关于高等数学上册复习归纳.pdf

《关于高等数学上册复习归纳.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于高等数学上册复习归纳.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 关于高等数学上册复习归纳 Last revision on 21 December 2020 高等数学（上册）复习资料 一：函数的两个要素：定义域 对应法则 1 两个函数相同：（1）定义域相同 （2）对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。例如：sinyxx 与sinutt 是同一个函数。2 函数的几种特性 （1）有界性 ()yf xxD 如果存在实数1k，使得1()f xk，则称()f x在D上有上界 如果存在实数2k，使得1()f xk，则称()f x在D上有下界。有界：既有上界，又有下界。即存在实数1k，2k使得21()kf xk 等价于存在0k ，使得()f xkxD

2、（2）单调性 若对区间I内任意两点12xx，都有12()()()f xf x ，则称()yf x在I内单调增加（减少）。若将“()”改成“()”称为严格单调增加（减少）。（3）奇偶性 设函数()yf x的定义域关于原点对称 如果()()fxf x，则称()f x为偶函数 如果()()fxf x ，则称()f x为奇函数（4）周期性 若()()f xlf x 则称()f x是以l为周期的函数 注：周期通常指的是它的最小正周期 3 复合函数 设()yf u的定义域为1D，又()ug x的定义域为D，且1()g DD，则函数()yf g xxD称为由函数()ug x和 函数()yf u构成的复合函数

3、。u称为中间变量，记为：()()()fg xf g x 4 基本初等函数：（1）幂函数 yx （2）指数函数(0,1)xyaaa （3）对数函数logayx 特例,lnaeyx （4）三角函数 sin,cosyxyx 等 （5）反三角函数 arcsin,arccosyxyx等 5 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可以用一个式子表示的函数。例：210()10 xxf xxx 两个式子 ，故不是初等函数 6 函数的极限 当x 时，若()f x无限地接近于某个确定的数A，则称A为()f x当x 时的极限。记为lim()xf xA 重要结论：lim()lim()

4、lim()xxxf xAf xf xA lim()xf xA的几何意义：一、yA是他的水平渐近线 例如：1lim0 xx 二、lim()lim()xxf xAf xB而 AB，则说明它有两条渐近线。例如：limarctan,22xxyy 两条渐近线。当0 xx时，如果()f x无限地接近于某一确定的常数A，则称A为()f x当0 xx时的极限。记为：0lim()xxf xA 注：（1）()f x在0 x处的极限存在与否与()f x在0 xx处有无定义没有关系。因为定义中没有要求0 xx，只是 0 xx （2）x趋近于0 x的方式是任意的。（即 可以从左边，也可以从右边）左极限：当x从左边趋近于

5、0 x（记为：0 xx）时，()f xA，则称A为()f x 当0 xx时的左极限。记为：0lim()xxf xA 或0()f xA 。右极限：0lim()xxf xA 即左右极限存在且相等 若：00()()f xf x，则0lim()xxf x不存在 7 无穷小量 定义：以 0为极限的变量称为无穷小（量）定义：当0 xx（或x ）时，对应的函数值的绝对值()f x无限增大 注意 无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大 无穷大的几何意义：0lim()xxf x ，直线0 xx是函数()yf x图形的铅直渐近线（回忆水平渐近线 定理二：在自变量的同一变化过程中，如果()f x为无穷

6、大，则1()f x为无穷小；反之，如果()f x为无穷小，且()0f x ，则1()f x为无穷大。无穷小的性质：定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小 定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论：（1）有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。（有极限有界）（2）常数与无穷小量的乘积是无穷小 （3）有限个无穷小量的乘积也是无穷小 8 无穷小的比较 定义：设,都是无穷小 (1)若lim0，则称是比高阶的无穷小，记为：0()(2)若lim ，则称是比低阶的无穷小(3)若lim0c，则称与是同阶无穷小(4)若lim1，则称与是等价无穷小，记为：最重要是等价无穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论 当0

7、 x 时，sin,tan,ln(1),1xxxxxxxex，arcsinxx，arctanxx，111nxxn，211 cos2xx，1lnxaxa，(1)1xx 注意其引申 sin,tankxkxkxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小 定理一：设，且lim存在，则 9 函数的连续性 定义：设函数()yf x在点0 x的某一邻域内有定义，如果 0000limlim()()0 xxyf xxf x ，则称()yf x在点0 x处连续。强调：0 x 包含 0,0 xx ；0,0 xx 记：0 xxx ，则000()()()()yf xxf xf xf x 0 x 相当于 0 xx 0y 相当于 0

