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1、扩散过程的数学建模第1页，共23页，编辑于2022年，星期日扩散的定义一般定义:扩散（diffusion）:物质在空间的自发分散（spontaneous dispersion of mass）问题2：生物学例子？第2页，共23页，编辑于2022年，星期日营养物的扩散；信号分子在细胞内外的扩散；物质跨膜扩散；病菌传播；物种迁移；问题3：数学上如何描述？第3页，共23页，编辑于2022年，星期日Fick 定律x（单位举例：厘米）J:流量(单位举例：摩尔每升 每秒 每平方厘米（x)：物质的浓度（单位举例：摩尔每升）D:扩散系数（单位举例：？）Fick 第一定律问题4：三维空间扩散？第4页，共23页，
2、编辑于2022年，星期日三维扩散：Fick第一 定律问题5：浓度如何随时间变化？第5页，共23页，编辑于2022年，星期日一维扩散：Fick第二定律xx+x第6页，共23页，编辑于2022年，星期日三维扩散：Fick第二定律第7页，共23页，编辑于2022年，星期日举例扩散距离x=0扩散长度或扩散距离第8页，共23页，编辑于2022年，星期日稳态拉普拉斯方程扩散与产生/生成过程的偶联？第9页，共23页，编辑于2022年，星期日反应扩散方程第10页，共23页，编辑于2022年，星期日反应扩散方程：一维多组分边界条件或第11页，共23页，编辑于2022年，星期日生态系统：猎手/猎物模型U：prey
3、，A（U）：growth,V:predator,C(V):death B（U，V）：interaction第12页，共23页，编辑于2022年，星期日竞争者模型互利模型第13页，共23页，编辑于2022年，星期日反应-扩散过程的稳态解稳态解u=u0,v=v0,满足：同时也是ODE问题的稳态解第14页，共23页，编辑于2022年，星期日第15页，共23页，编辑于2022年，星期日图灵不稳定性1952“The chemical basis of morphogenesis”提出，某些条件下，均一的平衡（稳态）解变得不稳定，“图灵不稳定性”这种不稳定性，是由于扩散与反应的耦合造成的“counter-
4、intuitive”第16页，共23页，编辑于2022年，星期日系统的“线性化”在稳态解附近：第17页，共23页，编辑于2022年，星期日分离变量、级数展开特解：通解：Wk常微分方程J:亚柯比矩阵第18页，共23页，编辑于2022年，星期日稳定性的条件第19页，共23页，编辑于2022年，星期日Example图灵不稳定性第20页，共23页，编辑于2022年，星期日第21页，共23页，编辑于2022年，星期日图灵斑图第22页，共23页，编辑于2022年，星期日总结扩散：Fick定律：依赖于浓度梯度、扩散系数偏微分方程模型时间变化与空间变化相联系反应扩散模型第23页，共23页，编辑于2022年，星期日