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1、第三章 不等式 重点:不等式性质和一元一次不等式解法。难点：一元一次不等式解法和一元一次不等式解决在现实情景下实际问题。知识点一：不等式概念 1.不等式：用“（或“”），“（或“）等不等号表示大小关系式子,叫做不等式.用“”表示不等关系式子也是不等式.要点诠释：（1)不等号类型:“”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等,但不能明确两个 量谁大谁小；“”读作“大于”，它表示左边数比右边数大；“”读作“小于”,它表示左边数比右边数小；“”读作“大于或等于”，它表示左边数不小于右边数；“”读作“小于或等于”，它表示左边数不大于右边数；（2)等式与不等式关系：等式与不等式都用来表示现实世界中数量
2、关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系,但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得关系，不是同类量不能比较。（3）要正确用不等式表示两个量不等关系,就要正确理解“非负数、“非正数”、“不大于、“不小于等数学术语含义。2不等式解：能使不等式成立未知数值，叫做不等式解。要点诠释：由不等式解定义可以知道,当对不等式中未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式一个解，我们可以和方程解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式解，可将此数代入不等式左边和右边利用不等式概念进行判断。3不等式解集：一般地,一个含有未知数不等式所有解，组成这个不等式解集。求不等式解集过程叫做解不等式。如：
3、不等式 x41 解集是 x5.不等式解集与不等式解区别:解集是能使不等式成立未知数取值范围，是所有解集合,而不等式解是使不等式成立未知数值.二者关系是：解集包括解,所有解组成了解集。要点诠释：不等式解集必须符合两个条件：（1)解集中每一个数值都能使不等式成立；（2)能够使不等式成立所有数值都在解集中。知识点二：不等式基本性质 基本性质 1:如果 ab，b，=,-1，解不等式（2)得 x1,解不等式(3）得 x2,在数轴上表示出各个解为:原不等式组解集为-14x-5 得：x3，解不等式1 得 x2,1、先求出不等式组解集。2、在解集中找出它所要求特殊解，正整数解。原不等式组解集为 x2，这个不等
4、式组正整数解为 x=1 或 x=2 点评 此类题型关键是正整数解,这要结合数轴将其正整数解出来,在运算过程中要注意正负数运算，这在考试中是会经常出现题型 例 3 m 为何整数时，方程组解是非负数？分析 解方程组得 方程组解是非负数，即 解不等式组 此不等式组解集为m，又m 为整数，m=3 或 m=4。点评 本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念,即。先解方程组用 m 代数式表示 x,y,再运用“转化思想”，依据方程组解集为非负数条件列出不等式组寻求 m 取值范围，最后切勿忘记确定 m 整数值。例 4 解不等式33x-15。分析 解法（1）:原不等式相当于不等式组 解不等式组得-x2
5、，原不等式解集为x2.解法（2）:将原不等式两边和中间都加上 1，得23x6,将这个不等式两边和中间都除以 3 得,-x2,原不等式解集为-x2。点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时符号 例 5 有一个两位数，它十位上数比个位上数小 2,如果这个两位数大于 20并且小于 40，求这个两位数。分析 解法（1）:设十位上数为 x，则个位上数为(x+2），原两位数为10 x+（x+2)，由题意可得：2010 x+(x+2）40，解这个不等式得,1x3,x 为正整数，1x3整数为 x=2 或 x=3，当 x=2 时，10 x+(x+2
6、)=24，当 x=3 时，10 x+(x+2)=35，答:这个两位数为 24 或 35。解法（2）：设十位上数为 x，个位上数为 y,则两位数为 10 x+y,由题意可得(这是由一个方程和一个不等式构成整体,既不是方程组也不是不等式组,通常叫做“混合组）。将（1）代入（2)得，2011x+240,解不等式得：1x3，x 为正整数,1x3整数为 x=2 或 x=3,当 x=2 时，y=4,10 x+y=24，当 x=3 时,y=5，10 x+y=35。答:这个两位数为 24 或 35.解法（3）：可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于 20 且小于 40，所以它十位上数只能是 2
7、和 3。当十位数为 2 时，个位数为 4,当十位数为 3 时，个位数为 5，所以原两位数分别为 24 或 35。点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上数字与个位上数；一个相等关系:个位上数十位上数+2，一个不等关系:20原两位数0，错误!a+ba+c，错误!bcac，错误!abac A.1 个；B。2 个;C.3 个;D。4 个.2、不等式 2x50 正整数解有(）A1 个；B2 个；C3 个；D0 个 3、如图 2，能表示不等式组0-1-21 2 3 解集是 ()A B C D 图 2 4、如图 3,不等式组0
