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1、控制系统的时域分析法你现在浏览的是第一页，共112页对于线性系统，常用的分析方法有三种：时域分析方法；根轨迹法；频率特性法。引言引言 时域分析方法，是一种直接分析方法，具有直观准确的优点，尤其适用于低阶系统。你现在浏览的是第二页，共112页 时域分析时域分析：是根据微分方程，利用拉氏变换直接求是根据微分方程，利用拉氏变换直接求出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统出系统的时间响应，然后按照响应曲线来分析系统的性能。的性能。Input(Typical)Control System (Differential Equation)Laplace Transform Output Respons
2、eStabilityTheoremAccuracyEssTransient ResponseSpecification你现在浏览的是第三页，共112页3-1 3-1 典型的输入信号典型的输入信号系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的输出由系统的数学模型、系统的初始系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；状态和系统的输入信号形式决定；典型的输入信号有：阶跃信号，斜坡信号，典型的输入信号有：阶跃信号，斜坡信号，加速度信号，脉冲信号，正弦信号；加速度信号，脉冲信号，正弦信号；典型输入信号的特点：数学表达简单，便于典型输入信号的特
3、点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。分析和处理，易于实验室获得。你现在浏览的是第四页，共112页一、阶跃信号一、阶跃信号A A为常量，为常量，A=1A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。的阶跃函数称为单位阶跃函数。表达式：表达式：拉氏变换：拉氏变换：你现在浏览的是第五页，共112页二、斜坡函数二、斜坡函数拉氏变换拉氏变换：A A为常量，为常量，A=1A=1的阶跃函数称为单位斜坡函数。的阶跃函数称为单位斜坡函数。表达式：表达式：你现在浏览的是第六页，共112页A A为常量，为常量，A=1A=1的阶跃函数称为单位等加速的阶跃函数称为单位等加速度函数。度函数。三、等加速度信号三、等加速度信
4、号表达式：表达式：拉氏变换：拉氏变换：你现在浏览的是第七页，共112页 为常量，为常量，=0 =0的阶跃函的阶跃函数称为单位脉冲函数，记为数称为单位脉冲函数，记为 。四、脉冲信号四、脉冲信号表达式：表达式：理想脉冲：理想脉冲：拉氏变换：拉氏变换：你现在浏览的是第八页，共112页五、正弦信号五、正弦信号表达式：表达式：分析一个实际系统时采用哪种信号，要分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。根据系统的实际输入信号而定。正弦信号主要用来求取频率响应。正弦信号主要用来求取频率响应。你现在浏览的是第九页，共112页3-2 3-2 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标对于线
5、性定常系统，输入为：对于线性定常系统，输入为：输出为：输出为：用微分方程描述如下：用微分方程描述如下：你现在浏览的是第十页，共112页由微分方程可以得到传递函数：由微分方程可以得到传递函数：你现在浏览的是第十一页，共112页 为为 的极点。的极点。为为 的极点。的极点。系统的输出：系统的输出：时间响应：时间响应：动态过程动态过程从初始态到接近稳态的响应。从初始态到接近稳态的响应。稳态过程稳态过程t t趋于无穷大时的输出状态。趋于无穷大时的输出状态。你现在浏览的是第十二页，共112页如果如果 和和 是互异的，是互异的，那么系统的零那么系统的零状态响应为：状态响应为：其中第一项为系统零状态响应的暂
6、态分其中第一项为系统零状态响应的暂态分量，第二项为系统零状态响应的稳态分量，第二项为系统零状态响应的稳态分量。系统的时域性能指标可以从零状态量。系统的时域性能指标可以从零状态响应中求取。响应中求取。你现在浏览的是第十三页，共112页超调超调误差带误差带稳态误差稳态误差EssTdTrTpTs0tH(t)10.90.50.1上升时间上升时间峰值时间峰值时间调整时间调整时间阶跃响应输出阶跃响应输出单位阶跃响应性能指标：单位阶跃响应性能指标：你现在浏览的是第十四页，共112页1 1 延迟时间延迟时间TdTd：指指h(t)h(t)上升到稳态的上升到稳态的50%50%所所 需的时间。需的时间。2 2 上升
