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1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换电信系通信工程教研室电信系通信工程教研室 李广柱李广柱 电话：电话：0731-84261483 手机：手机：QQ：46860236 Email：2/21/20231课程简介课程简介1.课程性质及特点课程性质及特点2.课时课时3.教材及参考书教材及参考书4.教学目标教学目标5.要求要求6.考核考核7.主要讲授内容主要讲授内容2/21/20232课程简介课程简介1.课程性质及特点课程性质及特点是包括通信工程专业在内的电子学专业的重是包括通信工程专业在内的电子学专业的重要的基础课程，所涉及的知识是从事通信要的基础课程，所涉及的知识是从事通信工程专业的人员需要了解和
2、掌握的。工程专业的人员需要了解和掌握的。所需的基础知识：高等数学。所需的基础知识：高等数学。是后继课程，如是后继课程，如“信号与系统信号与系统”、“数字信数字信号处理号处理”、“通信原理通信原理”等课程的基础课。等课程的基础课。2/21/20233课程简介课程简介2.课时课时24学时学时3.教材及参考书教材及参考书教材：教材：林益编：林益编：复变函数与积分变换复变函数与积分变换，华中科技大学。，华中科技大学。2/21/202343.主要参考书：主要参考书：1).西安交通大学.复变函数,高等教育出版社,1996.2).焦红伟.复变函数与积分变换，北京大学出版社,2007.3).高宗升.复变函数与
3、积分变换，北京航空航天大学出版社,2006.课程简介课程简介2/21/202354.教学目标：教学目标：学习和掌握复数和复变函数的基本概念；学习和掌握复数和复变函数的基本概念；掌握解析函数，及其导数、积分的概念；掌握解析函数，及其导数、积分的概念；掌握复数级数、留数的概念；掌握复数级数、留数的概念；掌握积分变换的定义和基本概念。掌握积分变换的定义和基本概念。课程简介课程简介2/21/20236课程简介课程简介5.考核：考核：作业作业(20%)考试考试(80%)学习纪律要求：学习纪律要求：缺课达缺课达1/3者，不准参加期末考查；者，不准参加期末考查；缺作业缺作业1/3者，不准参加期末考查。者，不
4、准参加期末考查。6.要求：要求：上课认真听讲，积极回答问题、参与讨论；上课认真听讲，积极回答问题、参与讨论；有问题及时问，不能积累；有问题及时问，不能积累；作业独立按时完成。作业独立按时完成。2/21/202377.主要讲授内容主要讲授内容第一章第一章 复数和复变函数复数和复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数定理留数定理第七章第七章 傅里叶变换傅里叶变换课程简介课程简介2/21/20238本次课讲述的内容本次课讲述的内容复数复数复数的概念复数的概念复数的四则运算复数的四则运算复数的表示方法复数的表示方法复平面复
5、平面复数的模与辐角复数的模与辐角复数的三种表示方法复数的三种表示方法平面图形和区域的复数表示平面图形和区域的复数表示2/21/20239复数的概念复数的概念为什么要引入复数的概念？为什么要引入复数的概念？2/21/202310虚数单位的引入虚数单位的引入 实例：实例：方程方程 x2=-1 在实数集中是无解的，为了解在实数集中是无解的，为了解这个方程，需要引入一个新数这个方程，需要引入一个新数i，称之为，称之为“虚数单位虚数单位”。且规定：。且规定：(1).i2=-1；(2).i 可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算。可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算。2/21/202311虚数单位的
6、特性虚数单位的特性 虚数单位具有以下特性：虚数单位具有以下特性：根据定义可知，根据定义可知，一般地，若一般地，若n是正整数，则：是正整数，则：2/21/202312复数的定义复数的定义 对于任意两个对于任意两个实数实数x和和y，称，称z=x+yi或或z=x+iy为为复数复数。其中。其中x，y分别称为复数分别称为复数z的的实部实部和和虚部虚部。并记：并记：x=Re(z)；y=Im(z)。在工程应用中常把。在工程应用中常把Re称作求实部的运算或操作；称作求实部的运算或操作；Im称作求虚部的运算或称作求虚部的运算或操作。操作。当实部当实部x=0，y0时，称时，称z=iy为为“纯虚数纯虚数”；当虚部当
7、虚部y=0时，时，z=x+0i则可被视作实数则可被视作实数x。2/21/202313两个复数相等的条件两个复数相等的条件 两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。相等。设设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则：，则：复数复数z等于等于0，当且仅当它的实部和虚部同时等于，当且仅当它的实部和虚部同时等于0，即：，即：2/21/202314共轭复数的概念共轭复数的概念 两个复数，若它们的实部相同而虚部互为相反数，两个复数，若它们的实部相同而虚部互为相反数，则它们为则它们为共轭复数共轭复数。设复数设复数z=a+bi共轭复数记为共轭复数记为 ，则可
