)=P(A2)=P(A3)=13,P(B|A1)=15,P(B|A2)=25,P(B|A3)=1,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=1315+1325+131=815.答案:(1)A(2)815应用全概率公式求概率的步骤:(1)根据题意找出完备事件组,即满足全概率公式的的一个划分A1,A2,A3,An;(2)用Ai(i=1,2,3

6、,n)来表示待求的事件;(3)代入全概率公式求解.热点训练2 (1)(2022重庆沙坪坝区校级月考)某区有A,B两所学校,其中A校有男教师10人,女教师5人,B校有男教师3人,女教师6人.为了响应国家号召,实现教育资源的优化和均衡,决定从A校随机抽一名教师调到B校,然后在B校的10名教师中随机抽一名教师去培训学习.在从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下,从A校调到B校的教师为女教师的概率是()A.311B.13C.25D.12(2)(2021山东淄博实验中学高三模拟)托马斯贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式:P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A

7、c)P(Ac),这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理),其中P(B|A)P(A)+P(B|Ac)P(Ac)称为B的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%,医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%,即已知患病的情况下,99%的可能性可以检查出阳性,正常人99%的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测,经计算,检测结果为阳性的全概率为0.010 98,请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为()A.0.1%B.8%C.9%D.99%解析:(1)记“从A校调到B校的教师为女教师”为事件M,记“从B校抽出来

9、+P(B|Ac)P(Ac)=99%0.1%0.010 989%,所以估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%.故选C.热点三随机变量的分布列、均值与方差1.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.E(X)=np,D(X)=np(1-p).2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品,从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1

10、,m+2,r.其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.E(X)=nMN.考向1二项分布典例3为了加强食品安全监管,某县市场监管局计划添购一批食品检测仪器,符合这次采购要求的检测仪器只有甲、乙两种型号,下表是该县市场监管局以往使用甲、乙两种型号检测仪器的使用年限及数量统计表.使用年限1年2年3年4年合计甲型号检测仪器数量/台287320乙型号检测仪器数量/台396220以频率估计概率.(1)分别从以往使用的甲、乙两种检测仪器中各随机抽取一台,求甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年的概率;(2)若该县市场监管局购买甲、乙两种型号检测仪器各

11、2台,记2年后仍可使用的检测仪器的台数为,求的分布列与均值.解:(1)记事件Ai为“从以往使用的甲型号检测仪器中随机抽取一台,使用年限为i年”,事件Bi为“从以往使用的乙型号检测仪器中随机抽取一台,使用年限为i年”,i=1,2,3,4,事件C为“从以往使用的甲、乙两种型号检测仪器中各随机抽取一台,甲型号检测仪器的使用年限比乙型号检测仪器的使用年限恰好多1年”,则P(C)=P(A2B1)+P(A3B2)+P(A4B3)=820320+720920+320620=2180.(2)由题意知甲型号检测仪器2年后仍可使用的概率为12,乙型号检测仪器2年后仍可使用的概率为25.设2年后仍可使用的甲型号检测

12、仪器有X台,乙型号检测仪器有Y台,易知XB(2,12),YB(2,25).由题意知的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(=0)=P(X=0,Y=0)=C20(12)0(12)2C20(25)0(35)2=9100,P(=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=C21(12)1(12)1C20(25)0(35)2+C20(12)0(12)2C21(25)1(35)1=310,P(=3)=P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=C22(12)2(12)0C21(25)1(35)1+C21(12)1(12)1C22(25)2(35)0=15,P(=4)=P(X=2,Y=2)=C22

13、(12)2(12)0C22(25)2(35)0=125,P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)-P(=4)=37100,所以的分布列为01234P91003103710015125所以E()=09100+1310+237100+315+4125=95.考向2超几何分布典例4在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有n(2n5,n3)个,其余的球为红球.(1)若n=5,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;(2)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是415,求红球的个数;(3)在(2)的条件下,从袋里任意取出2个