7、时间上升时间TrTr：指指h(t)h(t)第一次上升到稳态值第一次上升到稳态值 的所需的时间。的所需的时间。3 3 峰值时间峰值时间TpTp：h(t)h(t)第一次达到峰值所需的第一次达到峰值所需的 时间。时间。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。4 4 超调量超调量 ：h(t)h(t)的最大值与稳态值之差与的最大值与稳态值之差与 稳态值之比：稳态值之比：你现在浏览的是第十五页，共112页5 5 调节时间调节时间TsTs：指指h(t)h(t)和和h(h()之间的偏差之间的偏差 达到允许范围（达到允许范围（2%-5%2%-5%）时的暂态过程时）时的暂态过程时
8、间。它反映了系统的快速性。间。它反映了系统的快速性。6 6 振荡次数振荡次数N N：调节时间内，输出偏离稳态调节时间内，输出偏离稳态 的次数。的次数。7 7 稳态误差稳态误差essess：单位反馈时，实际值（稳单位反馈时，实际值（稳 态）与期望值（态）与期望值（1 1（t t）之差。它反映）之差。它反映 系统的精度。系统的精度。你现在浏览的是第十六页，共112页3.3 3.3 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统传递函数：一阶系统传递函数：典型系统：典型系统：电炉、液位电炉、液位-R(s)Y(s)一阶系统框图：一阶系统框图：你现在浏览的是第十七页，共112页一、单位阶跃响应：一、单位阶
9、跃响应：在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。间变化曲线为一条指数曲线。你现在浏览的是第十八页，共112页响应曲线具有非振荡特征：响应曲线具有非振荡特征：t=T,y(t)=0.632;t=2T,y(t)=0.865;t=3T,y(t)=0.95;t=4T,y(t)=0.982;你现在浏览的是第十九页，共112页 一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值度等速上升至稳态值1 1所需的时间应恰好为所需的时间应恰好为T T。TeTdttdytTt11)(0=-你现在浏览的是第二十页，共112
10、页 一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其一阶系统的阶跃响应没有超调量，故其时域性能指标主要以时域性能指标主要以TsTs来衡量，来衡量，TsTs的长短反的长短反映了系统过程的快慢。映了系统过程的快慢。由以上可知：由以上可知：t=3T t=3T（对（对5%5%的误差）的误差）t=4T t=4T（对（对2%2%的误差）的误差）因此，因此，T T越小，系统过渡过程时间就越越小，系统过渡过程时间就越短。短。你现在浏览的是第二十一页，共112页二、一阶系统的单位斜坡响应二、一阶系统的单位斜坡响应误差输出响应你现在浏览的是第二十二页，共112页 稳态误差趋于T，T越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。
11、初始速度：稳态误差：你现在浏览的是第二十三页，共112页 单位斜坡响应单位斜坡响应你现在浏览的是第二十四页，共112页一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上迟后时间常数上迟后时间常数T T的斜坡函数。的斜坡函数。该曲线的特点是：在该曲线的特点是：在t=0t=0处曲线的斜率等处曲线的斜率等于零；于零；稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差存在偏差T T。你现在浏览的是第二十五页，共112页三、一阶系统的单位脉冲响应三、一阶系统的单位脉冲响应输入：输入：输出：输
12、出：你现在浏览的是第二十六页，共112页由上面分析可知，一阶系统仅有一个由上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量特征参量T T时间常数，调整时间为时间常数，调整时间为（3-4T3-4T）当当t=0t=0时单位阶跃响应的变化率和单位时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为脉冲响应的初始值均为1/T1/T，单位斜坡，单位斜坡响应的稳态误差为响应的稳态误差为T T。T T越小，系统的动、静态性能越好。越小，系统的动、静态性能越好。你现在浏览的是第二十七页，共112页一个输入信号导数的时域响应等于该信一个输入信号导数的时域响应等于该信号时域响应的导数；号时域响应的导数；一个输入信号积分的时域响