8、()()f xf x 由此，我们得到连续的另一个等价定义 定义 2：设()yf x在点0 x的某一邻域内有定义，如果00lim()()xxf xf x，则称()yf x在点0 x处连续。即：在0 x处的极限等于它在该点的函数值 与左、右极限相对应，也有左、右连续的概念 若0lim0 xy ，即00lim()()xxf xf x，则称()f x在点0 x处左连续 若0lim0 xy ，即00lim()()xxf xf x，则称()f x在点0 x处右连续()yf x在点0 x处连续左右都连续 即 000lim()lim()()xxf xf xf x 若函数()yf x在点0 x处不连续，则称()

9、yf x在点0 x处间断。0 x称为()yf x的间断点。（1）可去间断点 极限0lim()xxf x存在，但()yf x在点0 x处无定义或()yf x在点0 x处有定义，但00lim()()xxf xf x。则称0 x为()f x的可去间断点。（2）跳跃间断点 若0lim()xxf x与 0lim()xxf x存在，但 00lim()lim()xxxxf xf x 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 。第一类间断点的特点是左右极限都存在。第一类间断点以外的间断点称为第二类间断点。特点：是至少有一个单侧极限不存在。常见的有无穷间断点。特点：至少有一个单侧极限为无穷大 。一切初等函数在其

10、定义区间内是连续的 10 函数的导数 定义：设函数()yf x在点0 x处的某个邻域0()U x内有定义，给0 x以增量x（000,()()xxxU x 仍然在该邻域内），若0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在。则称()f x在0 x处可导。并称这个极限值为()f x在0 x处的导数。记为：()fx ，0 x xy，00(),x xx xdf xdydxdx 即 000()()()limxf xxf xfxx 关于导数的几点说明：（1）导数反映因变量关于自变量的变化率，即反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。（2）令0 xxx ，当0 x 时 0 xx 等价定义 0

11、000()()()limxxf xf xfxxx 或（1）若定义中极限不存在，则称()f x在0 x处不可导。在不可导中有一个特殊情形。当0limxyx ，则称()f x在0 x处的导数为无穷大。（2）如果函数()yf x在开区间I内的每一点处都可导，就称函数()yf x在开区间I内可导。（3）对于任一个xI，都对应着()f x的一个确定的导数值，()xfx。这个函数 叫做原来函数()f x的导函数。记作：()dyyfxdx或()df xdx 即 0()()limxf xxf xyx 或 注：（1）导函数()fx简称为导数（2）00()()x xfxfx（6）单侧导数 1、左导数 2、右导数

12、0()fx存在00()()fxfx（7）如果()f x在开区间(,)a b内可导，且()()fbfa及都存在，就说()f x在闭区间,a b上可导。函数()f x在点0 x处的导数0()fx的几何意义就是曲线()yf x在对应点00(,)A xy处的切线的斜率。于是：曲线()yf x在点00(,)A xy处的切线方程可写成：（1）0()fx存在，则 切线方程：000()()yyfxxx 法线方程：0001()()yyxxfx （2）若0()fx 切线方程：0 xx 法线方程：0yy 定理：若()f x在0 x处可导。则()f x在0 x处必连续 连续但不可导的例子：yx在0 x 处 0lim0

13、(0)xxf 所以连续，但不可导 注：若不连续，则一定不可导 11 函数的微分 定义：设函数()yf x在某区间内有定义，在0 xx处给自变量以增量x，如果相应的函数的增量y总能表示为：()yA xox ，其中A与x无关，()ox是x的高阶无穷小。则称函数()yf x在点0 x处可微。并称A x为()f x在点0 x处的微分。记作：dy或()df x 即：dyA x A称为微分系数。定理：函数()yf x在0 x处可微函数()yf x在0 x处可导 我们得到函数的可微性与可导性是等价的。（可微可导）。函数在x处的微分()dyfx dx 12 函数的不定积分 定义 1 设函数 F（x）在某区间

