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1、 线性代数期末试题 2 2010 线性代数期末试题及参考答案 一、判断题(正确填 T，错误填 F。每小题 2 分，共 10 分)1 A 是 n 阶方阵，R，则有AA。（）2 A，B 是同阶方阵，且0AB，则111)(ABAB。（）3 如果A与B等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。()4 若BA,均为n阶方阵，则当BA 时，BA,一定不相似。()5n 维向量组4321,线性相关，则321,也线性相关。（）二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1下列矩阵中，（）不是初等矩阵。（A）001010100 (B)100000010 (C)100020001(D)100012001 2设向量组
2、123,线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。（A）122331,（B）1231,（C）1212,23 （D）2323,2 3设 A 为 n 阶方阵，且250AAE。则1(2)AE（）(A)AE (B)EA (C)1()3AE (D)1()3AE 4设A为nm矩阵，则有（）。（A）若nm，则bAx 有无穷多解；（B）若nm，则0Ax有非零解，且基础解系含有mn 个线性无关解向量；（C）若A有n阶子式不为零，则bAx 有唯一解；（D）若A有n阶子式不为零，则0Ax仅有零解。5 若 n 阶矩阵 A，B 有共同的特征值，且各有 n 个线性无关的特征向量，则（）3 （A）A 与 B 相似 （B）A
3、B，但|A-B|=0 （C）A=B （D）A 与 B 不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题 4 分，共 20 分）101210nn 。2A为 3 阶矩阵，且满足A3,则1A=_，*3A 。3向量组1111 ，2025 ，3247 ，4120 是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。4 已知123,是四元方程组Axb的三个解，其中A的秩()R A=3，11234 ，234444 ，则方程组Axb的通解为 。5设23111503Aa，且秩(A)=2，则 a=。四、计算下列各题（每小题 9 分，共 45 分）。1已知 A+B=AB，且121342122A，求矩阵 B。2.设
4、(1,1,1,1),(1,1,1,1)，而TA，求nA。4 3.已知方程组1123211232123xxaxxxxxaxxa 有无穷多解，求 a 以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型 32312123222132184422),(xxxxxxxxxxxxf 5 A，B 为 4 阶方阵，AB+2B=0，矩阵 B 的秩为 2 且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵 A 的特征值；（2）A 是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五证明题（每题 5 分，共 10 分）。1若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，ABBA是否为对称矩阵？证明你的结论。2 设A为mn矩阵，且的秩
5、()R A为 n，判断TA A是否为正定阵？证明你的结论。5 线性代数试题解答 一、1（F）（AAn）2（T）3（F）。如反例：100010000A，000010001B。4（T）（相似矩阵行列式值相同）5（F）二、1选 B。初等矩阵一定是可逆的。6 2 选 B。A 中的三个向量之和为零，显然 A 线性相关；B 中的向量组与1，2，3等价,其秩为 3，B 向量组线性无关；C、D 中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D 中的向量组线性相关。3选 C。由052EAA2232()3AAEEAEAEE，112()3AEAE)。4选 D。A 错误，因为nm，不能保证()(|)R AR A b；B 错
6、误，0Ax的基础解系含有 ARn 个解向量；C 错误，因为有可能()(|)1R AnR A bn，bAx 无解；D 正确，因为()R An。5 选 A。A 正 确，因 为 它 们 可对 角化，存 在 可 逆矩 阵,P Q，使 得1112(,)nPAPdiagQBQ，因此,A B都相似于同一个对角矩阵。三、1 !11nn（按第一列展开）2 31；53（A3=233 A）3 相关（因为向量个数大于向量维数）。124,。因为3122，124|0A。4 TTk42024321。因为 3AR，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为1322，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即
7、得。56a（)02AAR 四、1解法一：ABBA1()AE BABAEA。将AE与A组成一个矩阵(|)AE A，用初等行变换求1(|()EAEA。|AE A=221121243233121120)(31rr 221121243233100001 7 21313,rr rr12112014323010000123rr121120222110100001 322rr1000010112220013253r100001011222001325 23rr523100301010100001。故 523301100B。解法二：ABBA1()AE BABAEA。1021101()332113121326A
8、E，因此1001()103325BAEA。2解：1111111111111111TA，AA42，11()()()()()()44nnnTTTTTTTTAA 。3解法一：由方程组有无穷多解，得()(|)3R AR A b，因此其系数行列式11|112011aAa。即1a或4a。当1a时，该方程组的增广矩阵 1111(|)11211111A b11012301020000 8 于是()(|)23R AR A b，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系13122T，原方程组的一个特解100T，故1a时，方程组有无穷多解，其通解为13100122TTk，当4a时 增 广 矩 阵1141(|)
9、112114116A b1141022000015，()2(|)3R AR A b，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。222111111111(|)112102200220110111100(1)(4)12aaaA baaaaaaaaaa由于该方程组有无穷多解，得()(|)3R AR A b。因此21(1)(4)102aaa，即1a 。求通解的方法与解法一相同。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵 122224242A，2122|224(2)(7)242AE 因此得到其特征值为122，37。再求特征值的特征向量。解方程组(2)0AE x，得对应于
10、特征值为122的两个线性无关的特征向量1210T，2201T。解 方 程 组(7)0AE x得 对 应 于 特 征 值 为37 的 一 个 特 征 向 量 9 3122T。再 将1210T，2201T正 交 化 为1210Tp ，224155Tp。最后将1210Tp ，224155Tp，3122T单位化后组成的 矩 阵 即 为 所 求 的 正 交 变 换 矩 阵3235032155455311552552，其 标 准 形 为232221722yyyf。5 解：（1）由02AEAE知-1，2为A的 特 征 值。02 BAB02BEA，故-2 为A的特征值，又B的秩为 2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2 各有一个特征向量，对应于特征值-2 有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。（3）EA3的特征值为 2，5，1，1。故EA3=10。五、1BAAB 为对称矩阵。证明：TTTBAABBAAB=TTTTBAAB=BABA=BAAB，所以BAAB 为对称矩阵。2AAT为正定矩阵。证明：由AAAATTT知AAT为对称矩阵。对任意的n维向量0，由 nAR得0A，AATT=2A0，由定义知AAT是正定矩阵。10