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1、对数与对数函数1你现在浏览的是第一页，共32页第二单元函 数你现在浏览的是第二页，共32页第第11讲讲对数与对数函数对数与对数函数你现在浏览的是第三页，共32页 理理解解对对数数的的概概念念及及其其运运算算性性质质；了了解解对对数数换换底底公公式式，能能将将一一般般对对数数转转化化成成自自然然对对数数或或常常用用对对数数；了了解解对对数数的的概概念念；理理解解对对数数函函数数的的性性质质，会会画画指指数数函函数数的的图图象象；了了解解指指数数函函数与对数函数互为反函数数与对数函数互为反函数.你现在浏览的是第四页，共32页1.log2sin +log2cos 的值为的值为()DA.-4 B.4
2、C.2 D.-22.函数函数f(x)=logax(a0,a1),若若f(x1)-f(x2)=1,则则f(x12)-f(x22)等于等于()AA.2 B.1 C.12 D.loga2由由f(x)=logax知知f(x12)-f(x22)=2f(x1)-f(x2)=2.你现在浏览的是第五页，共32页3.函数函数y=log (x2-2x)的定义域是的定义域是 ,单调递减区间单调递减区间是是 .(2,+)(-,0)(2,+)4.函数函数f(x)=ax+loga(x+1)在在0,1上的最大值上的最大值和最小值之和为和最小值之和为a,则则a的值是的值是 .由已知得由已知得,a0+loga1+a1+loga
3、2=aloga2=-1 a=.你现在浏览的是第六页，共32页5.已知已知f(x)=|log3x|，则下列不等式成立，则下列不等式成立的是的是()CA.f()f(2)B.f()f(3)C.f()f()D.f(2)f(3)作作函函数数f(x)=|log3x|的的图图象象，可可知知f(x)在在（0，1）上上单单调递减，选调递减，选C.你现在浏览的是第七页，共32页1.对数对数(1)一一般般的的，如如果果ax=N(a0且且a)，那那么么数数x叫叫做做 ，记记作作 ,其中其中a叫做对数的叫做对数的 ,N叫做叫做 .(2)以以10为为底底的的对对数数叫叫做做 ,记记作作 .(3)以以e为为底底的的对对数数
4、叫叫做做 ,记记作作 .以以a为底为底N的对数的对数x=logaN底数底数真数真数常用对数常用对数lgN自然对数自然对数lnN你现在浏览的是第八页，共32页(4)负负数数和和零零没没有有对对数数;loga1=,logaa=.2.对数的运算性质对数的运算性质(1)如果如果a0且且a,M0,N0,那么那么loga(MN)=;loga =;logaMn=.01111112121313logaM+logaNlogaM-logaNnlogaM你现在浏览的是第九页，共32页logab=(a0且且a,c0且且c,b0);alogaN=N(a0且且a)；loganbm=logab(a0且且a,m、nN*).3
5、.对数函数对数函数一般的一般的,我们把函数我们把函数 (a0且且a)叫做对数叫做对数函数函数,其中其中x是自变量，函数的定义域为是自变量，函数的定义域为 .1414y=logax(0,+)1515(2)对数的换底公式及恒等式对数的换底公式及恒等式你现在浏览的是第十页，共32页4.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质a10a0值域y|yR你现在浏览的是第十一页，共32页性质当x=1时，y=0,即过定点(1,0)当x1时,;当0 x1时,;当0 x020202121增函数增函数减函数减函数y0y0你现在浏览的是第十二页，共32页5.反函数反函数 指指数数函函数数y=ax(a0且且a)与与对对数
6、数函函数数y=logax(a0且且a)互互为为 ,它它们们的的图图象象关关于于直直线线 对对称称，指指数数函函数数y=ax(a0且且a)的的定定义义域域为为x|xR，值值域域为为y|y0,对对数数函函数数y=logax(a0且且a)的定义域为的定义域为x|x0，值域为，值域为y|yR.反函数反函数22222323y=x你现在浏览的是第十三页，共32页题型一题型一 指数、对数函数的运算问题指数、对数函数的运算问题例例1 指数、对数函数的运算问题指数、对数函数的运算问题 ()x (x4)f(x+1)(x4),则则f(log23)=;(2)设设3a=4b=36,则则 +=.(1)设函数设函数f(x)
7、=1你现在浏览的是第十四页，共32页 （1）因为因为log230)，若若函函数数f(x)在在10,+)上上单单调调递增，求递增，求k的取值范围的取值范围.题型二题型二 对数函数的性质问题对数函数的性质问题例例2 这这是是一一道道含含参参数数的的对对数数结结构构的的复复合合函函数数问问题题，根根据据函函数数f(x)的的增增减减性性，分分析析出出真真数数的的范范围围，转转化化为为对对数数函函数数的的大大小小比比较较问问题题.你现在浏览的是第十六页，共32页 因为函数因为函数f(x)在在10,+)上单调递增上单调递增,所以所以 0，即，即k .又又f(x)=lg =lg(k+),对任意的对任意的x1
