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1、1 1.1 1.2 2集集合合间间的的基基本本关关系系一、子集一、子集（一）子集：对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 AB（或 BA），读作“A 含于 B”（或“B 包含 A”）数学语言表示形式为：若对任意的 xA 有 xB，则 AB子集关系用文氏图表示为：AB（或 BA）BA根据子集的定义，我们可以知道AA，也就是说任何集合都的一个子集.对于空集，我们规定A A，即空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集。例 1：用适当的符号填空0_0是它本身_02_22_N2_N变式练习 1：已知 A
2、xx23x20，B1，2，C xx8，xN，用适当的符号填空A_BA_C2_C2_C例 2：写出集合a,b,c,d的所有子集。【解析】集合a,b,c,d的所有子集可以分为五类，即：（1）含有 0 个元素的子集，即空集；（2）含有一个元素的子集：a,b,c,d；（3）含有二个元素的子集：a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d；（4）含有三个元素的子集：a,b,c,a,b,d,a,c,d,b,c,d；（5）含有四个元素的子集：a,b,c,d.结论：如果集合结论：如果集合 A A 中有中有 n n 个元素，则集合个元素，则集合 A A 共有共有 2 2n n个子集个子集变式练习 1：已知集合
3、 AxN1x4，则集合 A 的子集有_个。【解析】：8 个（二）、集合相等：如果集合 A 是集合 B 的子集（AB），且集的子集（BA），则集合 A 与集合 B 相等，记作集合 A集合 B。即：BA 则 AB。A(B)合B是集合AAB且（上节两个集合相等：两个集合的元素完全相同）例 3：已知集合 A 和集合 B 都是含三个元素的集合，且集合 Aa，ab，a2b，Ba，ac，ac，若2AB 且 BA，求 c 的值。【解析】（1）若a b ac2a 2b ac消去 b 得：ac a2ac0，2a0 时，集合 B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c 2c10，即 c1，但 c1 时，B
4、 中的三元素又相同，此时无解2a b ac22（2）若消去 b 得：2ac aca0，a 2b aca0，2c c10，即(c1)(2c1)0，又 c1，故 c21。2变式练习：已知集合 A 和集合 B 都含有三个元素，Ax，xy，xy，B0，x，y，若 AB 且BA，求 2xy 的值。【解析】：由集合的互异性，xy0，则 xy，此时 Ax，x，0，B0，x，x，则 x x且 xx，故 xy1，此时 A1，1，0，B0，1，1，符合题意，综上所述，2xy3。222（三）、真子集：如果集合AB，但存在元素 xB，且xA，我们称集合 A是集合 B 的真子集。记：AB（或 BA）A 真含于 BB 真
5、包含 A注意：即如果 AB 且 AB，那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB（或 BA）。例如1，2N、a，ba，b，c等。子集与真子集的区别在于“AB”允许AB或AB，而AB是不允许“AB”的，所 以如果 AB 成立，则一定有 AB 成立；但如果有 AB 成立，AB 不一定成立。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。例 4：分别写出集合a，a，b和a，b，c的所有子集和真子集。集合a的子集有，a，共有 2 个子集；真子集有a，共 1 个真子集。集合a，b的子集有，a，b，a，b，共有 4 个子集；真子集有，a，b，共 3
6、个真子集。集合a，b，c的子集有：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，共有 8 个即个子集；真子集有，a，b，c，a，b，a，c，b，c，共 7 个真子集。n nn n结论结论：如果集合如果集合 A A 中有中有 n n 个个元素，则集合元素，则集合 A A 共有共有 2 2 个子集个子集；2 2 1 1 个真子集。个真子集。例 5：有适当的符号填空。（1）A2，3，6Bxx 是 12 的约数A_B（2）A0，1Bxx y 1，yNA_B（3）Ax1x2Bx2x2A_B22（4）A(x，y)xy0B(x，y)x0，y0A_B（5）Axx 1Byy 2y40A_B【解析】：（1）（
