《广东省惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学试题含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数学试题 第 1 页，共 5 页 惠州市惠州市 2022-2023 学年度第一学期期末质量检测学年度第一学期期末质量检测 高二数学试题高二数学试题全卷满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题
2、满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，只有一项符合题目要求选项中，只有一项符合题目要求，选对得，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。1过点()1,3P 且平行于直线230 xy+=的直线方程为（）A210 xy+=B250 xy+=C250 xy+=D270 xy+=2已知 na是等差数列，且21a+是1a和4a的等差中项，则 na的公差为（）A1 B2 C2 D1 3棱长为 1 的正四面体ABCD中，则AD BC等于（）A0 B12C14D144已知椭圆C的一个焦点为()1,0，且过点()0,3，则椭圆C的标准方程为（）A
3、22123xy+=B22143xy+=C22132xy+=D22134xy+=5已知空间向量()2,1,3a=，则向量a在坐标平面xOy上的投影向量是（）A()0,2,1B()0,1,3C()2,1,0D()2,0,36直线l：2+1=0mx ym与圆 C：22(2)4xy+=交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（）A430 xy+=B2430 xy=C2410 xy+=D2430 xy+=数学试题 第 2 页，共 5 页 7已知直线 l1的方程是 yaxb，l2的方程是 ybxa(ab0，ab)，则下列图形中，正确的是（）A B C D 8 在数列中，若p为常数），则称为“等方差数
4、列”，下列是对“等方差数列”的判断：若是等方差数列，则是等差数列；不是等方差数列；若是等方差数列，则kna（*,kkN为常数）也是等方差数列；若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列。其中正确命题序号为（）A B C D 二二、多多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项选项中，中，有多有多项符合题目要求项符合题目要求。全部选对得。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9已知数列 na的前n项和为nS，25nSnn=，则下列说法不正
5、确不正确的是（）A na为等差数列 B0na CnS最小值为254 D na为单调递增数列 10已知空间中2,1,0AB=（），1,2,1AC=（），则下列结论正确的有（）AABAC B与AB共线的单位向量是()1,1,0 C11BC=D平面ABC的一个法向量是()1,2,5 na22*1,(2,nnaap nnN=nana2na)1(nnana数学试题 第 3 页，共 5 页 11已知曲线22:1xyCab=，则下列判断正确的是（）A若0ab=，则C是圆，其半径为a B若0ab，则C是双曲线，其渐近线方程为byxa=C若0ab，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D若1ab=，则C是两条直线 122
6、022 年 4 月 16 日 9 时 56 分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点 F（0，2），椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与 y 轴交于点 G若过原点 O的直线与上半椭圆交于点 A，与下半圆交于点 B，则（）A椭圆的长轴长为2 2 BAFG的周长为44 2+C线段 AB 长度的取值范围是4,22 2+DABF面积的最大值是4 2 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13抛物线 y
7、28 x 的焦点坐标为_ 14已知双曲线22:1yC xm=经过点()2,2，则离心率为_.15已知圆224xy+=上有且仅有 3 个点到直线l的距离等于 1，请写出满足上述条件的一条直线l方程_（写出一个正确答案即可）16空间直角坐标系xOy中，过点()000,P xyz且一个法向量为(),na b c=的平面的方程为()()()0000a xxb yyc zz+=，过点()000,P xyz且方向向量为()(),0nu v wuvw=的直线l的方程为000 xxyyzzuvw=，阅读上面材 数学试题 第 4 页，共 5 页 料，并解决下面问题：已知平面的方程为10 xyz+=，直线l是两个
8、平面20 xy+=与210 xz+=的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为_.四四、解答题：、解答题：本题共本题共 6 小题，小题，共共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知数列 na满足11a=，1+2nnnaa+=，*nN（1）求数列 na的通项公式；（2）设2nnban=，求数列 nb的前n项和nS 18（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别是11,DD BD BB的中点（1）求证：EFCF；（2）求EF与CG所成角的余弦值 19（本小题满
