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1、- 1 - / 8【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用精选高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用 2-102-10变化率与导数导数的计算课时提升作业理变化率与导数导数的计算课时提升作业理(25(25 分钟分钟 6060 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2525 分分) )1.函数 y=x2cosx 在 x=1 处的导数是 ( )A.0B.2cos1-sin1C.cos1-sin1D.1【解析】选 B.因为 y=(x2cosx)=(x2)cosx+x2(cosx)=2xcosx-x2sinx,所以 y|x=1=2co
2、s1-sin1.2.已知 f(x)=x(2014+lnx),f(x0)=2015,则 x0= ( )A.e2B.1C.ln2D.e【解析】选 B.由题意可知 f(x)=2014+lnx+x=2015+lnx.由 f(x0)=2015,得 lnx0=0,解得 x0=1.3.已知函数 f(x)=ex,则当 x1B.D.- 2 - / 84.(2016临川模拟)若幂函数 f(x)=mx 的图象经过点 A,则它在点 A 处的切线方程是 ( )A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-4y+1=0D.4x+4y+1=0【解析】选 C.根据函数 f(x)=mx 为幂函数,所以 m=1,根据图象经过点 A,
3、则有=,所以 f(x)=,f(x)=,f=1,根据直线方程的点斜式,求得切线方程是 4x-4y+1=0.【加固训练】(2016保定模拟)已知曲线 y=lnx 的切线过原点,则此切线的斜率为 ( )A.e B.-e C. D.-【解析】选 C.y=lnx 的定义域为(0,+),设切点为(x0,y0),则 k=y=,所以切线方程为 y-y0=(x-x0),又切线过点(0,0),代入切线方程得 y0=1,则 x0=e,所以 k=y=.5.(2016泸州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+x-9 都相切,则a 等于 ( )A.-1 或-B.-1 或C.-或-D.-或 7【
4、解题提示】点(1,0)不在曲线 y=x3 上,只是曲线 y=x3 的特定切线经过点(1,0),故设出切点坐标,写出切线方程,把点(1,0)代入切线方程求得切点坐标,得出切线方程后,再根据切线与 y=ax2+x-9 相切求出 a 值.【解析】选 A.设过点(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,),所以切线方程为 y-=3(x-x0),- 3 - / 8即 y=3x-2,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=,当 x0=0 时,由 y=0 与 y=ax2+x-9 相切可得 a=-,当 x0=时,由 y=x-与 y=ax2+x-9相切可得 a=-1.二、填空题二、填空题( (每小题每
5、小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )6.(2016湖南十二校联考)若函数 f(x)=lnx-f(-1)x2+3x-4,则f(1)= .【解析】因为 f(x)=-2f(-1)x+3,所以 f(-1)=-1+2f(-1)+3,解得 f(-1)=-2,所以 f(1)=1+4+3=8.答案:8【加固训练】已知 f(x)=x2+2xf(2014)+2014lnx,则 f(2014)= .【解析】由题意得 f(x)=x+2f(2014)+,所以 f(2014)=2014+2f(2014)+,即 f(2014)=-(2014+1)=-2015.答案:-20157.(2016昆明模拟)函数 f(
6、x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于 .【解析】f(x)=,则 f(-1)=-4,故该切线方程为 y=-4x-2,切线在 x,y 轴上的截距分别为-,-2,故所求三角形的面积为.- 4 - / 8答案:8.已知函数 f(x)=ex-mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则实数 m 的取值范围是 .【解析】由题意可得 f(x)=ex-m,由于曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线,则 ex-m=-有解,即 m=ex+,而 ex0,故 m.答案:【加固训练】设曲线 y=在点处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a 等于
7、 .【解析】因为 y=,所以 y=-1,由条件知=-1,所以 a=-1.答案:-1三、解答题三、解答题( (每小题每小题 1010 分分, ,共共 2020 分分) )9.已知点 M 是曲线 y=x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求:(1)斜率最小的切线方程.(2)切线 l 的倾斜角 的取值范围.【解析】(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以当 x=2 时,y=-1,y=,所以斜率最小的切线过点,斜率 k=-1,所以切线方程为 x+y-=0.(2)由(1)得 k-1,所以 tan-1,所以 .- 5 - / 810.已知函数 f(x)=x3+(1-a
