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1、 相似的应用相似的应用 求求A11.设设P 1AP=,P=,=1 41 1 1 0 0 2,A=P P 1 A11=(P P 1)(P P 1)(P P 1)(P P 1)11=1 0 0 211=P 11P 1 A与与 相似相似5.2 相似矩阵相似矩阵 一一.矩阵的相似矩阵的相似设设A、B是是n阶方阵，阶方阵，若有若有可逆矩阵可逆矩阵P，使，使P 1AP=B，则，则称矩阵称矩阵A与与B相似相似，记为，记为AB，P为为相似变换矩阵相似变换矩阵。注注1.相似是等价的特例：相似相似是等价的特例：相似必等价必等价，反之不然。，反之不然。例例1.证明矩阵证明矩阵 与与 相似。相似。证明：证明：注注2.
2、(1)反身性反身性:AA;(2)对称性对称性:AB BA;(3)传递性传递性:AB,BC AC.矩阵间的相似关系是一种等价关系。矩阵间的相似关系是一种等价关系。P 1AP=BPBP 1=A等价关系下的不变量：矩阵的秩等价关系下的不变量：矩阵的秩相似关系下的不变量：相似关系下的不变量：矩阵的秩矩阵的秩性质性质1.若若A B r(A)=r(B)性质性质2.A B|E-A|=|E-B|，特征多项式相同，特征多项式相同说明说明(1).|E-A|=|E-B|，意味着，意味着矩阵矩阵A与与B有相有相同的特征值、迹和行列式。同的特征值、迹和行列式。问题？问题？相似矩阵相似矩阵对应于对应于同一特征值同一特征值
3、的的特征向量？特征向量？性质性质3.若若A B，则，则（1）kA kB（2）Ak Bk（k是正整数）是正整数）（3）A 1 B 1（A、B均可逆）均可逆）（4）f(A)f(B)（f 是多项式）是多项式）且具有且具有相同的相似变换矩阵相同的相似变换矩阵。说明说明(2).特征多项式相同特征多项式相同的的矩阵矩阵不一定相似。不一定相似。例例2.特征多项式都是特征多项式都是(1)2 证证1：若若P 1AP=B，则，则A=PBP1=E=B。矛盾矛盾!1 0 0 1 A=1 0 1 1,B=证证2：若若A B,则则 A E B E。但但r(A E)r(B E)矛盾矛盾!特征多项式相同是相似的特征多项式相同
4、是相似的必要而非充分必要而非充分的条件。的条件。注注3.方阵方阵A与与B相似相似 特征多项式和特征值相同特征多项式和特征值相同 tr(A)=tr(B)，|A|=|B|r(A)=r(B)相似关系下的不变量为：相似关系下的不变量为：特征值特征值,迹迹,行列式行列式,秩秩等价关系下的不变量为：等价关系下的不变量为：秩秩等价关系下的最简形为：等价关系下的最简形为：等价标准形等价标准形相似关系下的最简形为？相似关系下的最简形为？只是必只是必要条件要条件例例4.设矩阵设矩阵 ，求，求x、y例例3.设矩阵设矩阵 ，求，求a、b解解.由由A B|A|=|B|b=1tr(A)=tr(B)a=0解解1.由由A B
5、|A|=|B|-2(x 2)=-2ytr(A)=tr(B)x 1=y+1方程相方程相同同!解解2.1=-1，2=2，3=y由由|-E-A|=0求求x；tr(A)=tr(B)求求y。x=0,y=-2解解3.A有特征值有特征值 2=-2，则，则B也有，也有，y=-2；A =P 1AP(P 可逆可逆)1 0 0 0 2 0 0 0 nP=(p1,pn)可逆可逆 p1,pn线性无关线性无关 P 1AP=AP=P (Ap1,Apn)=(1p1,npn)相似关系下的最简形为？相似关系下的最简形为？A pi=i pi,i=1,n 1.定理定理5.3.n阶方阵阶方阵A与与对角矩阵对角矩阵相似相似 A有有n个线
6、性无关个线性无关的特征向量。的特征向量。二二.方阵与对角矩阵相似的充要条件方阵与对角矩阵相似的充要条件 注注1.若若n阶方阵阶方阵A有有l(n)个线性无关的特征向量，则个线性无关的特征向量，则A不能不能与对角矩阵相似与对角矩阵相似.证证3:1=2=1 n r=1 2 A不与对角阵不与对角阵B相似。相似。1 0 0 1,A不与不与B相似。相似。例例2.A=1 0 1 1,B=E A=0 0 1 0 注注2.不是每个不是每个方阵都能够与对角矩阵相似的。方阵都能够与对角矩阵相似的。如果矩阵如果矩阵A与与对角阵对角阵 相似，则相似，则 的对角线由的对角线由A的的特征值构成，变换矩阵特征值构成，变换矩阵
7、P由由A相应的特征向量为列；相应的特征向量为列；若不计若不计 i排列顺序，则排列顺序，则 是唯一的，称为是唯一的，称为A的的相似标相似标准形准形。2.定理定理5.4.等价关系下的最简形为：等价关系下的最简形为：等价标准形等价标准形相似关系下的最简形为：相似关系下的最简形为：相似标准形相似标准形 或或J与对角阵与对角阵相似相似不与对角不与对角阵相似阵相似问题问题?如何判断如何判断A是否有是否有n个线性无关的特征向量？个线性无关的特征向量？证（归纳法）证（归纳法）s=1时显然成立；时显然成立；设设k=s 1 时成立，下面证时成立，下面证 k=s 时也成立。时也成立。1,2,s A的特征向量的特征向