13、应等于该信一个输入信号积分的时域响应等于该信号时域响应的积分；号时域响应的积分；线线性性定定常常系系统统你现在浏览的是第二十八页，共112页3.4 3.4 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应用二阶微分方程描述的系统称为二阶系用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。统。二阶系统不仅在工程中比较常见，而且二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义。意义。你现在浏览的是第二十九页，共112页典型二阶系统的结构图典型二阶系统的结构图 二阶系统的传递函数二阶系统的传递函数：
14、特征方程：特征方程：系统框图：系统框图：你现在浏览的是第三十页，共112页二阶系统的特征根：你现在浏览的是第三十一页，共112页当 时,系统为过阻尼状态：系统的极点为：系统的闭环传函为：时域响应：你现在浏览的是第三十二页，共112页 单位阶跃响应单位阶跃响应（11）你现在浏览的是第三十三页，共112页当=1时，系统为临界阻尼状态：单位阶跃响应 闭环系统的极点为 闭环传递函数为 临界阻尼时的单位阶跃响应为 你现在浏览的是第三十四页，共112页当 时，系统为欠阻尼状态：输出响应拉氏变换：你现在浏览的是第三十五页，共112页系统的时域响应：你现在浏览的是第三十六页，共112页 单位阶跃响应（00 1
15、 1）y(t)你现在浏览的是第三十七页，共112页系统响应的暂态分量为振幅随时间按系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率（也称为阻尼振荡频率）为荡频率（也称为阻尼振荡频率）为 ：你现在浏览的是第三十八页，共112页1、二阶系统响应特点1 1、=0 =0时，等幅振荡；时，等幅振荡；3 3、=1 =1时，响应处于单调上升变化状态；时，响应处于单调上升变化状态；5 5、-1 0-1 0时，振荡发散，系统不稳定；时，振荡发散，系统不稳定；6 6、-1 1 4 1 时，时，越大，曲线单调上升过程越缓慢；越大，曲线单调上升过程越缓慢；2 2、
16、0 10 1时，时，越小，振荡越严重，超调越大（最越小，振荡越严重，超调越大（最 大超调量大超调量100%100%），衰减越慢；），衰减越慢；你现在浏览的是第三十九页，共112页由曲线进一步知道：由曲线进一步知道：1 1、阻尼比、阻尼比 越大，超调量越小，响应越平稳。越大，超调量越小，响应越平稳。反之，反之，越小，超调量越大，振荡越强。越小，超调量越大，振荡越强。2 2、当取、当取 =0.707 =0.707左右时，左右时，TsTs和和%都相对较小，都相对较小，故一般称故一般称 =0.707 =0.707为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。3 3、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。、二阶系统的单位
17、阶跃响应不存在稳态误差。在一定在一定 下欠阻尼系统比临界阻尼系统更下欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。你现在浏览的是第四十页，共112页闭环极点坐标与阻尼比的关系你现在浏览的是第四十一页，共112页二阶系统响应特点阻尼比与极点分布和系统性能的关系(脉冲响应曲线变化情况)你现在浏览的是第四十二页，共112页2、二阶系统响应性能指标(1)上升时间 Trdnn你现在浏览的是第四十三页，共112页(2)峰值时间 Tp你现在浏览的是第四十四页，共112页(3
18、)超调量%的大小完全决定于，越小，%越大。你现在浏览的是第四十五页，共112页(4)调节时间Ts当y=0.05(或0.02)时，对应的调整时间为Ts你现在浏览的是第四十六页，共112页由于正弦函数的存在，和 的关系为不连续的，为简单起见，可以近似计算如下：你现在浏览的是第四十七页，共112页由此可见：越大，就越小，当 为一定时，则 与 成反比，这与 的关系正好相反。你现在浏览的是第四十八页，共112页3、二阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡信号时你现在浏览的是第四十九页，共112页4 4、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应、欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应稳态分量：稳态分量：瞬态分量：瞬态分量：你
19、现在浏览的是第五十页，共112页动态误差动态误差：对误差响应求导，并令其为对误差响应求导，并令其为0 0，得到，得到误差峰值时间误差峰值时间：误差峰值：误差峰值：稳态误差：稳态误差：你现在浏览的是第五十一页，共112页误差最大偏离量误差最大偏离量可以表示为：可以表示为：误差的调节时间误差的调节时间误差进入稳态值误差进入稳态值5%5%误差带误差带所需时间：所需时间：你现在浏览的是第五十二页，共112页5、采用比例微分控制改善二阶系统响应特性你现在浏览的是第五十三页，共112页特征方程中，一次项系数为特征方程中，一次项系数为 引入了比例引入了比例-微分控制，增大了系统的等效阻尼比，微分控制，增大了