8、-1-21 2 3解集在数轴上表示正确是（）A B C D 图 3 5、不等式组错误!解是（)A、x2 B、x2 C、1x2 D、x1 6、下面不等式组无解是（）A。0-1-21 2 3；B.0-1-21 2 3;C。0-1-21 2 3；D.0-1-21 2 3。0-1-21230-1-21230-1-21230-1-2123 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 7、已知a、b为实数，且1ab,设11bbaaM，1111baN,则M、N大小关系是（）ANM BNM CNM D不确定 8、已知关于 x 不等式组0-1-2123无解，则 a 取值范围是（）A.a 1 B。a2 C.1
9、a2 D.a1，或 a2 9、小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件，已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，那么小明最多能买钢笔（）A。12支；B。13支；C.14支；D.15支 10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人体重一共为150千克,爸爸坐在跷跷板一端；体重只有妈妈一半小芳和妈妈一同坐在跷跷板另一端.这时，爸爸那一端仍然着地.请你猜一猜小芳体重应小于（）A.49千克 B。50千克 C。24千克 D。25千克 二、填空题(每小题3分,共30分)11、若 ab，则2b_2a 12、如果 0，那么 xy_0 13、不等式 5x93（x1)解集是_.14、不等式组整数解为_.1
10、5、已知4x33x22x1，则 x 最大整数值为_ 16、在关于 x1，x2，x3方程组0-1-2123中，已知0-1-2123,那么将 x1,x2，x3从大到小排起来应该是_。17、对于整数 a,b，c，d，符号0-1-2123表示运算 ac-bd，已知 10-1-21233，则b+d 值是_ 18、已知关于 x 不等式组0ax1x25无解，则 a 取值范围是_ 19、已知不等式 4xa0 正整数解是 1，2，则 a 取值范围是_ 20、为了加强学生交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序若每一个路口安排 4
11、人，那么还剩下 78 人；若每个路口安排 8 人,那么最后一个路口不足 8 人，但不少于 4 人则这个中学共选派值勤学生_人,共有_个交通路口安排值勤 三、解答题（每小题 7 分，共 35 分)21、解不等式组 32x-11-x )1(2)3(410 xx，并写出此不等式组整数解 22、已知关于 x、y 方程组0-1-21 2 3解满足 x y 0，化简|a|+3a 23、有一个两位数，其中十位上数字比个位上数字小 2，如果这个两位数大于 20 而小于 40，求这个两位数 24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中，评出一等奖 4 人，二等奖 6 人,三等奖20 人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖
12、品，同一等次奖品相同（1）若一等奖，二等奖、三等奖奖品分别是喷壶、口罩和温度计,购买这三种奖品共计花费 113 元，其中购买喷壶总钱数比购买口罩总钱数多 9 元，而口罩单价比温度计单价多 2 元，求喷壶、口罩和温度计单价各是多少元?（2）若三种奖品单价都是整数，且要求一等奖单价是二等奖单价 2 倍，二等奖单价是三等奖单价 2 倍，在总费用不少于 90 元而不足 150 元前提下,购买一、二、三等奖奖品时它们单价有几种情况，分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品单价？25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长,进行了一次演讲答辩与民主测评A、B、C、D、E 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价
13、，全班 50 位同学参与了民主测评结果如下表所示：表 1 演讲答辩得分表（单位：分）A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表 2 民主测评票数统计表（单位：张）“好”票数“较好”票数“一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”方法确定；民主测评得分“好”票数2 分“较好”票数1 分“一般”票数0 分；综合得分演讲答辩得分（1a）民主测评得分a（0。5a0.8）当 a0.6 时,甲综合得分是多少?a 在什么范围时,甲综合得分高？a 在什么范围时,乙综合得分高？四、探索题（第 26、
