《多元函数微分法的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多元函数微分法的应用.ppt（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六讲 多元函数微分法的应用一、多元函数微分学的几何应用一、多元函数微分学的几何应用二、方向导数与梯度二、方向导数与梯度三、多元函数的极值及其求法三、多元函数的极值及其求法1、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停一、一、几何应用几何应用(1).曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.法平面方程法平面方程 例例1.
2、求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:由于对应的切向量为在机动 目录 上页 下页 返回 结束,故(2)曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点处的切向量为 例例3.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.解解 令则切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程即法平面方程即2、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点任意引光滑曲线可以证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.过点 M 与切平面垂直的直线称为法线法线曲面 在
3、点 M 的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程复习 目录 上页 下页 返回 结束 时,则在点法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 的法向量法向量例例4.求曲面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:所以曲面在点(1,2,3)处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:设切点为则机动 目录 上页 下页 返回 结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)2.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:点(1
4、,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、方向导数、方向导数定义定义:若函数则称为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.在点 处沿方向 l(方向角为)存在下列极限:机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作记作 二、方向导数与梯度二、方向导数与梯度定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,证明证明:由函数且有在点 P 可微,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 故机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角
5、例例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:向量 l 的方向余弦为例例2.求函数 从点P(1,0)到点的方向导数.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、梯度、梯度 方向导数公式令向量说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义即同样可定义二元函数称为函数 f(P)在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:的方向为函数增大最快的方向向量例例3 3.设函数 求梯度梯度解解:例例4 4.设函数求函数在点增加最快的方向，并
6、求沿这个方向的方向导数。解解:沿梯度方向函数增加最快沿梯度方向函数增加最快所求方向为所求方向为例例5 5.设函数(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:(1)曲线在点M(1,1,1)处切线的方向向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数三、三、多元函数的极值多元函数的极值 定义定义:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某
7、邻域内有机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、极值的定义及求法、极值的定义及求法说明说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.求函数解解:第一步第一步 求驻
8、点求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求驻点求驻点定解第一步 找目标函数,确定定义域2.函数的最值问题函数的最值问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 由问题的实际背景可知最值在区域内部取得,且只有一个只有一个驻驻点P 时,则为最小 值(大大)例例2 2.解解:设水箱长,宽分别为 x,y m,则高为则水箱所用材料的
9、面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、条件极值、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3.解解:由约束条件有由约束条件有得：故时，函数有极小值方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.步骤：2
10、.解方程组，求驻点机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.引入辅助函数3.定解辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.例例4.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.解解:设 C 点坐标为(x,y),则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设拉格朗日函数解方程组得唯一驻点故 在点 C 处三角形的面积最大机动 目录 上页 下页 返回 结束