8、知：，则可知：2/21/202315复数的代数运算复数的代数运算 设两个复数设两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，记：，记：(1).它们的和与差它们的和与差(2).它们的积它们的积 例：例：求复数求复数z=a+bi，与其共轭复数之积。，与其共轭复数之积。结论：两个共轭复数之积是个实数。结论：两个共轭复数之积是个实数。2/21/202316复数的代数运算复数的代数运算 设两个复数设两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，记：，记：(3).它们的商它们的商 可见，复数的代数运算满足：可见，复数的代数运算满足：加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律乘法交换律乘法交换律乘法结合律
9、乘法结合律加法对乘法的分配律加法对乘法的分配律2/21/202317共轭复数的性质共轭复数的性质 共轭复数满足以下性质：共轭复数满足以下性质：(1).(2).(3).(4).2/21/202318 例：将下列复数表示成例：将下列复数表示成x+yi的形式：的形式：解：解：2/21/202319 例：设例：设 ，求，求Re(z)，Im(z)和和 。解：解：2/21/202320复数的性质复数的性质 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的大小，如可以比较它们的大小，如果不全是实数，就不能比较大小，也就是说，果不全是实数，就不能比较大小，也就是说，复数不复数不能比较大小能比较大小。观察复
10、数观察复数i和和0，由复数的定义可知，由复数的定义可知i0；(1).若若i0，则，则ii0i，即，即-10，矛盾；，矛盾；(2).若若i0i，即，即-10，矛盾。，矛盾。由此可见，复数中无法定义大小关系。由此可见，复数中无法定义大小关系。2/21/202321复平面的概念复平面的概念 注意到：复数注意到：复数z=x+iy与有序实数对与有序实数对(x,y)成一一成一一对应关系。因此，一个建立了直角坐标系的平面可以对应关系。因此，一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数，通常把横轴叫做实轴或用来表示复数，通常把横轴叫做实轴或x轴，纵轴叫轴，纵轴叫做虚轴或做虚轴或y轴。这种用来表示复数的平面叫做轴
11、。这种用来表示复数的平面叫做复平面复平面。复数复数z=x+iy可以用复可以用复平面上的点平面上的点(x,y)表示。表示。2/21/202322复数的模复数的模 从复平面上的原点从复平面上的原点o到点到点z=x+iy所引的向量与复所引的向量与复数数z构成对应关系，复数构成对应关系，复数z在复平面上也可以用向量在复平面上也可以用向量 来表示，向量的长度称为来表示，向量的长度称为z的的模模或或绝对值绝对值，记为：，记为：显然下列各式成立：显然下列各式成立：2/21/202323平行四边形法则平行四边形法则 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致，满
12、足算一致，满足平行四边形法则平行四边形法则和和三角形法则三角形法则：2/21/202324复数的辐角复数的辐角 在在z0的情况下，由实轴正向到向量的情况下，由实轴正向到向量 之间的夹之间的夹角角 称为复数称为复数z的辐角，记为的辐角，记为 。任何一个复数任何一个复数z0都有无穷多个辐角，假定都有无穷多个辐角，假定 是是其中一个辐角，则其中一个辐角，则z的全部辐角为：的全部辐角为：特别地，当特别地，当z=0时，时，|z|=0，此时辐角不确定。，此时辐角不确定。2/21/202325辐角的主值辐角的主值 在复数在复数z(0)的辐角中，把满足的辐角中，把满足 的辐角的辐角 称为称为Argz的主值，记
13、为的主值，记为 。思考：思考：辐角主值是否唯一？辐角主值是否唯一？辐角怎么求？辐角怎么求？例：例：求复数求复数 的辐角和辐角主值。的辐角和辐角主值。解：解：因此，辐角主值为：因此，辐角主值为：辐角为：辐角为：2/21/202326复数的辐角复数的辐角 复数复数z0时辐角的主值：时辐角的主值：其中：其中：2/21/202327共轭复数的模和辐角共轭复数的模和辐角 一对共轭复数一对共轭复数 和和 在复平面上的位置关于实轴在复平面上的位置关于实轴对称，因此它们的模满足：对称，因此它们的模满足：共轭复数共轭复数 和和 的辐角主值满足什么关系？的辐角主值满足什么关系？(1).若若z=0，则辐角无意义；，
14、则辐角无意义；(2).若若z位于负实轴上，则：位于负实轴上，则：(3).其它情况下，则有：其它情况下，则有：2/21/202328 例：求例：求 、。解：解：2/21/202329复数的三种表示方法复数的三种表示方法 前面已经学过，复数前面已经学过，复数z可以表示成：可以表示成：利用直角坐标和极坐标之间的关系：利用直角坐标和极坐标之间的关系：可得：可得：，此所谓复数的，此所谓复数的三角表示三角表示法法。2/21/202330复数的三种表示方法复数的三种表示方法 在三角表示法在三角表示法 的基础上，利用的基础上，利用Euler公式公式：可以将复数表示为：可以将复数表示为：此所谓复数的此所谓复数的
