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1、- 1 - / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明精选高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明 6-46-4合情推理与演绎推理课时提升作业理合情推理与演绎推理课时提升作业理(20(20 分钟分钟 4040 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.(2016宜昌模拟)下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A.两条直线平行,同旁内角互补,如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角,则A+B=180B.某校高三(1)班有 55 人,(2)班有 54 人,(3)班有 52 人,由此得高三所有班人数均超过 5
2、0 人C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质D.在数列an中,a1=1,an=(n2),由此归纳出an的通项公式【解析】选 A.A 项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),A 与B 是两条平行直线的同旁内角(小前提),A+B=180(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而 B,D 是归纳推理,C 是类比推理.2.(2016十堰模拟)依次写出数列 a1=1,a2,a3,an(nN*)的法则如下:如果an-2 为自然数且未写过,则写 an+1=an-2,否则就写 an+1=an+3,则 a6= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选 C.根据题中法则,依次逐个代入,得 a2=4,a
3、3=2,a4=0,a5=3,a6=6.3.(2016佛山模拟)对于数 25,规定第 1 次操作为 23+53=133,第 2 次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第 2016 次操作后得到的数是 ( )- 2 - / 11A.25B.250C.55D.133【解析】选 B.由题意知,第 3 次操作为 53+53=250,第 4 次操作为 23+53+03=133,第5 次操作为 13+33+33=55,.因此每次操作后的得数呈周期排列,且周期为 3,又 2016=6723,故第 2016 次操作后得到的数是 250.【加固训练】(2015揭阳模拟)对于正实数 a,Ma 为满足下述条
4、件的函数 f(x)构成的集合:x1,x2R 且 x2x1,有-a(x2-x1)a2,则 f(x)-g(x)【解题提示】对于-a(x2-x1)|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式C.由圆 x2+y2=r2 的面积 r2,猜想出椭圆+=1 的面积 S=abD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选 B.从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理.选项 A 是演绎推理,选项 C,D 是类比推理.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,
5、共共 1515 分分) )- 5 - / 116.(2016黄山模拟)观察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律,第 n 个等式为 .【解析】观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 13+23+n3=.答案:13+23+n3=【加固训练】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图 2 中的 1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )A.289 B.1024 C.122
6、5 D.1378【解析】选 C.观察三角形数:1,3,6,10,记该数列为an,则 a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,an=an-1+n.所以 a1+a2+an=(a1+a2+an-1)+(1+2+3+n)an=1+2+3+n=,观察正方形数:1,4,9,16,记该数列为bn,则 bn=n2.把四个选项的数字,分别代入上述两个通项公式,可知使得 n 都为正整数的只有 1225.7.(2016襄阳模拟)在平行四边形 ABCD 中有 AC2+BD2=2(AB2+AD2),类比这个性质,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中有 A+B+C+D= .- 6 - / 11【解题提示】根据平
7、行六面体的性质,可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形,多次使用已知条件中的定理,再将所得等式相加,可以计算出正确结论.【解析】如图,平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形,因此,在平行四边形 ABCD 中,AC2+BD2=2(AB2+AD2);在平行四边形 ACC1A1 中,A1C2+A=2(AC2+A);在平行四边形 BDD1B1 中,B1D2+B=2(BD2+B);、相加,得 A1C2+A+B1D2+B=2(AC2+A)+2(BD2+B)将代入,再结合 AA1=BB1 得,A+B1D2+A1C2+B=4(AB2+AD2+A)答案:4(AB2+AD2+A)【加固训练】观察下列几