9、分 12 分）已知(1,0)A，(1,0)B，C为平面内的一个动点，且满足2ACBC=.（1）求点C的轨迹方程；（2）若直线l：10 xy+=，求直线l被曲线C截得的线段长度 AB1A1BC1CD1DEFG数学试题 第 5 页，共 5 页 20（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22ypx=经过点()2,2P，A、B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点（1）求抛物线C的方程；（2）若OAOB，求AOB面积的最小值 21（本小题满分 12 分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，/EF AC，1EF=，60ABC=，CE 平面ABCD，3CE=，=2CD，G是DE的中
10、点（1）求证：平面/ACG平面BEF；（2）求直线AD与平面ABF所成的角的正弦值 22（本小题满分 12 分）已知双曲线2222:1(0)xyCabab=的右焦点为()2,0,FO为坐标原点，双曲线C的两条渐近线的夹角为3（1）求双曲线C的方程；（2）过点F作直线l交C于,P Q两点，在x轴上是否存在定点M，使MP MQ为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由 数学试题答案 第 1 页，共 10 页 惠州市惠州市 2022-2023 学年第一学期期末质量检测学年第一学期期末质量检测 高二数学参考答案与评分细则高二数学参考答案与评分细则 一、一、单项选择题单项选择题：本题
11、共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分。分。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B C D A A 1.【解析】设直线的方程为20(3)xycc+=，把点()1,3P 坐标代入直线方程得1 60,c +=7c=所以所求的直线方程为270 xy+=.2【解析】设等差数列 na的公差为d.由已知条件，得14aa+=()221a+，即()()111321aadad+=+，解得2d=.3【解析】由题意以AB,AC,AD作为基底，BCACAB=，则AD BCADACABAD ACAD AB0=（）4【解析】椭圆的焦点在x轴上，故设其方程为：2222
12、1(0)xyabab+=，显然1c=，3b=，则2224abc=+=，故椭圆方程为22143xy+=.5【解析】由题意可知，向量a在坐标平面xOy上的投影向量是()2,1,0.6【解析】由210mxym+=，()2110 xmy+=，则令21=01=0 xy，解得1=2=1xy，故直线l过定点1,12P，由22(2)4xy+=，则圆心()0,2C，半径=2r，当ABCP时，弦AB最短，直线CP的斜率1 2212CPk=，则直线l的斜率12ABk=，故直线l为11122yx=，则2430 xy+=.7.【解析】逐一判定即可对于 A，由1l的图象知a0，由2l的图象知a0，故 A 正确；对于 B，
13、由1l的图象知a0，由2l的图象知a0，b0，b0，由2l的图象知a0，矛盾，故 C 错误；对于 D，由1l的图象知a0，b0，由2l的图象知a0，b0，矛盾，故 D 错误.8.【解析】na是等方差数列，221nnaap=（p为常数）得到 2na为首项是21a，公差为p的等差数学试题答案 第 2 页，共 10 页 数列；故正确 数列()1n中，()()221221110nnnnaa=,所以()1n是等方差数列；故不正确 数列 na中的项列举出来是1a,2a,.,ka,.2ka,.数列2kna中的项列举：ka,2ka,3ka.（ak+12ak2）（ak+22ak+12）a2k2a2k12p（ak
14、+12ak2）+（ak+22ak+12）+（a2k2a2k12）kp ak（n+1）2akn2kp，即数列akn是等方差数列，故正确；数列an是等差数列，anan1d1（n2）数列an是等方差数列，an2an12d2（n2），（an+an1）d1d2，当 d10 时，12122nddad=+为常数列；当 d10，数列an为常数列则该数列an必为常数列，故正确 正确命题的是，故 A 正确。二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
15、目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。题号 9 10 11 12 全部正确选项 BC ACD BC BC 9【解析】对于 A，当2n 时，()()221515126nnnaSSnnnnn=，1n=时114aS=满足上式，所以26,Nnann=,所以()()1216262nnaann+=+=，所以 na为等差数列，故 A 正确；对于 B，由上述过程可知26,Nnann=，12340,20,0aaa=，故 B 错误；对于 C，因为25nSnn=，对称轴为n=52.52=，又因为Nn，所以当2n=或 3 时，nS最小值为6，故 C 错误；
16、对于 D，由上述过程可知 na的公差等于 2，所以 na为单调递增数列，故 D 正确.10.【解析】对于 A，()()2,1,01,2,1220AB AC=+=，故ABAC，A 正确；对于 B，()1,1,0不是单位向量，且()1,1,0与()2,1,0AB=不共线，B 错误；对于 C，BCACAB3,1,1,BC11=（），C 正确；对于 D，设()1,2,5m=，则()()1,2,52,1,0220m AB=，()()1,2,53,1,13250m BC=+=，所以,mAB mBC，又ABBCB=，所以平面ABC的一个法向量是()1,2,5，D 正确.数学试题答案 第 3 页，共 10 页
17、 11.【解析】对于 A，若0ab=时，22:1xyCab=转化为22xya+=，半径为a，故 A 错误；对于 B，若0ab，当0,0ab，C是焦点在x轴上的双曲线，当0,0ab，C是焦点在y轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令220 xyab=，整理可得byxa=均是C的渐近线，B 正确；对于 C，若0ab，22:1xyCab=转化为22:1xyCab+=，由于0ab 可知，C是焦点在x轴上的椭圆，故 C 正确；对于 D，若1ab=，22:1xyCab=转化为221xy=，是双曲线不是两条直线，故 D 错误.12.【解析】对于 A，由题知，椭圆中2bc=，得222 2abc=+=，则24 2