7、2）（3）（4）（5）22变式练习 1：已知集合 A0，1，Bzzxy，xA，yB，则 B 的子集有（）A：8 个B：2 个C：4 个D：7 个【解析】：集合 B 中有 3 个元素，子集有 8 个。A变式练习 2：已知集合 AxZ个数为（）A：5B：4C：3D：2x 1 0，Byyx21，xA，则集合 B 的含有元素 1 的子集x 3【解析】：A xZ1x31，0，1，2，则 B1，2，5，则集合 B 的含有元素 1 的子集有1，1，2，1，5，1，2，5 共四个，B变式练习 3：已知 Axxa1b1c1，aZ，Bxx，bZ，Cxx，c62326Z，则集合 A、B、C 满足的关系是（）A：AB
8、CB：ABCC：ABCD：BCA【解析】：A6x6x6a1，aZ，B6xx3a23(a1)1，bZ，C6xx3c1，cZ。则 ABCB变式练习 4：已知 Axyx2 2x 1，Byyx2 2x 1，Cxx2 2x 10，Dxx 2x 10，E(x，y)yx 2x 1，则下列结论正确的是（）A：ABCDB：DCBAC：BED：AB【解析】：B22变式练习 5：若集合 A 满足1，2A1，2，3，4，则满足条件的集合 A 的个数为_个。【解析】：4 个二、子集的有关性质二、子集的有关性质1、空集：我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，即空集空
9、集只有一个子集就是它本身，而空集没有真子集只有一个子集就是它本身，而空集没有真子集。2、子集与真子集的性质（1）任何集合是它本身的子集，即 AA；（2）对于集合 A、B、C，如果 AB 且 BC，那么 AC；（3）对于集合 A、B、C，如果 AB，且 BC，那么 AC；（4）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例 5：下列集合只有一个子集的是（）A：xx 0B：xx 0C：xx 0D：xx 0【解析】：C例 6：下列表述正确的是（）A：23230B：0C：0D：0【解析】：B例 7：设 Ax2m1xm3，B xRx 10问 m 为何值时能使得 AB。【解析】（1）显然 B，欲使 AB
10、，必须且只需 A即可。由于 2m1m3 可得 m4，此时 Ax2m1xm3.综上可知，当 m4 时，AB例 8：已知集合 Axx x20，B xxa0，若 B?A，则 a_。【解析】易求 A2，1，B1或2当 B1，a1；B2，a2综上：a1 或 a222变式练习 1：已知集合 Axx28x150，B xax10，若 B?A，则a_。【解析】：0 或11或35例 9：设集合 Ax(x 1)(x 4)0，Bxxa，若 AB?，则a的取值范围是_。【解析】：a4变式练习1：已知集合 Ax3x5，若集合 B x2m1xm1，若AB?，则求m的取值范围。【解析】2m135m1，即m1 5m42m1 3
11、变式练习 2：集合 A x2x5，B xm1x2m1，若 BA，则求 m 的取值范围。m 1 2m 1【解析】：（1）若 B，即 m12m1 时，即 m2；（2）若 B，则 m 满足m 1 2解之2m 1 5得 2m3，综上所述，m3变式练习 2：已知函数 f(x)x2 ax b（a、bR），且集合 Axxf(x)，Bxxf f(x)，（1）求证：AB?；（2）当 A1，3时，用列举法表示 B。【解析】：（1）任取 xA，则有 xf(x)，则 f f(x)f x x，故 xB，故 AB；（2）A1，3，故2211 a ba 12得，故 f(x)x x 3，3 93a bb 32222ff(x)
12、(x x 3)(x x 3)3，故(x x 3)(x x 3)3x(x2 x 3)2 x2 0，x3，x1，x3，故 B1，3，3，3课 后 综 合 练 习1、下列关系中正确的个数为（）00，0，0，1(0，1)，(a，b)(b，a)A：1B：2C：3D：4【解析】：B2、下列图形中，表示 MN 的是（）MNNBMMNMNA【解析】：CCD3、设a、bR，集合1，ab，a0，b，b，则ba（）aA：1B：1C：2D：2【解析】：C119k，kZ，若 x，则下列关系正确的是（）242A：xAB：xAC xAD xA4、设集合 Axx【解析】：A5、用适当的符号填空：（1）_ xx 10；（2）1
13、，2，3_N；（3）1_xx x0；（4）0_xx 2x0【解析】：6、已知集合 Ax1x4，Bxxa，若 A?B，求实数a的取值范围_。【解析】：a47、已知 Axx 3x20，Bxax20且 BA，则实数a组成的集合 C 是_。【解析】：0，2，18、写出集合 Ax0 x3，xN的真子集。【解析】：3 个9、已知 Mx2x5，Nxa1x2a1。（1）若 MN，求实数a的取值范围。（2）若 MN，求实数a的取值范围。【解析】：（1）（2）a310、若集合 Axaxa2，Bxx1，若 AB，则a的取值范围为_。【解析】：a111、已知集合 Ax2222y 4x2，Bxaxa1，BA，则a的取值范围为_。【解析】：1a212、已知集合 Ay范围为_。【解析】：Ayy 32x，x133，Bx1mxm1，若 BA，则 m 的取值22y 32x，x133，0，4m122