14、27 小题，每小题 8 分,第 28 小题 9 分，共 25 分）26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解：（1）解不等式组错误!小虎解法：由不等式，得 x3 所以，原不等式组解集为 2x3(2）解不等式组错误!小虎解法:,得不等式组解集为 xb0），则糖质量与糖水质量比为_;若再加 c 克糖(c0）,则糖质量与糖水质量比为_生活常识告诉我们：加糖完全溶解后,糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式 28、某园林门票每张 10 元,一次性使用考虑到人们不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原来售票方法外,还推出了一种“购买个人年票售票方法（个人年票从购买日起，可供持
15、票者使用一年).年票分 A、B、C 三类，A 类年票每张 120 元,持票者进人园林时，无需再购买门票；B 类年票每张 60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票,每次 2 元；C 类年票每张 40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元.（1）如果你只选择一种购买门票方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多购票方式；(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 类年票比较合算 参考答案 一、C B A B C，C B B B D 二、11、;13、x6；14、-3，2；15、0；16、x2x1x3;17、3 或者-3；18、
16、a3；19、8ay0，得 02a2a1a2 解得 a2 当 2a3 时,|a|3aa3a3;当 a3 时,a|3aaa32a3 23、设十位上数字为 x，则个位上数字为 x2 根据题意得 2010 xx240,以上不等式可化成下列不等式组 402x10 x 20210 x 由得1118x；由得1138x,所以不等式组解集是1138x1118 因为 x 表示是十位上数字，所以 x 只能是 2 或 3，则个位上数字是 4 或 5,所以这个两位数是 24 或 35 答:这个两位数是 24 或 35 24、(1）设喷壶和口罩单价分别是 y 元和 z 元,根据题意，得 错误!解得错误!所以，z-2=2。
17、5。因此，喷壶、口罩和温度计单价分别是 9 元、4.5 元和 2.5 元.（2）设三等奖奖品单价为 x 元，则二等奖奖品单价为 2x 元，一等奖奖品单价为 4x 元。根据题意,得 9044x+62x+20 x150 解得 1错误!x3错误!。因为三种奖品单价都是整数，所以 x=2,或者 x=3.当 x=2 时，2x=4,4x=8；当 x=3 时，2x=6，4x=12.因此，购买一、二、三等奖奖品时它们单价有两种情况:第一种情况中一、二、三等奖奖品单价分别是 8 元、4 元和 2 元;第二种情况中一、二、三等奖奖品单价分别是 12 元、6 元和 3 元。25、甲演讲答辩得分为错误!=92（分）,
18、民主评议得分为 402+71+30=80+7+0=87（分），当 a0.6 时,甲综合得分为 92(1 0.6）+870。6=36。8+52。2=89（分）.（2)乙演讲答辩得分为89+87+913=89(分),民主评议得分为 422+41+40=84+4+0=88（分），甲综合得分为 92（1 a)+87a=92 5a（分）,乙综合得分为 89（1 a）+88a=89 a（分)当 92 5a89 a 时,a0.75；又因为 0。5a0。8，所以，当 0。5a0.75 时,甲综合得分高。当 92 5a0。75；又因为 0.5a0。8，所以,当 0。75x3 显然是错误，绝对不能出现 23此题中
19、两个不等式解集 x2 和 x3 没有公共部分,所以原不等式组无解 解第（2）题时，小虎把方程组解法机械地套用到解方程组中，缺乏科学依据正确解法是由不等式,得 x30；由，解得 x26错误!；由，解得 x12。解得原不等式组解集为 x30。所以,一年中进入该园林至少超过 30 次时,购买 A 类年票比较合算 典型分析 例 1 解不等式组 点评 这类题型是常见解一元一次不等式组，并结合数轴解题，在解题过程中要注意运算准确性及数轴表示法 例 2 求不等式组正整数解。点评 此类题型关键是正整数解，这要结合数轴将其正整数解出来，在运算过程中要注意正负数运算，这在考试中是会经常出现题型 例 3 m 为何整
20、数时，方程组解是非负数？点评 本题综合性较强,注意审题，理解方程组解为非负数概念,即。先解方程组用 m 代数式表示 x，y,再运用“转化思想”，依据方程组解集为非负数条件列出不等式组寻求 m 取值范围，最后切勿忘记确定 m整数值.例 4 解不等式-33x-15.点评 这题把不等式拆分成两个不等式并组成不等式组，做题很灵活，解法有两种，在解题过程中要注意正负数移项时符号 例 5 有一个两位数,它十位上数比个位上数小 2，如果这个两位数大于 20并且小于 40，求这个两位数.点评 这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式知识来解决。题目中有两个主要未知数-十位上数字
21、与个位上数；一个相等关系：个位上数十位上数+2,一个不等关系：20a+c,，3bcac，4abac A.1 个；B.2 个；C.3 个；D。4 个。2、不等式 2x50 正整数解有（)A1 个；B2 个；C3 个；D0 个 3、如图 2，能表示不等式组0-1-21 2 3 解集是 （）A B C D 图 2 4、如图 3,不等式组240,1 0 xx解集在数轴上表示正确是（）A B C D 图 3 5、不等式组错误!解是(）A、x2 B、x2 C、1x2 D、x1 6、下面不等式组无解是(）A。0201xx;B。0201xx；C.0201xx；D。0201xx。7、已知a、b为实数，且1ab，
