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1、扩散过程的数学建模你现在浏览的是第一页，共23页扩散的定义一般定义:扩散（diffusion）:物质在空间的自发分散（spontaneous dispersion of mass）问题2：生物学例子？你现在浏览的是第二页，共23页营养物的扩散；信号分子在细胞内外的扩散；物质跨膜扩散；病菌传播；物种迁移；问题3：数学上如何描述？你现在浏览的是第三页，共23页Fick 定律x（单位举例：厘米）J:流量(单位举例：摩尔每升 每秒 每平方厘米（x)：物质的浓度（单位举例：摩尔每升）D:扩散系数（单位举例：？）Fick 第一定律问题4：三维空间扩散？你现在浏览的是第四页，共23页三维扩散：Fick第一
2、定律问题5：浓度如何随时间变化？你现在浏览的是第五页，共23页一维扩散：Fick第二定律xx+x你现在浏览的是第六页，共23页三维扩散：Fick第二定律你现在浏览的是第七页，共23页举例扩散距离x=0扩散长度或扩散距离你现在浏览的是第八页，共23页稳态拉普拉斯方程扩散与产生/生成过程的偶联？你现在浏览的是第九页，共23页反应扩散方程你现在浏览的是第十页，共23页反应扩散方程：一维多组分边界条件或你现在浏览的是第十一页，共23页生态系统：猎手/猎物模型U：prey，A（U）：growth,V:predator,C(V):death B（U，V）：interaction你现在浏览的是第十二页，共2
3、3页竞争者模型互利模型你现在浏览的是第十三页，共23页反应-扩散过程的稳态解稳态解u=u0,v=v0,满足：同时也是ODE问题的稳态解你现在浏览的是第十四页，共23页你现在浏览的是第十五页，共23页图灵不稳定性1952“The chemical basis of morphogenesis”提出，某些条件下，均一的平衡（稳态）解变得不稳定，“图灵不稳定性”这种不稳定性，是由于扩散与反应的耦合造成的“counter-intuitive”你现在浏览的是第十六页，共23页系统的“线性化”在稳态解附近：你现在浏览的是第十七页，共23页分离变量、级数展开特解：通解：Wk常微分方程J:亚柯比矩阵你现在浏览的是第十八页，共23页稳定性的条件你现在浏览的是第十九页，共23页Example图灵不稳定性你现在浏览的是第二十页，共23页你现在浏览的是第二十一页，共23页图灵斑图你现在浏览的是第二十二页，共23页总结扩散：Fick定律：依赖于浓度梯度、扩散系数偏微分方程模型时间变化与空间变化相联系反应扩散模型你现在浏览的是第二十三页，共23页