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1、几何与代数几何与代数第1页，本讲稿共47页 S P(x,y,z)F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 x=x(t)y=y(t)z=z(t)曲面的一般方程曲面的一般方程:曲线的一般方程曲线的一般方程:曲线的参数方程曲线的参数方程:一、常见曲面一、常见曲面 基本问题：基本问题：(1)给出图形，建立曲面方程；给出图形，建立曲面方程；(2)已知坐标满足的方程，研究其表示的曲面。已知坐标满足的方程，研究其表示的曲面。第2页，本讲稿共47页 1.球面(1)以点以点P0(x0,y0,z0)为球心，为球心，R为半径的球面方程为半径的球面方程(x x0)2+(y y0)2+(z z0
2、)2=R2(2)球面方程的特点球面方程的特点:三元二次三元二次;二次项二次项x2,y2,z2前面的系数相同前面的系数相同;没有没有xy,yz,zx这类交错项。这类交错项。(3)由方程由方程 x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0，配方得，配方得(x x0)2+(y y0)2+(z z0)2=k x y z O R 第3页，本讲稿共47页 ax2+ay2+az2+bx+cy+dz+e=0(x )2+(y )2+(z )2=k b 2a c 2a b 2a 当当k 0时时:球面球面,球心(,),b 2a c 2a b 2a 半径 k 当当k=0时时:点点 当当k 0时时:虚球面虚球面 第4页，
3、本讲稿共47页曲线曲线C:Cy zO绕绕 z轴旋转轴旋转2.旋转面旋转面 母线母线第5页，本讲稿共47页xCy zO母线曲线C:绕 z轴旋转2.旋转面旋转面 第6页，本讲稿共47页绕绕 z轴旋转一周得轴旋转一周得旋转旋转曲面曲面 S.CSM(x,y,z)NPy zOf(y1,z1)=0 xM(x,y,z)S曲线C:2.旋转面旋转面 母线第7页，本讲稿共47页旋转曲面的特点旋转曲面的特点:母线 C:S:C中中轴轴坐标坐标(z)不变不变,用另用另2个变量的平方和个变量的平方和的正负算术平方根代替方程中的另的正负算术平方根代替方程中的另1个变量个变量.反过来反过来,方程中若有方程中若有两个变量以两个
4、变量以平方和形式平方和形式平方和形式平方和形式出现出现,这个方这个方程的图形一般是旋转曲面程的图形一般是旋转曲面.几种常用的几种常用的旋转曲面旋转曲面:旋转曲面名称旋转曲面名称与母线名称对应与母线名称对应.z y Ox 绕绕 z轴轴旋转旋转第8页，本讲稿共47页(1)旋转椭球面旋转椭球面:yxz绕y轴旋转椭圆旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线 C:绕 z轴旋转O第9页，本讲稿共47页(2)旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面:xOy绕绕 x 轴轴旋转旋转一周一周.双曲线双曲线旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线 C:绕 z轴旋转z第10页，本讲稿共47页(3)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面:a0旋
5、转曲面的特点:两个平方项系数相同母线 C:绕 z轴旋转绕绕 y 轴轴旋转旋转一周一周.双曲线xyz第11页，本讲稿共47页(4)旋转抛物面旋转抛物面:抛物线抛物线绕绕 z 轴轴旋转旋转一周一周.yO旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线 C:绕 z轴旋转xz第12页，本讲稿共47页(5)圆锥面圆锥面:直线直线绕绕 x 轴轴旋转旋转一周一周.旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线 C:绕 z轴旋转zxyo第13页，本讲稿共47页 z y O O x y=1 x=0 x2+y2=1 旋转曲面的特点:两个平方项系数相同母线 C:绕 z轴旋转绕绕 z 轴轴旋转旋转一周一周.直线直线(6)圆柱面圆柱面:
6、动直线动直线平行于平行于z 轴沿着圆移轴沿着圆移动动所产生的曲面所产生的曲面第14页，本讲稿共47页 3.柱面柱面 沿给定曲线沿给定曲线C 平行移动的直线平行移动的直线L 所形成的轨迹叫做所形成的轨迹叫做柱面柱面。其中的定曲线其中的定曲线C 称为柱面的称为柱面的准线准线，动直线，动直线L 称为柱面的称为柱面的母线母线。说明说明(2).可适当选取坐标系，使母线平行于坐标轴。可适当选取坐标系，使母线平行于坐标轴。下面考察母线平行于下面考察母线平行于z轴的柱面。轴的柱面。则此柱面的方程为则此柱面的方程为f(x,y)=0。母线平行于母线平行于 设柱面S的准线方程为 f(x,y)=0 z=0 z轴，轴，
7、第15页，本讲稿共47页xzy0母线L准线CM(x,y,z)N(x,y,0)Sf(x,y)=0z=0C:M(x,y,z)SS:f(x,y)=0(母线母线z z轴轴)第16页，本讲稿共47页圆柱面 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 第17页，本讲稿共47页 4.锥面 直线直线l1 绕绕另一条与另一条与l1 相交直线相交直线l2 旋转一周，所得的旋旋转一周，所得的旋转曲面称为转曲面称为圆锥面圆锥面。说明说明(3).l1 与与l2 的交点称为圆锥的的交点称为圆锥的顶点顶点，两条直线的，两条直线的夹角夹角 (0 0)令令y=acost,z=asint,代入代入x2+z2=b2得得 x=b2 a2sin2t
8、 由此可得该双柱面曲线的参数方程为由此可得该双柱面曲线的参数方程为 x=b2 a2sin2t(0 t 0)的简图.得得z2+z 20=0,解:由 x2+y2+z2=25 z=x2+y25 而而z 0,所以所以z=4.因而该曲线也可以看成柱面因而该曲线也可以看成柱面x2+y2=9与平面与平面z=4的交线，其简的交线，其简图如右图所示。图如右图所示。O x y z 第27页，本讲稿共47页 1.椭球面椭球面 2.单叶双曲面单叶双曲面 3.双叶双曲面双叶双曲面 4.二次锥面二次锥面 5.椭圆抛物面椭圆抛物面 6.双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面)一、二次曲面的标准方程一、二次曲面的标准方程 6.3
9、 二次曲面二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面二、一般方程表示的二次曲面 所谓二次曲面，就是由一个三元二次方程所表示的曲面，可以利用二次型来研究它。第28页，本讲稿共47页 对于一般的二次曲面 f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0 其中其中x=(x1,x2,x3)T，A=(aij)为为3阶阶实对称实对称矩阵，矩阵，BT=(b1,b2,b3)。由正交变换由正交变换x=Qy化为化为 g(y1,y2,y3)=1y12+2y22+3y32+b1 y1+b2 y2+b3 y3+c=0 1.当秩当秩(A)=3时，再配方为时，再配方为 h(z1,z2,z3)=1z12+2z22+3z32+c =
10、0 原点不动的坐标轴旋转原点不动的坐标轴旋转坐标轴平移坐标轴平移 根据系数根据系数 1,2,3 和常数和常数 c 取值取值第29页，本讲稿共47页1.椭球面 x2 a2+y2 b2+z2 c2=1(a0,b0,c0)xybaczO xybaczO 对称性对称性:关于原点、坐标轴、坐标面对称关于原点、坐标轴、坐标面对称 区区 域域:截截 面面:用用z=h截得的截线截得的截线:为椭圆为椭圆 用用x=h,y=h截得的截线截得的截线类似类似第30页，本讲稿共47页 2.单叶双曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)x y z O 对称性对称性:关于原点、坐标轴、坐标面对称关于原