8、)x2-a(a+2)x+b(a,bR).(1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值.(2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围.【解析】f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得解得 b=0,a=-3 或 a=1.(2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,所以关于 x 的方程 f(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根,所以 =4(1-a)2+12a(a+2)0,即 4a2+4a+10,所以 a-.所以 a 的取值范围为.(20(20 分钟分钟 4040 分分
9、) )1.(5 分)(2016秦皇岛模拟)下面四个图象中,有一个是函数 f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR)的导函数 y=f(x)的图象,则 f(-1)= ( )A.B.-C.D.-或【解析】选 D.因为 f(x)=x2+2ax+a2-1,所以 f(x)的图象开口向上,则排除.若 f(x)的图象为,此时 a=0,f(-1)=;若 f(x)的图象为,此时 a2-1=0,又对称轴 x=-a0.所以 a=-1,所以 f(-1)=-.2.(5 分)(2016衡阳模拟)设 aR,函数 f(x)=ex+ae-x 的导函数是 f(x),- 6 - / 8且f(x)是奇函数,若曲线 y=f(x)
10、的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为 ( )A.ln2B.-ln2C.D.-【解析】选 A.对 f(x)=ex+ae-x 求导得 f(x)=ex-ae-x.又 f(x)是奇函数,故 f(0)=1-a=0,解得 a=1,故有 f(x)=ex-e-x,设切点为(x0,y0),则 f(x0)=-=,得=2 或=-(舍去),得 x0=ln2.【加固训练】(2016广州模拟)已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则 a 的值为 ( )A. B.-2 C.2 D.-【解析】选 A.设切点坐标为(t,t3-at+a).由题意知,f(
11、x)=3x2-a,切线的斜率为 k=f(t)=3t2-a,所以切线方程为 y-(t3-at+a)=(3t2-a)(x-t).将点(1,0)代入式得-(t3-at+a)=(3t2-a)(1-t),解之得 t=0 或 t=.分别将 t=0 和 t=代入式,得 k=-a 和 k=-a,由题意知它们互为相反数,得 a=.3.(5 分)(2016开封模拟)若函数 f(x)=|lnx|-mx 恰有 3 个零点,则 m 的取值范围是 .【解析】令 f(x)=|lnx|-mx=0,得到函数 y=|lnx|与 y=mx,它们在同一平面直角坐标系内的图象如下:- 7 - / 8当 x1 时,y=lnx,y=,设两
12、个函数相切,此时切点为(x0,y0),则有解得 m=,结合图象得,欲使有三个零点,则需满足:m.答案:4.(12 分)已知函数 f(x)=x-,g(x)=a(2-lnx)(a0).若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值.并判断两条切线是否为同一条直线.【解析】根据题意有:曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线斜率为 f(1)=3,曲线 y=g(x)在x=1 处的切线斜率为 g(1)=-a.所以 f(1)=g(1),即 a=-3.曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y-f(1)=3(x-1),得 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4
13、=0.曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0,所以两条切线不是同一条直线.5.(13 分)(2016厦门模拟)设函数 f(x)=ax-,曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 7x-4y-12=0.(1)求 f(x)的解析式.(2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.【解析】(1)方程 7x-4y-12=0可化为 y=x-3.当 x=2 时,y=.又 f(x)=a+,于是解得- 8 - / 8故 f(x)=x-.(2)设 P(x0,y0)为曲线 y=f(x)上任一点,由 y=1+知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x-x0),即 y-=(x-x0).令 x=0 得 y=-,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为.令 y=x 得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为|2x0|=6.故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.