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1、 离散数学作业答案 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-离散数学作业 3 离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共 3 次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。要求：将此作业用 A4 纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第 11
2、周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03 任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。一、填空题 1设集合1,2,3,1,2AB，则P(A)-P(B)=3,1,3,2,3,1,2,3，A B=,2设集合A有 10 个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 3设集合A=0,1,2,3，B=2,3,4,5，R是A到B的二元关系，则R的有序对集合为,4设集合A=1,2,3,4，B=6,8,12，A到B的二元关系 R,2,ByAxxyyx 那么R1,5设集合A=a,b,c,d，A上的二元关系R=,，则R具有的性质是 没有任何性质 6设集合A=a,b,c,d，A上的二
3、元关系R=,，若在R中再增加两个元素,，则新得到的关系就具有对称性 7如果R1和R2是A上的自反关系，则R1R2，R1R2，R1-R2中自反关系有 2 个 8设A=1,2上的二元关系为R=|xA，yA,x+y=10，则R的自反闭包为 ,9设R是集合A上的等价关系，且 1,2,3 是A中的元素，则R中至少包含,等元素 10设集合A=1,2，B=a,b，那么集合A到B的双射函数是 ,或,二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由）1若集合A=1，2，3上的二元关系R=，则(1)R是自反的关系；(2)R是对称的关系 解：（1）错误。R 不具有自反的关系，因为不属于 R。（2）错误。R 不具有对称的关系
4、，因为不属于 R。姓 名：翟伟铮 学 号：得 分：教师签名：2如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1R2、R1R2是自反的”是否成立并说明理由 解：成立。因为R1和 R2是 A 上的自反关系，即 IAR1，IAR2。由逆关系定义和 IAR1，得 IA R1-1；由 IAR1，IAR2，得 IA R1R2，IA R1R2。所以，R1-1、R1R2、R1R2是自反的。3若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在 解：错误。集合 A 的最大元不存在，a 是极大元。4设集合A=1,2,3,4，B=2,4,6,8，判断下列关系f是否构成函数f：BA，并说明理由(1
5、)f=,；(2)f=,；(3)f=,解：（1）不构成函数。因为对于 3 属于 A，在 B 中没有元素与之对应。（2）不构成函数。因为对于 4 属于 A，在 B 中没有元素与之对应。（3）构成函数。因为 A 中任意一个元素都有 A 中唯一的元素相对应。三、计算题 1设4,2,5,2,1,4,1,5,4,3,2,1CBAE，求：(1)(AB)C；(2)(AB)-(BA)(3)P(A)P(C)；(4)AB 解：（1）(AB)C=15,3,15,3,1 （2）(AB)-(BA)=1，2,4,5-1=2,4,5（3）4,2,4,2,4,1,4,1,)()(CPAP4,1,1（4）AB=(AB)（AB）=
6、5,4,215,4,2,1 2设A=1,2,1,2，B=1,2,1,2，试计算（1）（AB）；（2）（AB）；（3）AB 解：（1）AB=1,2（2）AB=1,2（3）AB=，,3设A=1，2，3，4，5，R=|xA，yA且x+y4，S=|xA，yA且x+y0，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)解：R=,S=空集 RS=空集 SR=空集 R-1=,S-1=空集 r(S)=,a b c d 图一 g e f h s(R)=,4设A=1,2,3,4,5,6,7,8，R是A上的整除关系，B=2,4,6(1)写出关系R的表示式；(2)画出关系R的哈斯图；(3)求出集合B的最大元
7、、最小元 解(1)R=,(3)集合 B 没有最大元，最小元是 2 四、证明题 1试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)证明：设，若 xA(BC)，则 xA 或 xBC，即 xA 或 xB 且 xA 或 xC 即 xAB 且 xAC，即 xT=(AB)(AC)，所以 A(BC)(AB)(AC)反之，若 x(AB)(AC)，则 xAB 且 xAC，即 xA 或 xB 且 xA 或 xC，即 xA 或 xBC，即 xA(BC)，所以(AB)(AC)A(BC)因此A(BC)=(AB)(AC)2试证明集合等式A(BC)=(AB)(AC)证明：设 S=A(BC)，T=(AB)(AC)，若 xS，则
8、xA 且 xBC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC，也即 xAB 或 xAC，即 xT，所以 ST 反之，若 xT，则 xAB 或 xAC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC 也即 xA 且 xBC，即 xS，所以 TS 因此 T=S 3对任意三个集合A,B和C，试证明：若AB=AC，且A，则B=C 证明：（1）对于任意AB，其中 aA，bB,因为 AB=AC，必有AC,其中 b C 因此 BC（2）同理，对于任意AC,其中，aA，cC，因为 AB=AC 必有AB，其中 cB，因此 CB 由（1）（2）得 B=C 4试证明：若R与S是集合A上的自反关系，则RS也是集合A上的自反关系 证明：若 R 与 S 是集合 A 上的自反关系，则任意 xA,x,xR,x,xS,从而x,xRS,注意 x 是 A 的任意元素，所以 RS 也是集合 A 上的自反关系