20、系统的等效阻尼比，自然振荡角频率不变，系统的超调减小。自然振荡角频率不变，系统的超调减小。同时增加了一个零点你现在浏览的是第五十四页，共112页引入比例引入比例-微分控制后，系统的特征根将发生变化微分控制后，系统的特征根将发生变化，系统的阻尼增加系统的阻尼增加了，系统的稳定性得到了改善。了，系统的稳定性得到了改善。引入比例引入比例-微分控制后，系统附加了一个零点，该零点会消弱附加阻微分控制后，系统附加了一个零点，该零点会消弱附加阻尼的影响，同时在一定程度上可改善系统的响应速度。尼的影响，同时在一定程度上可改善系统的响应速度。你现在浏览的是第五十五页，共112页例：例：单位负反馈系统的开环传递函
21、数为单位负反馈系统的开环传递函数为求（求（1 1）单位阶跃输入响应。）单位阶跃输入响应。（2 2）性能指标）性能指标 。解：解：系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 系统的输出为：系统的输出为：你现在浏览的是第五十六页，共112页系统的输出时域响应为 对输出响应求导，并令导数为0得：根据峰值时间很容易得到：你现在浏览的是第五十七页，共112页6、采用输出微分反馈改善二阶系统响应特性系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其等效阻尼为其等效阻尼为 你现在浏览的是第五十八页，共112页系统的等效阻尼比增大，抑制了输出量的超调和振荡，改系统的等效阻尼比增大，抑制了输出量的超调和振荡，改善了系统
22、的平稳性善了系统的平稳性 。系统的误差传递函数系统的误差传递函数单位斜坡输入作用下单位斜坡输入作用下由终值定理由终值定理速度反馈会降低系统斜坡输入下的稳态精度。速度反馈会降低系统斜坡输入下的稳态精度。你现在浏览的是第五十九页，共112页对于图示系统，对于图示系统，（1 1）求当）求当a=0a=0，阻尼比、自然振荡角频率和单位斜坡输入的，阻尼比、自然振荡角频率和单位斜坡输入的稳态误差。稳态误差。（2 2）当）当 时，确定系统的时，确定系统的a a和单位斜坡输入的稳和单位斜坡输入的稳态误差。态误差。若若你现在浏览的是第六十页，共112页若你现在浏览的是第六十一页，共112页7、比例微分控制与输出微
23、分反馈的比较1、增加阻尼的来源不同：两者都增大了系 统阻尼，但来源不同；2、对于噪声和元件的敏感程度不同；3、对开环增益和自然振荡角频率的影响不 同；4、对动态响应的影响不同。你现在浏览的是第六十二页，共112页（1）增加阻尼的来源比例微分的阻尼来自误差信号的速度；输出微分反馈的阻尼来自输出响应的速度；因此对于给定的开环增益和指令速度，输出微分的稳态误差更大；你现在浏览的是第六十三页，共112页（2）对于噪声和元件的敏感程度比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，比例微分控制对于噪声具有明显的放大作用，输入噪声大，不宜使用；输入噪声大，不宜使用；输出微分反馈对输入的噪声具有滤波作输出微分反馈对
24、输入的噪声具有滤波作用用第第5 5章，对噪声不敏感；章，对噪声不敏感；比例微分控制加在误差后，能量一般较小，比例微分控制加在误差后，能量一般较小，需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力强；需要放大器放大倍数较大，抗噪声能力强；输出微分反馈输入能量一般很高，对元输出微分反馈输入能量一般很高，对元件没有特殊要求，适用范围更广；件没有特殊要求，适用范围更广；你现在浏览的是第六十四页，共112页（3）开环增益和自然振荡角频率的影响比例微分控制对于开环增益和自然振荡角比例微分控制对于开环增益和自然振荡角频率都没有影响；频率都没有影响；输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开输出微分反馈影响自然振荡角频率，但开环
25、增益会明显减小环增益会明显减小本章最后一节；本章最后一节；使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致使用输出微分反馈要求开环增益较大，导致自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声自然振荡角频率随之增大，容易和高频噪声产生共振；产生共振；你现在浏览的是第六十五页，共112页（4）对动态性能的影响比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加比例微分控制在闭环系统中引入了零点，加快了系统的响应速度快了系统的响应速度第第4 4章；章；相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起相同阻尼比的情况下，比例微分控制引起的超调大于输出微分反馈系统的超调。的超调大于输出微分反馈系统的超调。你现在浏览的是第六十六页，共112页3-5