8、个三角恒等式:tan 10tan 20+tan 20tan 60+tan 60tan 10=1;tan 5tan 100+tan 100tan(-15)+tan(-15)tan 5=1;tan 13tan 35+tan 35tan 42+tan 42tan 13=1.一般地,若 tan,tan,tan 都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【解析】所给三角恒等式都为 tantan+tantan+tantan=1 的结构形式,且 , 之间满足 +=90,所以可猜想当 +=90时,tantan+tantan+tantan=1.答案:当 +=90时,tantan+tantan+tant
9、an=18.已知数列an为等差数列,若 am=a,an=b(n-m1,m,nN*),则 am+n=.类比等差数列an的上述结论,对于等比数列bn(bn0,nN*),若 bm=c,bn=d(n- 7 - / 11m2,m,nN*),则可以得到 bm+n= .【解析】设数列an的公差为 d1,则 d1=.所以 am+n=am+nd1=a+n=.类比推导方法可知:设数列bn的公比为 q,由bn=bmqn-m,可知 d=cqn-m,所以 q=,所以 bm+n=bmqn=c=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下解法:(直接类比)设数列an的公差为 d1,数列bn的公比为 q,因为等差数列中an=a1+
10、(n-1)d1,等比数列中 bn=b1qn-1,因为 am+n=,所以 bm+n=.答案:(15(15 分钟分钟 3030 分分) )1.(5 分)观察下式:1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52据此你可归纳猜想出一般结论为 ( )A.1+3+5+(2n-1)=n2(nN*)B.1+3+5+(2n+1)=n2(nN*)- 8 - / 11C.1+3+5+(2n-1)=(n+1)2(nN*)D.1+3+5+(2n+1)=(n+1)2(nN*)【解析】选 D.观察可见第 n 行左边有 n+1 个奇数,右边是(n+1)2.2.(5 分)命题 p:已知椭圆+=1(ab
11、0),F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上的一个动点,过点 F2 作F1PF2 补角平分线的垂线,垂足为 M,则 OM 的长为定值.类比此命题,在双曲线中也有命题 q:已知双曲线-=1(a0,b0),F1,F2 是双曲线的两个焦点,P 为双曲线上的一个动点,过点 F2 作F1PF2 的 的垂线,垂足为 M,则 OM 的长为定值.【解析】对于椭圆,延长 F2M 与 F1P 的延长线交于点 Q.由对称性知,M 为 F2Q 的中点,且|PF2|=|PQ|,从而 OMF1Q 且|OM|=|F1Q|.而|F1Q|=|F1P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,所以|OM|=a.对于双曲线,过
12、点 F2 作F1PF2 内角平分线的垂线,垂足为点 M,类比可得 OM=a.答案:内角平分线3.(5 分)(2016黄冈模拟)观察下列等式:cos2=2cos2-1;cos4=8cos4-8cos2+1;cos6=32cos6-48cos4+18cos2-1;cos8=128cos8-256cos6+160cos4-32cos2+1;cos10=mcos10-1280cos8+1120cos6+ncos4+pcos2-1.可以推测,m-n+p= .【解析】m=1284=512;p=105=50,根据系数和等于 1,可以求出 n=-400.答案:962- 9 - / 11【加固训练】(2016武
13、汉模拟)在计算“12+23+n(n+1)”时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k 项:k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1),由此得 12=(123-012),23=(234-123),n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1).相加,得 12+23+n(n+1)=n(n+1)(n+2).类比上述方法,请你计算“123+234+n(n+1)(n+2)”,其结果是(结果写成关于 n 的一次因式的积的形式).【解析】先改写第 k 项:k(k+1)(k+2)=k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2),由此得 123=(1234-0
14、123),234=(2345-1234),n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2),相加得123+234+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3).答案:n(n+1)(n+2)(n+3)4.(15 分)已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线-=1 写出具有类似特性的性质,并加以证明.【解析】类似的性质为:若 M,N 是双曲线-=1 上关于原点对称的
15、两个点,点 P 是- 10 - / 11双曲线上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.证明如下:设点 M,P 的坐标分别为(m,n),(x,y),则 N(-m,-n).因为点 M(m,n)在已知双曲线上,所以 n2=m2-b2.同理 y2=x2-b2.则 kPMkPN=(定值).【加固训练】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18co
16、s 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【解析】(1)选择式,计算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin30=.(2)归纳三角恒等式 sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=.证明如下:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=+-sin(cos30cos+sin30sin)- 11 - / 11=-cos2+(cos60cos2+sin60sin2)-sincos-sin2=-cos2+cos2+sin2-sin2-(1-cos2)=1-cos2-+cos2=.