11、点、坐标轴、坐标面对称 区区 域域:截截 面面:用用z=h截得的截线截得的截线 椭圆椭圆 用用y=k截得的截线截得的截线无界无界 双曲线双曲线 双曲线双曲线 两直线两直线 用用x=l截得的截线与截得的截线与y=k类似类似第31页，本讲稿共47页x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)对称性对称性:关于原点、坐标轴、坐标面对称关于原点、坐标轴、坐标面对称 区区 域域:截截 面面:用用z=h截得的截线截得的截线 椭圆椭圆 用用y=k截得的截线截得的截线双曲线双曲线 用用x=l截得的截线与截得的截线与y=k类似类似3.双叶双曲面 x y z O z=c之上之上z=c之下之下无交无交
12、第32页，本讲稿共47页x2 a2+y2 b2 z2 c2=0(a0,b0,c0)对称性对称性:关于原点、坐标轴、坐标面对称关于原点、坐标轴、坐标面对称 截截 面面:用用z=h截得的截线截得的截线 椭圆椭圆 用用y=k截得的截线截得的截线用用x=l截得的截线与截得的截线与y=k类似类似4.二次锥面 x y z O 双曲线双曲线 两直线两直线 过原点沿过原点沿椭圆移动椭圆移动第33页，本讲稿共47页2.单叶双曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)x y z O 3.双叶双曲面双叶双曲面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=1(a0,b0,c0)x y z O 4.二次锥
13、面二次锥面 x2 a2+y2 b2 z2 c2=0(a0,b0,c0)x y z O 第34页，本讲稿共47页5.椭圆抛物面椭圆抛物面 2.当秩当秩(A)=2时时,再配方再配方h(z1,z2,z3)=1z12+2z22+b z3=0 x2 a2+y2 b2=2z(a0,b0)x y z O 对称性对称性:关于关于yOz、xOz、z轴对称轴对称 区区 域域:截截 面面:椭圆椭圆 z 0抛物线抛物线 g(y1,y2,y3)=1y12+2y22+3y32+b1 y1+b2 y2+b3 y3+c=0 根据根据 1,2 和常和常数数 b 取值取值第35页，本讲稿共47页6.双曲抛物面(马鞍面)x2 a2
14、 y2 b2=2z(a0,b0)x y z O 对称性对称性:关于关于yOz、xOz、z轴对称轴对称 区区 域域:截截 面面:无限伸展无限伸展抛物线开口向上抛物线开口向上 双曲线双曲线 双曲线双曲线 两直线两直线 抛物线开口向下抛物线开口向下 第36页，本讲稿共47页f(x1,x2,x3)=xTAx+BTx+c=0 x=Qy保持原点不动的坐标轴旋转保持原点不动的坐标轴旋转坐标轴的平移坐标轴的平移g(y)=yT y+BTy+c=0 y=z+1z12+2z22+3z32=bzi+d 一般的二次曲面一般的二次曲面 二、一般方程表示的二次曲面第37页，本讲稿共47页条件方 程p,qd二次曲面p=3,q
15、=0r(A)=3 b=0椭球面椭球面球面球面p=2,q=1d0p=0,q=3d0d 0,而而 1=2 0,3=|A|=1 k2/2.由此可得,k 时,原方程表示一个椭球面.22 第41页，本讲稿共47页x2+y2+z2 2xz+4x+2y 4z 5=0例11.试用直角坐标变换化简下面的方程.解:令A=1 0 1 0 1 0,1 0 1 则原方程可写成则原方程可写成 TA +=5,=4,2,4,=x y z,先求得正交矩阵Q=,212121210 0 0 1 0 使QTAQ=1 0 0 0 2 0.0 0 0 但这里但这里|Q|=1.第42页，本讲稿共47页可得可得x 2+2z 2 =10,这表
16、示一个椭圆柱面这表示一个椭圆柱面.令令 =P,其中其中 =u,v,wT,则原方程化为则原方程化为 故取P=212121210 0 0 1 0 ,则则P也是正交矩阵也是正交矩阵,且且|P|=1.2(u+1)2+2(w+)2=10,2u2+2w2+2u+4 w 5=0 再令 x y z=+21 0 u v w,x y z=21 0 u v w,即 第43页，本讲稿共47页综上所述,经直角坐标变换 原方程化为原方程化为x 2+2z 2 =10.21(y+z)1 x=y=x 1 21(yz)+1 z=第44页，本讲稿共47页abcyx zo1.椭球面 第45页，本讲稿共47页xzy0用用用用z=a 截曲面截曲面截曲面截曲面用用用用y=0 截曲面截曲面截曲面截曲面用用用用x=b 截曲面截曲面截曲面截曲面 6.马鞍面第46页，本讲稿共47页第47页，本讲稿共47页