14、I 上可导，且xI 有 F(x)=f（x），则称 F（x）为函数 f（x）在区间 I上的一个原函数.定理 1 设 F（x）是 f（x）在区间 I 上的一个原函数，则 F（x）+C（C 为任意常数）为 f（x）的全体原函数.定义 设函数 f（x）在区间 I 上有定义，称 f（x）在区间 I 上的原函数的全体为 f（x）在 I 上的不定积分，记作()df xx，其中记号“”称为积分号，f（x）称为被积函数，x 称为积分变量.定理 1 设 F（x）是 f（x）在区间 I 上的一个原函数，则()df xx=F（x）+C，C 为任意常数.强调：c不能丢，()F x仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。

15、通常，我们把 f（x）在区间 I上的原函数的图形称为f（x）的积分曲线，不定积分的性质（1）()()df xg xx=()df xx+()dg xx，其中，为常数；（2）d()ddf xxx=f（x）；（3）()dfxx=f(x)+C,C 为任意常数.13 函数的定积分 定义 设函数 f（x 在区间a，b上有界，今取 n+1 个分点：a=x0 x1x2xi1xixn1xn=b，将a，b分成 n 个小区间xi1，xi，其长度记为xi=xixi1（i=1，2，n），并令=1maxii nx,若ixi1,xi（i=1，2，n），极限 0lim1nif(i)xi 存在，且该极限值与对区间a，b的分划及

16、i的取法无关，则称 f（x）在a，b上可积，且称该极限值为 f（x）在a，b上的定积分，记为()dbaf xx，其中,f（x）称为被积函数，x 称为积分变量，a 和 b 分别称为积分下限和上限，a，b称为积分区间，1nif（i）xi称为积分和.注意：（1）定积分是一个和式的极限，它是一个数。和式很复杂，区间的分法 无穷多，点的 取法也无穷多。但是，极限与取法、分法无关。（2）定积分由被积函数()f x与积分区间,a b确定，与积分变量无关。即()()()bbbaaaf x dxf t dtf u du。（3）曲边梯形的面积()baAf x dx （4）当被积函数在积分区间上恒等于 1 时，其积

17、分值即为积分区间长度，即 ()dbaf xx=ba；（5）可积条件 为方便起见，我们用 R（a，b）表示区间a，b上所有可积函数的集合，可以证明：（1）若 f（x）C（a，b），则 f（x）R（a，b）；（2）若 f（x）为a，b上的单调有界函数，则 f（x）R（a，b）；（3）若 f（x）在a，b上仅有有限个第一类间断点，则 f（x）R（a，b）.定积分的几何意义：（1）()0,()baf xf x dxS 图（2）()0,()baf xf x dxS 图（3）()f x在,a b上有正有负 图 123()baf x dxSSS 面积的代数和 总之，若 f（x）C（a，b），则定积分()db

18、af xx的几何意义是表示由 x轴、曲线 y=f（x）、直线 x=a 与 x=b 所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于 x 轴上方的图形面积取正号，位于 x 轴下方的图形面积取负号.定积分的性质（1）当 a=b 时，()dbaf xx=0；（2）当 ab时，()dbaf xx=()dabf xx 积分中值定理）设 f（x）C（a，b），则a，b，使得()dbaf xx=f（）（ba）.设 f（x）C（a，b），F（x）是 f（x）在a，b上的一个原函数，则 ()dbaf xx=F（b）F（a）.要掌握的具体内容：如何求极限；如何求导数与微分 如何求不定积分与定积分 导数和定积分的应用 一

19、如何求极限 求极限的方法（1）约去零因子法（适用于0 xx 时的00型）（2）无穷小因子分出法（适用于x时的型）当x时有理分式的极限为（3）有理化（适用于含有根式的极限）（4）通分（适用于型）（5）利用两个重要极限 1 第一个重要极限 0sinlim1xxx 这个极限的特点：（1）00型 （2）sin xx 推广：sin()lim1()u xu x某过程，其中()u x是x的该变化过程中的无穷小 2 第二个重要极限 1lim(1)xxex （e是无理数，2.71828e）几种变形 有如下特点：（1）1型 （2）加号上的量与肩膀上的量互为倒数 推广：若 lim()u x ，则()1lim 1()