26、 高阶系统的响应前面研究了两种低阶系统；前面研究了两种低阶系统；用高阶微分方程描述的系统为高阶系统；用高阶微分方程描述的系统为高阶系统；工程实际中的系统决大多数为高阶系统；工程实际中的系统决大多数为高阶系统；高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶高阶系统的解析解比较复杂，有时高阶系统可以用低阶系统的响应来近似系统可以用低阶系统的响应来近似主导极点主导极点第第4 4章。章。你现在浏览的是第六十七页，共112页1、高阶系统的一般形式闭环传函你现在浏览的是第六十八页，共112页2 2、高阶系统的单位阶跃响应、高阶系统的单位阶跃响应 为实数极点的个数，为实数极点的个数，为共轭复数极点的个数，为共轭复数极点
27、的个数，。设上述极点互异并都位于平面的左半平面，则。设上述极点互异并都位于平面的左半平面，则经过整理后经过整理后你现在浏览的是第六十九页，共112页 经拉氏反变换经拉氏反变换由上式分析可知：由上式分析可知：（1）高阶系统的时间响应是由若干个一阶系统和二阶高阶系统的时间响应是由若干个一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成的。系统的时间响应函数项组成的。（2）系统的暂态响应类型取决于闭环极点是实数还是复数。）系统的暂态响应类型取决于闭环极点是实数还是复数。你现在浏览的是第七十页，共112页（3 3）系统的稳定性是由闭环极点在）系统的稳定性是由闭环极点在S S平面的位置所决定。平面的位置所决定。如果
28、系统的所有闭环极点在如果系统的所有闭环极点在S S平面的左半平面，则系统的平面的左半平面，则系统的暂态响应是收敛的，控制系统就是稳定的。只要有一个暂态响应是收敛的，控制系统就是稳定的。只要有一个闭环极点在闭环极点在S S的右半平面，系统的暂态响应就是发散的，的右半平面，系统的暂态响应就是发散的，控制系统就是不稳定的。控制系统就是不稳定的。（4 4）稳定控制系统的暂态响应形状不仅取决于左极点离）稳定控制系统的暂态响应形状不仅取决于左极点离虚轴的距离，还取决于闭环零点、极点在虚轴的距离，还取决于闭环零点、极点在S S平面的具体平面的具体分布。分布。（5 5）稳定的控制系统，则离）稳定的控制系统，则
29、离S S平面的虚轴最近的闭环极点对系统平面的虚轴最近的闭环极点对系统的暂态响应特性起了主导的作用，这样的极点为闭环主导极点。的暂态响应特性起了主导的作用，这样的极点为闭环主导极点。主导极点有可能是一对共轭复数极点，也可能是一个实数极点。主导极点有可能是一对共轭复数极点，也可能是一个实数极点。你现在浏览的是第七十一页，共112页3 3、高阶系统举例、高阶系统举例例：例：设三阶系统的闭环传递函数为设三阶系统的闭环传递函数为 试确定其单位阶跃响应。试确定其单位阶跃响应。解：解：输出信号的拉氏变换：输出信号的拉氏变换：经拉氏反变换：经拉氏反变换：你现在浏览的是第七十二页，共112页4 4、高阶系统的近
30、似分析、高阶系统的近似分析 如果控制系统的闭环主导极点离虚轴如果控制系统的闭环主导极点离虚轴的距离小于等于其他闭环极点离虚轴距离的距离小于等于其他闭环极点离虚轴距离的五分之一，而且主导极点的附近没有其的五分之一，而且主导极点的附近没有其他的闭环零点。则该系统可以降阶近似成他的闭环零点。则该系统可以降阶近似成一阶或者二阶控制系统。这就是高阶系统一阶或者二阶控制系统。这就是高阶系统的近似分析方法。的近似分析方法。根轨迹分析法将详细说明为什么高阶根轨迹分析法将详细说明为什么高阶系统可以近似来分析。系统可以近似来分析。你现在浏览的是第七十三页，共112页3-6 3-6 稳定性和劳斯判据稳定性和劳斯判据
31、稳定性的基本概念稳定性的基本概念劳斯判据劳斯判据两种特殊情况两种特殊情况稳定裕度的检验稳定裕度的检验参数对系统稳定性的影响参数对系统稳定性的影响你现在浏览的是第七十四页，共112页一、稳定性的基本概念一、稳定性的基本概念(a)(b)ABA图图(a)(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A A，当，当小球受到外力作用后偏离小球受到外力作用后偏离A,A,例如到例如到B,B,当外力去除后，小当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图种小球位置是稳定的；反之，