8、、x2,当当10 x1x2时时,有有f(x1)f(x2),即即lg(k+)lg(k+),得得 ,即即(k-1)(-),所以所以k0且且a)在在区区间间(-,0)内内单单调调递递增增，则则a的的取取值范围是值范围是.令令u=x3-ax,u=3x2-a.当当a1时时,f(x)在在(-,0)内单调递增内单调递增,必须必须u0,即即3x2-a0在在(-,0)内恒成立，内恒成立，即即a3x2恒成立，而恒成立，而03x21矛盾矛盾.你现在浏览的是第十八页，共32页当当0a1时时,必须必须u0,即即3x2-a3x2,x(-,0)内恒成立内恒成立,从而从而a ,且且(-)3-a(-)0,得得a ,综上，综上，
9、a的取值范围为的取值范围为a|a()x+m恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围.你现在浏览的是第二十页，共32页 (1)因为因为f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以f(-x)=-f(x)log =-log =01-a2x2=1-x2 a1.经检验，经检验，a=-1（a=1舍去）舍去）.（2）（证法一）定义法（证法一）定义法.任取任取x1x21，所以，所以x1-1x2-10，所以所以0 log ,即即f(x1)f(x2)，所以，所以f(x)在（在（1，+)上单调递增上单调递增.你现在浏览的是第二十一页，共32页（证法二）导数法（证法二）导数法.f(x)=()log e()=log
10、e =-log e .因为因为-log e0，又，又x1，所以，所以 0，所以所以f(x)0，即，即f(x)在在(1,+)上单调递增上单调递增.你现在浏览的是第二十二页，共32页（3）对于对于3,4上的每一个上的每一个x的值，不等式的值，不等式f(x)()x+m恒成立恒成立 f(x)-()xm恒成立恒成立.令令g(x)=f(x)-()x，由（由（2）知，）知，g(x)在在3,4上是单调递增函数，上是单调递增函数，所以所以m0且且a,b0).(1)求函数求函数f(x)的定义域；的定义域；(2)讨论函数讨论函数f(x)的奇偶性的奇偶性;(3)讨论函数讨论函数f(x)的单调性的单调性.由由真真数数大
11、大于于0，求求定定义义域域，按按奇奇偶偶性性的的定定义义判判断断其其奇奇偶偶性性，单单调调性性可可按按复合函数的单调性的规律判断复合函数的单调性的规律判断.你现在浏览的是第二十四页，共32页 (1)令令 0,解得函数解得函数f(x)的定义域为的定义域为(-,-b)(b,+).(2)函数函数f(x)的定义域关于原点对称，的定义域关于原点对称，f(-x)=loga =loga =-f(x),故函数故函数f(x)是奇函数是奇函数.(3)令令u(x)=1+,则则u(x)在在(-,-b)和和(b,+)上是减函数，上是减函数，所以当所以当0a1时时,函数函数f(x)在在(-,-b)和和(b,+)上是减函数
12、上是减函数.你现在浏览的是第二十五页，共32页1.比比较较两两个个对对数数的的大大小小的的基基本本方方法法是是构构造造相相应应的的对对数数函函数数，若若底底数数不不相相同同时时，可可运运用用换换底底公公式式化化为为同同底底数数的的对对数数，还还要要注注意意与与0比比较较或或与与比较比较.2.把把原原函函数数作作变变量量代代换换化化归归为为二二次次函函数数，然然后后用用配配方方法法求求指指定定区区间间上上的的最最值值是是指指数数函函数数与与对对数数函数的常见题型函数的常见题型.你现在浏览的是第二十六页，共32页3.解解含含对对数数的的函函数数问问题题时时要要首首先先考考虑虑定定义义域域，去去掉掉
13、对对数数符符号号要要注注意意其其限限制制条条件件，注注意意在在等等价价转转化化的的原原则则下下化化简简、求求解解，对含参数问题注意分类讨论对含参数问题注意分类讨论.你现在浏览的是第二十七页，共32页学例1 (2009全国卷全国卷)设设a=log3,b=log2 ,c=log3 ，则，则()AA.abc B.acb C.bac D.bca因为因为a=log3log33=1，b=log2 =log23 log22=，c=log3 =log32bc，故选，故选A.你现在浏览的是第二十八页，共32页学例2 (2009陕西卷陕西卷)已知函数已知函数f(x)=ln(ax+1)+，x0，其中，其中a0.（1
14、）若若f(x)在在x=1处取得极值，求处取得极值，求a的值；的值；（2）求求f(x)的单调区间；的单调区间；（3）若若f(x)的最小值为的最小值为1，求，求a的取值范围的取值范围.（1）f(x)=.因为因为f(x)在在x=1处取得极值处取得极值,所以所以f(1)=0,即即a12+a-2=0，解得，解得a=1.你现在浏览的是第二十九页，共32页（2）f(x)=.因为因为x0，a0，所以，所以ax+10.当当a2时，在区间时，在区间(0,+)上，上，f(x)0，所以所以f(x)的单调增区间为的单调增区间为(0,+).当当0a0，解得，解得x ，由由f(x)0，解得，解得x ,所所以以f(x)的的单单调调减减区区间间为为(0,)，单单调调增增区区间间为为（,+).你现在浏览的是第三十页，共32页（3）当当a2时时，由由(2)知知，f(x)的的最最小小值值为为f(0)=1;当当0a2时时，由由（2）知知,f(x)在在x=处处取取得最小值得最小值f()f(0)=1.综上可知，若综上可知，若f(x)的最小值为的最小值为1，则则a的取值范围是的取值范围是2,+).你现在浏览的是第三十一页，共32页本节完，谢谢聆听你现在浏览的是第三十二页，共32页