8、量 1,2,s A的的互异互异的特征值的特征值 则则 1,2,s线性无关。线性无关。设设k1 1+k2 2+ks 1 s 1+ks s=k1 s 1+k2 s 2+ks 1 s s 1+ks s s=k1 1 1+k2 2 2+ks 1 s 1 s 1+ks s s=A(k1 1+k2 2+ks 1 s 1+ks s)=k1(1 s)1+k2(2 s)2+ks 1(s 1 s)s 1=k1(1 2)=k2(2 3)=ks 1(s 1 s)=0 k1=k2=ks 1=0 ks s=ks=0 推论推论5.4.An n有有n个互异个互异特征值特征值 1,n A 。例例5.1 2 3 0 4 5 0
9、0 6 1 0 0 0 4 0 0 0 6例例6.设设A=相似于对角矩阵相似于对角矩阵 a x y 0 a z 0 0 a|E A|=(a)3 则则(aE A)x=有有3个线性无关的解个线性无关的解,故故3 r(aE A)=3,即即r(aE A)=O 则则aE A=0 x y 0 0 z 0 0 0=O即即 x=y=z=0例例7.若若A=相似于对角矩阵相似于对角矩阵 a x y 0 a z 0 0 b|E A|=(a)2(b)则则(aE A)x=有有2个线性无关的解个线性无关的解,aE A=0 x y 0 0 z 0 0 b a即即 x=0 故故3 r(aE A)=2,即即r(aE A)=1,
10、定理定理5.5.设设 1,2,s 互互不相同不相同则则 11,p1,12,q2,1s,ts 1 2 s L.i.L.i.L.i.线性无关线性无关设设(c11 11+cp1 p1)+(c12 12+cq2 q2)+(c1s 1s+crs rs)=0 1 s 2A 1=1 1 A 3=3 3 A 2=2 2 于是于是 1 +2 +s=0 定理定理5.6.n阶方阵阶方阵A与对角阵相似与对角阵相似 A的每个的每个ni重特征重特征值值 i有有ni个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，即即 r(iE A)=n ni,i=1,t 其中其中n1+n2+nt=n代数重数代数重数几何重数几何重数等于等于 i的
11、的 (特征值特征值 i)注注3.由定理由定理5.4-5，A的属于的属于不同特征值不同特征值的的线性无关线性无关的特征向量合在一起仍的特征向量合在一起仍线性无关线性无关。求求|EA|=0的根的根 有重根吗有重根吗?无无 A可以相似对角化可以相似对角化 有有 r(iE A)=n ni?否否 A不能相似对角化不能相似对角化 是是 求求n个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量 1,n,令令P=(1,n)P 1AP=diag(1,n)注注:特征向量要与特征特征向量要与特征值的顺序相对应值的顺序相对应 相相似似对对角角化化问问题题解解题题步步骤骤A与与 相似相似 i(ni重重)，有有r(iE A)=n
12、ni 解解:|EA|=(+1)(2)2.1=1,2=3=2.例例8.设设，求可逆阵，求可逆阵P和对角阵和对角阵，使得，使得 P1AP=；并计算并计算Ak。(2EA)x=0的基础解系：的基础解系：1=(1,4,0)T，2=(1,0,4)T当当 1=1时，时，(EA)x=0的基础解系：的基础解系：3=(1,0,1)T当当 2=3=2时，时，使得使得 P1AP=求求斐波那契斐波那契数列的通项数列的通项 二阶递二阶递推公式推公式因此因此求求斐波那契斐波那契数列的通项数列的通项 由由由由求求斐波那契斐波那契数列的通项数列的通项 1,1,2,3,5,8,13,一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式
13、子表达，一个正整数序列的通项，竟然可以用带有无理数的式子表达，这是十分这是十分意外的结果意外的结果。斐波那契斐波那契数列与黄金分割数列与黄金分割“黄金分割黄金分割”比喻这一比喻这一“分割分割”如黄金一样珍贵。如黄金一样珍贵。黄金比是工艺美术、建筑、摄影等艺术门类中审美黄金比是工艺美术、建筑、摄影等艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了的因素之一。认为它表现了恰到好处的恰到好处的“合谐合谐”。称为第二黄金比称为第二黄金比例例9.(见见P184，例，例5.10)例例10.设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足A2=E，则，则A相似于对角阵。相似于对角阵。例例11.设矩阵设矩阵 ，问，问k取何值时，取何值时，A相似于相似于对角阵对角阵，并求相似变换矩阵，并求相似变换矩阵P。