32、如图 (b)(b)就是不稳定的。就是不稳定的。你现在浏览的是第七十五页，共112页稳定性的定义稳定性的定义 任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态任何系统在扰动的作用下都会偏离原平衡状态产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，产生初始偏差。所谓稳定性就是指当扰动消除后，由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复由初始状态回复原平衡状态的性能；若系统可恢复平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。平衡状态，则称系统是稳定的，否则是不稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外它只取决于系统的结构、参
33、数，而与初始条件及外作用无关。作用无关。你现在浏览的是第七十六页，共112页稳定性分析有以下几种方法：稳定性分析有以下几种方法：特征方程法特征方程法特征值判据法特征值判据法代数判据法代数判据法根轨迹法根轨迹法频率稳定判据法频率稳定判据法你现在浏览的是第七十七页，共112页稳定性的数学描述稳定性的数学描述设线性定常系统微分方程为：设线性定常系统微分方程为：稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与系统稳定性是研究扰动去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响应函数来的输入信号无关，因而可以用系统的脉冲响应函数来描述，如果脉冲响应函数是收敛的，则系统稳定。反描述，如果脉冲
34、响应函数是收敛的，则系统稳定。反之，系统不稳定。之，系统不稳定。你现在浏览的是第七十八页，共112页则脉冲响应为：则脉冲响应为：式中：式中：为待定常数。为待定常数。设系统传递函数有设系统传递函数有 个实根个实根 对共轭复根对共轭复根如果如果 则系统稳定。反之，系统不稳定则系统稳定。反之，系统不稳定；你现在浏览的是第七十九页，共112页下面分析上式：下面分析上式：（1 1）若）若 系统最终能够恢复平衡状系统最终能够恢复平衡状 态，由于有复数根存在，系统输出呈振荡曲态，由于有复数根存在，系统输出呈振荡曲 线衰减。线衰减。（2 2）若）若 系统输出按指数曲系统输出按指数曲 线衰减。线衰减。（3 3）
35、若）若 有任一个大于零，有任一个大于零，时系统时系统 输出输出 系统不稳定。系统不稳定。（4 4）只要）只要 中有一个为零，中有一个为零，系统不能系统不能 恢复原来平衡状态或为等幅振荡。这时仍认恢复原来平衡状态或为等幅振荡。这时仍认 为系统是不稳定的。为系统是不稳定的。你现在浏览的是第八十页，共112页二、劳斯判据二、劳斯判据由上面分析可以看出，上面的方法必须求出闭由上面分析可以看出，上面的方法必须求出闭环传函的环传函的所有极点所有极点。这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三阶以上这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。系统，求解极点一般来说是比较困难的
36、。因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。判断。18771877年，英国学者劳斯（年，英国学者劳斯（ROUTHROUTH）提出了利用特）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。负实部的条件，以此判断系统是否稳定。你现在浏览的是第八十一页，共112页线性系统稳定的充分必要条件：线性系统稳定的充分必要条件：系统的闭环特征方程式的全部根（闭环系统的闭环特征方程式的全部根（闭环极点）都是负实数或具有负实部的公轭极点）都是负实数或具有负实部的公轭复数。复数。由
37、于特征方程的根是由于特征方程的根是s s平面上一点，所以平面上一点，所以系统稳定的充分必要条件是系统的所有系统稳定的充分必要条件是系统的所有闭环极点均在闭环极点均在s s的左半平面。的左半平面。你现在浏览的是第八十二页，共112页闭环控制系统特征方程为：闭环控制系统特征方程为：因为所有根都在因为所有根都在S S平面的左半平面，即平面的左半平面，即上式中所有系数均为实数，并设上式中所有系数均为实数，并设设系统传递函数有设系统传递函数有 个实根个实根 对共轭复根对共轭复根闭环控制系统稳定的必要条件闭环控制系统稳定的必要条件闭环控制系统稳定的必要条件闭环控制系统稳定的必要条件:特征方程的所有系特征方
38、程的所有系数都大于零。数都大于零。你现在浏览的是第八十三页，共112页劳斯判据劳斯判据1 1、列出系统闭环特征方程：、列出系统闭环特征方程：上式中所有系数均为实数，并设上式中所有系数均为实数，并设2 2、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：、按系统闭环特征方程列写劳斯行列表：你现在浏览的是第八十四页，共112页你现在浏览的是第八十五页，共112页3 3、考察行列表、考察行列表若第一列各数均为正数，则系统的所有特若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根（闭环极点）均在根平面的左半平面，征根（闭环极点）均在根平面的左半平面，该系统稳定。该系统稳定。若第一列中有负数则说明系统不稳定，第若第一列中有负数