14、球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和,写出的分布列,并求的数学期望.解:(1)设“从袋中任取1个球是红球”为事件A,则P(A)=15,故三次取出的球中恰有2个红球的概率为C3215245=12125.(2)设“从袋里任意取出2个球,球的颜色相同”为事件B,则P(B)=C32+Cn2+C7-n2C102=6+n(n-1)+(7-n)(6-n)90=415,整理得n2-7n+12=0,解得n=3(舍)或n=4.所以红球的个数为10-3-n=3.(3)的所有可能取值为2,3,4,5,6,且P(=2)=C42C102=215,P(=3)=C4

15、1C31C102=415,P(=4)=C31C41+C32C102=13,P(=5)=C31C31C102=15,P(=6)=C32C102=115.所以的分布列为23456P2154151315115所以E()=2215+3415+413+515+6115=195.1.随机变量X如果服从二项分布XB(n,p),那么其概率、期望与方差可直接利用公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得.2.超几何分布的应用条件:考察对象分两类;已知各类对象的个数;从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.热点训练3 (1)(2022

16、山东枣庄模拟)已知有一道四个选项的单项选择题和一道四个选项的多项选择题,某同学知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.这样,他在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.如果该同学不知道单项选择题的正确答案,就做随机猜测.已知该同学知道单项选择题的正确答案和随机猜测概率都是12,在他做完单项选择题后,从卷面上看,在题答对的情况下,求他知道单项选择题正确答案的概率;假设该同学在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为12,选择两个选项的概率为13,选择三个选项的概率为

17、16.已知该道多项选择题只有两个正确选项,该同学完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记X表示该同学做完该道多项选择题后所得的分数.求:()P(X=0);()X的分布列及数学期望.(2)据调查,目前对于已经近视的小学生,有两种佩戴眼镜的方式可供选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜.A市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的8人中,2名是男生,6名是女生).若从样本中随机选取一名小学生,已知这名小学生佩戴眼镜,那么,他佩戴的是角膜塑形镜的概率是多少?从这8名佩戴角膜塑形镜的小学生中,随机选出3人,求其中男生人

19、4,P(X=5)=P(A2C)=P(A2)P(C|A2)=131C42=118,P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=2536.()P(X=0)=2536.()随机变量X的分布列为X025P253614118故E(X)=02536+214+5118=79.(2)记“这名小学生佩戴眼镜”为事件A,“这名小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B,则所求的概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.080.24=13.所以若从样本中随机选取一名小学生,已知这名小学生佩戴眼镜,则他佩戴的是角膜塑形镜的概率是13.依题意,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C63C83=514,P(X=

20、1)=C21C62C83=1528,P(X=2)=C22C61C83=328.所以X的分布列为X012P5141528328由已知可得,YB(20,0.08),则E(Y)=np=200.08=1.6,D(Y)=np(1-p)=200.080.92=1.472.所以佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望是1.6,方差是1.472.专题强化训练(十六)一、单项选择题1.在中国农历中,一年有24个节气,“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春,开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.某同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友,则这3个节气中含有“立春”的概率为(B)A.322B.1

21、8C.223D.112解析:某同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友,基本事件总数n=C243=2 024,这3个节气中含有“立春”包含的基本事件个数m=C11C232=253,则这3个节气中含有“立春”的概率为P=mn=2532 024=18.故选B.2.(2022河南新乡三模)为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神,促进新疆教育事业发展,某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆,这五位教师被分派到三个不同地方对口支援,每位教师只去一个地方,每个地方都有教师去,则两位女教师被分派到同一个地方的概率为(B)A.45B.625C.1225D.6475解析:

22、五位教师分派到三个不同地方共有C51C41C33A22A33+C51C42C22A22A33=150(种)不同的分派方法,两位女教师分派到同一个地方有C31A33+C32A33=36(种)不同的分派方法,所以两位女教师被分派到同一个地方的概率为P=36150=625.故选B.3.(2022江苏如皋模拟)连续向上抛一枚硬币五次,设事件“没有连续两次正面向上”的概率为P1,事件“没有连续三次正面向上”的概率为P2,则下列结论正确的是(B)A.P1+P2=1B.P22P1解析:没有连续两次正面向上和连续两次正面向上构成对立事件,故P1=1-C52(12)2(12)3=1116;没有连续三次正面向上和

23、连续三次正面向上构成对立事件,故P2=1-C53(12)3(12)2=1116.对于选项A,B,C,D,P1+P2=22161,故A不成立;2P1P2成立,B正确,显然C和D错误.故选B.4.有一决策系统,其中每个成员做出的决策互不影响,且每个成员做出正确决策的概率均为p(0p1).当占半数以上的成员做出正确决策时,系统做出正确决策.要使有5位成员的决策系统比有3位成员的决策系统更为可靠,p的取值范围是(B)A.(13,1)B.(12,1)C.(23,1)D.23,1)解析:决策系统中每个成员做出的决策互不影响,且每个成员做出正确决策的概率均为p(0pC32p2(1-p)1+C33p3(1-p

24、)0,解得12p90%,所以D正确.故选BCD.8.(2022山东烟台一模)甲罐中有3个红球、2个黑球,乙罐中有2个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,以A表示事件“由甲罐取出的球是红球”,再从乙罐中随机取出一球,以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”,则(ACD)A.P(A)=35B.P(B|A)=25C.P(B)=1325D.P(A|B)=913解析:对于A,由等可能事件概率计算公式得P(A)=35,故A正确;对于B,P(AB)=3535=925,所以P(B|A)=P(AB)P(A)=92535=35,故B错误;对于C,P(A)=25,P(B|A)=P(AB)P(A)=25252

25、5=25,所以由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=3535+2525=1325,故C正确;对于D,由贝叶斯公式得P(A|B)=P(A)P(B|A)P(B)=35351325=913,故D正确.故选ACD.三、填空题9.甲、乙两个球队进行篮球决赛,采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜,最多比赛五局),每场球赛无平局.根据前期比赛成绩,甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛相互独立,则甲队以32获胜的概率为.解析:由题意知,甲队以32获胜,则甲队第五场必胜,前四场“主客主主”中胜两局,有两种情况:一种为三

26、个主场胜两场,一种为客场胜一场主场胜一场,其概率为C320.620.40.50.5+C310.60.420.50.5=0.18.答案:0.1810.(2022浙江金华模拟)口袋中有4个黑球、3个白球、2个红球,从中任取2个球,每取到一个黑球记0分,每取到一个白球记1分,每取到一个红球记2分,用表示所得分数,则P(=2)=,E()=.解析:“=2”表示取出的2球为“1黑1红”或“2白”,所以P(=2)=C41C21+C32C92=1136;由题意可知,随机变量的可能取值有0,1,2,3,4,则P(=0)=C42C92=16,P(=1)=C41C31C92=13,P(=2)=C41C21+C32C

27、92=1136,P(=3)=C31C21C92=16,P(=4)=C22C92=136,因此,E()=016+113+21136+316+4136=149.答案:1136149四、解答题11.(2022安徽黄山模拟)某学校文学社拟举办“品诗词雅韵,看俊采星驰”的古诗词挑战赛,挑战赛分为个人晋级赛和决赛两个阶段.个人晋级赛的试题有2道“是非判断”题和4道“信息连线”题,其中4道“信息连线”题是由电脑随机给出错乱排列的四句古诗词和四条相关的诗词背景(如诗词题名、诗词作者等),要求参赛者将它们一一配对,每位参赛选手只有一次挑战机会.比赛规则为:电脑随机同时给出2道“是非判断”和4道“信息连线”题,要求参赛者全都作答,若有四道或四道以上答对,则该选手晋级成功.(1)设甲

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