20、u xeu x 若 lim()0u x ，1()lim 1()u xu xe（6）等价无穷小替换 当0 x 时，sin,tan,ln(1),1xxxxxxxex，arcsinxx，arctanxx，111nxxn，211 cos2xx，1lnxaxa，(1)1xx 注意其引申 sin,tankxkxkxkx即上面的无穷小可换成其他无穷小 定理一：设，且lim存在，则 强调：乘积时才用等价无穷小代替，在加减中不能代替 ，即被替换的无穷小必须处于乘积因子位置 例：30tansinlimsinxxxx 原式30lim0 xxxx 错 在加减中不要替换（7）利用无穷小的性质（定理二：有界函数与无穷小的

21、乘积是无穷小）（8）利用左右极限与极限的关系（适用于分段函数在分段点处的极限）（9）连续性的定义（设连续函数()yf x在点0 x的某一邻域内有定义，则00lim()()xxf xf x）（10）洛必达法则 00型，型直接使用法则，0型，将其中的一个倒下来，化成00型或型，再使用法则。型，通分后化成00型，再使用法则。00,0,1型，化成以e为底的指数，或取对数后化成0 以上 10 种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合 二 如何求导数（1）基本求导公式 求导公式：（1）()0c （2）1()xx 特例：2111()1,(),()2xxxxx （3）()lnxxaaa 特

22、例：()xxee （4）1(log)lnaxxa 特例：11(ln),(ln)xxxx（5）(sin)cos(cos)sinxxxx （6）21(arcsin)1xx 21(arccos)1xx （2）求导的四则运算法则：2()(0)uu vuvvvv ()cucuc为常数（3）复合函数的求导法则 定理三：如果()ug x在点x处可导，而()yf u在点()ug x处可导，则复合函数()yf g x在点x处可导，且其导数为：dydy dudxdu dx 或 ()()yf ug x 链式法则 dydx ：函数对x的导数 dydu：()f u对u的导数 dudx：()ug x对x求导 复合函数的导

23、数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（4）参数方程的求导法 若参数方程()()xtyt确定y与x之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。求导公式()()dydytdtdxdxtdt y对t的导数比上x对t的导数 二阶导数 dtdxdxdydtddxyd)(22 dxdy对t的导数比上x对t的导数（5）隐含数的求导法 什么叫隐含数 定义：由方程所确定的函数()yf x称为隐函数 隐函数的求导法则：用复合函数的求导法则直接对方程两边求导（6）对数求导法：先两边取对数，然后按照隐函数的求导方法求导。适用范围：（1）幂指函数()()v xu x （2）多个函数相乘或还有开方的

24、情况（7）变限函数的求导(x)=d()ddxaf ttx=f(x)()()d()ddu xv xf ttx=f（u（x）u(x)f(v(x)v(x).（8）如何求微分()dyfx dx 先求出函数的导数，则()dyfx dx 千万不要忘记写dx 三 如何求积分 基本积分公式 dk x=kx+C（k 为常数）,daxx=111axa+C(a1),特别地：211dxcxx 2dxxcx 1dxx=lnx+C(x0),dxex=ex+C,dxax=1lnxaa+C(a0 且 a1),cos dx x=sinx+C,sin dx x=cosx+C,2secdx x=tanx+C,2cscdx x=co

25、tx+C,sectan dxx x=secx+C,csc cot dxx x=cscx+C,21d1xx=arcsin x+C,21d1xx=arctan xc 积分的方法 一，分项积分 ()()df xg xx=()df xx+()dg xx，其中，为常数；()()dbaf xg xx=()d()dbbaaf xxg xx 二 换元法 第一换元法（凑微分）()()dfxxx=()()()()()fx dx uxf u duF uc()ux F(x)+C.（注意：中间的换元过程可省略。）第二换元 对于定积分的第二换元法要注意：（1）换元必换限（2）当ab时，不一定有，但下限一定要对应下限，上限

26、一定要对应上限（3）,选取可能不唯一，原则上：不自找麻烦，越小越好 三 分部积分 注意：1将谁看成v 2回归法 对于定积分还有三个要注意的地方 一，分段函数的定积分 如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分的和。例：0,0,1)(2xexxxfx，计算dxxf11)(解：1100131001210011137)()31()1()()()(eexxdxedxxdxxfdxxfdxxfxx 例：1)(xxf，求dxxf13)(解：因为1,1;1,1)(xxxxxf 二 奇零偶倍 三、广义积分（1）无穷积分 定义：()af x dxlim()tatf x dx 若