39、则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面闭环一列中符号变化的次数表示右半平面闭环极点的个数。极点的个数。你现在浏览的是第八十六页，共112页三、两种特殊情况三、两种特殊情况1 1、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为0 0，其余不为，其余不为0 0或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这个或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这个0 0，使运算，使运算继续下去。继续下去。2 2、劳斯行列表中第、劳斯行列表中第K K行全部为行全部为0 0。说明有对称于原点的根。说明有对称于原点的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方法是：这时可以建立一个辅
40、助方程继续进行分析，方法是：（a a）用）用K-1K-1行构成辅助多项式，它的次数为偶数。行构成辅助多项式，它的次数为偶数。（b b）对辅助多项式求导，求导后的）对辅助多项式求导，求导后的S S多项式的系数代替多项式的系数代替K K行。然后继续计算。行。然后继续计算。（c c）对于对称于原点的闭环极点，可由辅助多项式等）对于对称于原点的闭环极点，可由辅助多项式等于于0 0求得。求得。你现在浏览的是第八十七页，共112页四、稳定裕度的检验四、稳定裕度的检验 应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即相应用劳斯判据不仅可以判断系统稳定与否，即相对稳定性。也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕对稳定性。
41、也可以判断系统的是否具有一定的稳定裕度，即相对稳定性。这时可以移动度，即相对稳定性。这时可以移动S S平面的坐标系，然平面的坐标系，然后再应用劳斯判据。如图：后再应用劳斯判据。如图：将上式代入原方程，得到以将上式代入原方程，得到以Z Z为变量的新的特征方程，再检为变量的新的特征方程，再检验其稳定性。此时系统如果仍验其稳定性。此时系统如果仍然稳定，则说系统具有稳定裕然稳定，则说系统具有稳定裕度度。你现在浏览的是第八十八页，共112页例：例：系统特征方程为系统特征方程为判断系统是否有闭环极点在判断系统是否有闭环极点在S S的右半平面，并验有几个根在的右半平面，并验有几个根在s=-s=-1 1的右边
42、。的右边。故故S S右半平面无闭环右半平面无闭环极点。系统是稳定极点。系统是稳定的的将将s=z-1s=z-1代入原方程得：代入原方程得：NEW ROUTHNEW ROUTHS TABLES TABLE：故有一个根在故有一个根在s=-1s=-1的右边。的右边。ROUTHROUTHS TABLES TABLE：你现在浏览的是第八十九页，共112页五、分析参数对稳定性的影响五、分析参数对稳定性的影响例：例：或或特征方程为：特征方程为：ROUTHS TABLE：要使系统稳定，则劳斯表第一列要使系统稳定，则劳斯表第一列应为正数。即有：应为正数。即有：故系统的稳定临界值为故系统的稳定临界值为K=30K=3
43、0。你现在浏览的是第九十页，共112页例：例：系统特征方程为系统特征方程为求系统稳定求系统稳定T T的临界值。的临界值。ROUTHS TABLE：要使系统稳定必须有：要使系统稳定必须有：T T必须大于必须大于2525，系统才稳定。，系统才稳定。你现在浏览的是第九十一页，共112页3.6 3.6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差稳态误差的概念和定义稳态误差的概念和定义给定作用下的稳态误差给定作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差扰动作用下的稳态误差提高系统稳态精度的方法提高系统稳态精度的方法你现在浏览的是第九十二页，共112页控制系统的性能：动态性能和稳态性能控制系统的性能：动态性能和稳态性能