15、指数表示法指数表示法。2/21/202331 例：将下列复数表示成三角形式和指数形式：例：将下列复数表示成三角形式和指数形式：解：解：2/21/2023322/21/2023332/21/202334平面图形的复数表示平面图形的复数表示 根据复数的几何意义可知，根据复数的几何意义可知，很多平面图形能用复很多平面图形能用复数形式的方程数形式的方程(或不等式或不等式)来表示；也可以由给定的复来表示；也可以由给定的复数形式的方程数形式的方程(或不等式或不等式)来确定平面图形。来确定平面图形。例：例：将通过两点将通过两点z1=x1+y1i和和z2=x2+y2i的直线用复的直线用复数形式的方程表示。数形
16、式的方程表示。解：通过两点解：通过两点(x1,y1)和和(x2,y2)的直线方程为：的直线方程为：2/21/202335平面图形的复数表示平面图形的复数表示 所以它的复数形式的参数方程为：所以它的复数形式的参数方程为：因此，从因此，从z1到到z2的直线段的方程为：的直线段的方程为：若取若取t=1/2，则可知线段的中点为：，则可知线段的中点为：2/21/202336 例：求下列方程所表示的曲线。例：求下列方程所表示的曲线。解：方程解：方程 表示所有与复平面上的点表示所有与复平面上的点-i距离距离皆为皆为2的点的轨迹，可知该轨迹为原点为的点的轨迹，可知该轨迹为原点为-i，半径为，半径为2的圆。若将
17、的圆。若将z=x+yi代入可得：代入可得：由平面解析几何可知，该轨迹是个圆。由平面解析几何可知，该轨迹是个圆。2/21/202337 方程方程 表示所有与复平面上的点表示所有与复平面上的点2i和和点点-2距离相等的点的轨迹，可知方程表示的是连接点距离相等的点的轨迹，可知方程表示的是连接点2i和点和点-2的线段的垂直平分线。将的线段的垂直平分线。将z=x+yi代入可得：代入可得：由平面解析几何可知，该轨迹是段直线。由平面解析几何可知，该轨迹是段直线。2/21/202338 方程方程 所表示的轨迹直接看不出，可将所表示的轨迹直接看不出，可将z=x+yi代入得：代入得：由平面解析几何可知，该轨迹也是
18、段直线。由平面解析几何可知，该轨迹也是段直线。方程方程 表示与表示与x轴夹角为轴夹角为 的一段射线，的一段射线，该射线不包括原点。该射线不包括原点。2/21/202339 例：指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，例：指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围，并作图。并作图。解：通常在求轨迹或者画图时，可以先利用辐角解：通常在求轨迹或者画图时，可以先利用辐角的几何意义直接判断；当该方法不适用时，可以将的几何意义直接判断；当该方法不适用时，可以将z=x+yi代入，从而将复条件转化为关于代入，从而将复条件转化为关于x、y的实条件，的实条件，利用平面解析几何的知识进行判断。利用平面解析几何的知识进行判断
19、。2/21/202340 显然，该表达式无法直接看出它的轨迹或者区域，显然，该表达式无法直接看出它的轨迹或者区域，因此将因此将z=x+yi代入上式，可得：代入上式，可得：2/21/202341 利用辐角的几何意义可以得知，利用辐角的几何意义可以得知，该方程表示的区域为：该方程表示的区域为：利用模的定义可知，该方程表示利用模的定义可知，该方程表示的区域为：的区域为：2/21/202342 由于由于 表示到两表示到两个定点距离之和为定值的点的轨个定点距离之和为定值的点的轨迹，根据平面解析几何可知是个迹，根据平面解析几何可知是个椭圆，因此不等式表示的即为该椭圆，因此不等式表示的即为该椭圆的内部区域。
20、椭圆的内部区域。可知，该不等式表示的是圆环形区域。可知，该不等式表示的是圆环形区域。2/21/202343扩充复平面扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面,或简称或简称复平面复平面。对于复数对于复数来说，实部、虚部、辐角等概念均无来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义意义,它的模规定为正无穷大。它的模规定为正无穷大。2/21/202344无穷大的四则运算无穷大的四则运算(1).加法：加法：(2).减法：减法：(3).乘法：乘法：(4).除法：除法：(6).复平面上的每一条直线都通过复平面上的每一条直线都通过。(5).、皆无意义。皆无意义。思考：思考：是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?2/21/202345小结小结复数复数复数的概念复数的概念复数的四则运算复数的四则运算复数的表示方法复数的表示方法复平面复平面复数的模与辐角复数的模与辐角复数的三种表示方法复数的三种表示方法平面图形和区域的复数表示平面图形和区域的复数表示2/21/202346作业：作业：习题习题1(*表示选做表示选做)：1.(2),(3),(6),(8)3.5.(1)6.*2/21/202347