27、广义积分0()f x dx与0()f x dx都收敛，则()f x dx收敛，且定义为这两个广义积分之和。=0lim()ttf x dx0lim()ttf x dx 计算：()af x dx)()(lim)(aFxFxFxa（2）瑕积分 定义：若bx 为)(xf的瑕点，则()lim()btaatbf x dxf x dx 若ax 为)(xf的瑕点，则()lim()bbattaf x dxf x dx 若),(bacx为)(xf的瑕点，则()lim()lim()btbaattctcf x dxf x dxf x dx 计算：若bx 为)(xf的瑕点，则badxxf)()()(lim)(aFxFx

28、Fbxba 若ax 为)(xf的瑕点，则badxxf)()(lim)()(xFbFxFaxba 若),(bacx为)(xf的瑕点，则 badxxf)(=cadxxf)(+bcdxxf)(bccaxFxF)()()()(limaFxFcx+)(lim)(xFbFcx 四 应用题（一）求曲线的切线，法线 （二）求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值。确定函数单调区间，极值的步骤为：（1）写出定义域 （2）找出驻点和导数不存在的点 ，将定义域进行划分。（3）判断各区间导数的符号 ，并判断单调性，。（4）写出单调区间，求出各极值点的函数值，即得全部极值。判断凹凸区间，曲线拐点的步骤：（1）写

29、出定义域，求()fx（2）令()0fx，解出实根 ，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行划分。对每一点0 x，考察()fx在0 x的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两侧符号相反，则00(,()xf x为拐点，否则不是。求最值的步骤：（1）在,a b内找出驻点和不可导点，12,nxxx（2）计算()if x及(),()f af b （3）从这些值中找出最大值、最小值。（三）与中值定理有关的证明题（四）利用单调性证明不等式（五）关于闭区间上连续函数性质的证明题（六）求平面图形的面积 记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。记住：被积函数是右边的函数减左边的函数（七）求体积 平面截面面积为

30、已知的立体体积 V()dbaA x x 旋转体的体积 设一旋转体是由连续曲线yf（x），直线 xa 和 xb 及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而形成的 由曲线()xy，直线,()yc yd cd与y轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为：（八）求弧长 弧微分公式22)()(dydxds 若曲线的方程为 yf（x），xa，b，且 f（x）在a，b上有一阶连续导数，则21()dbasfxx 若曲线弧的方程由参数方程(),(),xtyt t，给出，设（t），（t）在，上具有连续导数，则2222d(d)(d)()()dsxyttt 曲线弧的弧长为 如果曲线方程由极坐标方程 rr

31、（）（）给出，且 R（）存在一阶连续导数，则由()cos,()sin,xryr （）可知22()()dsrr 第六章 常微分方程 一阶微分方程：1、可分离变量的方程 ()()dyf x g ydx 方法：分离变量后，两边同时积分 2、齐次方程 ()dyydxx 方法：令yux 化成可分离变量，最后回代 3、一阶线性微分方程：()()dyp x yq xdx 方法：公式法 通解()()()p x dxp x dxyeq x eC 可降阶的高阶微分方程：1、()()nyf x 方法：逐次积分n次 2、(,)yf x y，特点：不显含未知函数y 方法：令()(,)yp xpf x p。利用解一阶方程

32、的的方法解出p，再代入，再积分。2、(,)yf y y，特点：不显含x 方法：令()dpyp yypdy从而方程化为(,)dppf y pdy。利用解一阶方程的的方法解出p，再代入，再积分。二阶常系数线性微分方程：1、齐次0ypyqy 解题步骤：（1）写特征方程 20rprq（2）解特征方程，求出特征根 12,r r（3）写出通解 通解公式如下表：12rr为实根 12rr为实根 2、非齐次 ()ypyqyf x 方法：先求出对应齐次方程的通解Y，再求出特解y，则通解yYy 若()()xmf xe Px 则()kxmyx Qx e 不是特征根 为特征单根 为特征重根 sin)(cos)(e.2xxPxxPyqypynlx xkxye*则设特解为 sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max是特征根不是特征根iik10