44、稳态性能用稳态误差稳态性能用稳态误差 来描述来描述讨论稳态误差的前提是系统是稳定的讨论稳态误差的前提是系统是稳定的控制系统结构图控制系统结构图 一、稳态误差的概念一、稳态误差的概念你现在浏览的是第九十三页，共112页二、稳态误差的定义二、稳态误差的定义1.输入端定义：输入端定义：误差为输入量与反馈量的差值误差为输入量与反馈量的差值 e(t)=r(t)-b(t)e(t)=r(t)-b(t)拉斯变换后为拉斯变换后为：稳态误差为稳态误差为:如果需要可以将误差转换成输出量的量纲如果需要可以将误差转换成输出量的量纲2.输出端定义：输出端定义：误差为期望值与实际值的差值误差为期望值与实际值的差值 e(t)
45、=r(t)-y(t)H(s)=1e(t)=r(t)-y(t)H(s)=1你现在浏览的是第九十四页，共112页 设系统开环传递函数为：设系统开环传递函数为：其中其中 为开环增益，为开环增益，为系统中含有的为系统中含有的 积分环节数。积分环节数。对应于对应于 的系统分别称为的系统分别称为0 0型，型，型和型和型系统。型系统。三、给定作用下的稳态误差三、给定作用下的稳态误差你现在浏览的是第九十五页，共112页定义定义 为静态位置误差系数，有为静态位置误差系数，有1 1、阶跃输入、阶跃输入对于对于0 0型系统：型系统：对于对于型和型和型系统型系统你现在浏览的是第九十六页，共112页由由于于0 0型型系
46、系统统无无积积分分环环节节，其其阶阶跃跃输输入入时时的的稳稳态态误误差差为为与与K K有有关关的的一一定定值值，因因此常称为此常称为有差系统有差系统。为为减减小小稳稳态态误误差差，可可在在稳稳定定条条件件允允许许的的前前提下，增大提下，增大K K值。值。若若要要求求系系统统对对阶阶跃跃输输入入的的稳稳态态误误差差为为零，则应使系统的类型高于零，则应使系统的类型高于I I型。型。你现在浏览的是第九十七页，共112页定义定义 为静态速度误差系数，有为静态速度误差系数，有2 2、斜坡输入、斜坡输入对于对于0 0型系统：型系统：对于对于型系统型系统：对于对于型系统：型系统：你现在浏览的是第九十八页，共
47、112页可见，可见，0 0型系统不能跟踪斜坡输入信号。型系统不能跟踪斜坡输入信号。随时间的推移随时间的推移,误差越来越大；误差越来越大；I I型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具型系统可以跟踪斜坡输入信号。但具有与有与K K有关的稳态误差，可用增加有关的稳态误差，可用增加K K的方的方法提高稳态精度；法提高稳态精度；IIII型及以上系统可完全跟踪斜坡输入型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。信号，即稳态误差为零。你现在浏览的是第九十九页，共112页定义定义 为静态加速度误差系数为静态加速度误差系数，有有3 3、抛物线输入、抛物线输入对于对于0 0型系统：型系统：对于对于型系统：型系统
48、：对于对于型系统：型系统：你现在浏览的是第一百页，共112页对于对于型系统及以上系统：型系统及以上系统：可见，可见，I I型及以下系统不能跟踪抛物线输型及以下系统不能跟踪抛物线输入，误差越来越大；入，误差越来越大；IIII型系统可以跟踪抛物线输入信号。但型系统可以跟踪抛物线输入信号。但具有与具有与K K有关的稳态误差，可用增加有关的稳态误差，可用增加K K的的方法提高稳态精度；方法提高稳态精度；IIIIII型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信型及以上系统可完全跟踪斜坡输入信号，即稳态误差为零。号，即稳态误差为零。你现在浏览的是第一百零一页，共112页设设 由扰动引起的误差为：由扰动引起的误差为：四
49、、扰动作用下的稳态误差四、扰动作用下的稳态误差你现在浏览的是第一百零二页，共112页同样对应于同样对应于 的系统分别称为的系统分别称为0 0型，型，型和型和型系统。型系统。设设系统的开环传递函数改写为：系统的开环传递函数改写为：其中其中你现在浏览的是第一百零三页，共112页一般情况下一般情况下 ，阶跃信号：阶跃信号：1 1、对于、对于0 0型系统型系统：在阶跃扰动的作用下，稳态误差正比于扰动信号幅在阶跃扰动的作用下，稳态误差正比于扰动信号幅值，与作用点前前向系数近似成反比值，与作用点前前向系数近似成反比斜坡信号：斜坡信号：斜坡扰动稳态误差为无穷。斜坡扰动稳态误差为无穷。你现在浏览的是第一百零四
50、页，共112页2 2、对于、对于型系统：型系统：（1）对于阶跃扰动信号：对于阶跃扰动信号：对于斜坡扰动信号：对于斜坡扰动信号：（2）对于阶跃扰动信号：对于阶跃扰动信号：对于斜坡扰动信号：对于斜坡扰动信号：你现在浏览的是第一百零五页，共112页（1 1）对于阶跃和斜坡扰动引起的稳对于阶跃和斜坡扰动引起的稳 态误差为态误差为0 0；（2 2）对于阶跃扰动稳态误差为对于阶跃扰动稳态误差为0 0，对，对 于斜坡扰动为于斜坡扰动为 ；（3 3）对于阶跃扰动信号：对于阶跃扰动信号：对于斜坡扰动信号：对于斜坡扰动信号：3 3、对于、对于型系统：型系统：你现在浏览的是第一百零六页，共112页注意：注意：对于上