22、设11bbaaM，1111baN，则M、N0-1-21230-1-21230-1-21230-1-2123 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 大小关系是（）ANM BNM CNM D不确定 8、已知关于 x 不等式组axxx12无解,则 a 取值范围是（）A.a 1 B.a2 C。1a2 D。a1，或 a2 9、小明用 100 元钱去购买笔记本和钢笔共 30 件,已知每本笔记本 2 元，每支钢笔 5 元，那么小明最多能买钢笔（)A。12支;B.13支;C。14支;D。15支 10、小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,三人体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板一端；体重只有妈妈一半小芳和妈
23、妈一同坐在跷跷板另一端。这时，爸爸那一端仍然着地.请你猜一猜小芳体重应小于（）A.49千克 B。50千克 C。24千克 D.25千克 二、填空题（每小题3分，共30分）11、若 ab，则2b_2a 12、如果 0，那么 xy_0 13、不等式 5x93(x1)解集是_.14、不等式组整数解为_.15、已知4x33x22x1,则 x 最大整数值为_ 16、在关于 x1，x2，x3方程组313232121axxaxxaxx中，已知321aaa，那么将 x1，x2,x3从大到小排起来应该是_。17、对于整数 a，b,c，d,符号cbda 表示运算 acbd，已知 10，化简a+|3a|23、有一个两
24、位数,其中十位上数字比个位上数字小 2，如果这个两位数大于 20 而小于 40,求这个两位数 24、慧秀中学在防“非典”知识竞赛中,评出一等奖 4 人，二等奖 6 人，三等奖20 人，学校决定给所有获奖学生各发一份奖品，同一等次奖品相同（1）若一等奖，二等奖、三等奖奖品分别是喷壶、口罩和温度计,购买这三种奖品共计花费 113 元，其中购买喷壶总钱数比购买口罩总钱数多 9 元，而口罩单价比温度计单价多 2 元，求喷壶、口罩和温度计单价各是多少元?（2）若三种奖品单价都是整数，且要求一等奖单价是二等奖单价 2 倍，二等奖单价是三等奖单价 2 倍，在总费用不少于 90 元而不足 150 元前提下，购
25、买一、二、三等奖奖品时它们单价有几种情况,分别求出每种情况中一、二、三等奖奖品单价？25、某班为了从甲、乙两同学中选出班长,进行了一次演讲答辩与民主测评A、B、C、D、E 五位老师作为评委,对“演讲答辩”情况进行评价,全班 50 位同学参与了民主测评结果如下表所示：表 1 演讲答辩得分表（单位：分）A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 表 2 民主测评票数统计表(单位:张）“好”票数“较好”票数“一般”票数 甲 40 7 3 乙 42 4 4 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分方法确定；民主测评得分“好”票数2 分“较好
26、”票数1 分“一般”票数0 分；综合得分演讲答辩得分(1a)民主测评得分a（0.5a0。8）当 a0。6 时,甲综合得分是多少？a 在什么范围时,甲综合得分高？a 在什么范围时,乙综合得分高？四、探索题(第 26、27 小题，每小题 8 分，第 28 小题 9 分，共 25 分）26、马小虎同学在做练习时，有两道不等式组是这样解:(1）解不等式组错误!小虎解法：由不等式，得 xx3（2)解不等式组错误!小虎解法：,得不等式组解集为 x13 你认为小虎解法对吗?为什么?如果有错误，请予以改正 27、a 克糖水中有 b 克糖(ab0）,则糖质量与糖水质量比为_；若再加 c 克糖（c0)，则糖质量与
27、糖水质量比为_生活常识告诉我们：加糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识提炼一个不等式 28、某园林门票每张 10 元，一次性使用考虑到人们不同需求，也为了吸引更多游客，该园林除保留原来售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”售票方法(个人年票从购买日起,可供持票者使用一年)。年票分 A、B、C 三类,A 类年票每张 120 元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B 类年票每张 60 元,持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 2 元；C 类年票每张 40元,持票者进入该园林时，需再购买门票，每次 3 元。(1）如果你只选择一种购买门票方式，并且你计划在一年中用 80 元花在该园林门票上，试通过计算，找出可使进入该园林次数最多购票方式；（2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 类年票比较合算