18、a=，故 A 错误；对于 B，由定义知，24 2AFAGa+=，AFG的周长4 244 2LFG=+=+，B 正确；对于 C，2ABOBOAOA=+=+，由性质知22 2OA，所以422 2AB+，C 正确；对于 D,设AB所在直线方程为ykx=，联立22148ykxxy=+=可得282Axk=+，联立224ykxxy=+=可得241Bxk=+，则221184|2221ABFAOFOBFABSSSOFxOFxkk=+=+=+，显然20k，当2k增大时，228421ykk=+是减小，所以当0k=时，ABFS有最大值 4，故 D 错误.三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题
19、5分，共分，共20分。分。13()2,0，145 1623 151x=、1y=、20 xy+=、3450 xy+=，（写出一个即可）【注】【注】若答案形式为：0AxByC+=，则系数必须满足：222ABC+=若答案形式为：ykxb=+，则系数必须满足：221kb+=13【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,0 14【解析】双曲线22:1yC xm=经过点()2,2，所以421m=，解得4m=，所以双曲线方程为2214yx=，所以双曲线焦点在x轴上，1,2,5abc=，所以它的离心率为5e=.15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求，数学试题答案 第 4 页，共 1
20、0 页 设直线为0AxByC+=，则由题可知圆心（0,0）到直线的距离为 1，221CdAB=+，所以222ABC+=16【解析】因为平面的方程为+1=0 xy z，故其法向量可取为(1,1,1)p=，平面20 xy+=的法向量可取为(1,1,0)m=，平面2+1=0 xz的法向量可取为(2,0,1)n=，直线l是两个平面20 xy+=与2+1=0 xz的交线，设其方向向量为(,)s t q=，则=0=2=0mstnsq ，令1s=，则(1,1,2)=，故设直线l与平面所成的角为,0,2 ，则22sin|cos,|3|36ppp=，故答案为：23 四、解答题：共四、解答题：共 70 分。解答应
21、写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分，第一小问 5 分，第二小问 5 分。）【解析】（1）当2nnN，时，()()()112211nnnnnaaaaaaaa=+1 分【注：有累加思想可得【注：有累加思想可得 1 分】分】()()21222 1 1nann=+2 分()()21211nn=+(1)1(1)212nn+=+3 分【注：求和公式正确可得【注：求和公式正确可得 1 分】分】因为1n=也满足上式，4 分 21nann=+()nN 5 分（2）2221nnbannnn=+，则1nbn=+1 分 所以 nb是以0为首项，1为
22、公差的等差数列 2 分【注：必须写出首项和公差才可得【注：必须写出首项和公差才可得 1 分】分】故()()101S22nnbbnnn+=4 分 211S22nnn=+5 分 18（本小题满分 12 分，第一小问 7 分，第二小问 5 分。）【解法一】【解法一】（1）以D为坐标原点，DA为x轴正方向建立如图所示空间 直角坐标系1 分 则()()()0 0,1,11,0,0 2,0EFC，2 分 所以()1,1,1EF=3 分 数学试题答案 第 5 页，共 10 页()1,1,0CF=4 分 因为1 1 00EF CF=+=5 分 所以EFCF 6 分 即EFCF 7 分（2）由（1）知，()2
23、2,1G，1 分 则()2,0,1CG=2 分 所以cos,EF CGEF CGEFCG=3 分 1151535=4 分 所以EF与CG所成角的余弦值是15155 分【解【解法法二二】由题意得：在Rt EDF中有：22111,22222=+=EDDFBD，223=+=EFEDDF1 分 在Rt EDC中有：1,2=EDDC，225=+=ECEDDC2 分 在正方形ABCD中，122=CFAC3 分 在EFC中有：222+=EFFCCE 4 分 所以有：EFCF5 分（2）连接11,AE AF,取1A A的中点H，连接,HG HD,四边形1,AHDE HDCG为平行四边形1 分 1/,/HDAE
24、 HDCG 2 分 1/AECG 3 分 在11Rt ADE中有：2211115=+=AEADD E,在1Rt A AF中有：22116=+=AFA AAF,4 分 在1AEF中有：()()()222222111153615cos215253+=AEEFAFAEFAE EF6 分 数学试题答案 第 6 页，共 10 页 所以EF与CG所成角的余弦值为15157 分 19（本小题满分 12 分，第一小问 5 分，第二小问 7 分。）【解析】（1）由题意可设点C的坐标为(,)x y，由2ACBC=得 22(1)(0)xy+=222(1)(0)xy+，3 分 整理得点 C 的轨迹方程为22610 x
25、yx+=.5 分（2）由（1）可知，曲线()22:38Cxy+=1 分 则圆心坐标为()3,0，2 分 半径为2 23 分 则圆心到直线:10l xy+=的距离2230 111d+=+，4 分 2=5 分 所以弦的长度222 rd2 82=6 分 2 6=.7 分 直线l被曲线C截得的线段长度为2 6 20（本小题满分 12 分，第一小问 3 分，第二小问 9 分。）【解析】（1）由抛物线 C：22ypx=经过点()2,2P知44p=，1 分 解得1p=，2 分 则抛物线 C 的方程为22yx=；3 分（2）【解法一】【解法一】由题知，直线 AB 不与 y 轴垂直，设直线aAxyBt=+：，1
26、 分 由22xtyayx=+=消去 x，得2220ytya=，2 分 2480ta=+，设()11,A x y，()22,B xy，则122yyt+=，122y ya=，3 分 因为OAOB，所以0OA OB=即12120 x xy y+=，所以22121204y yy y+=4 分 解得120y y=（舍去）或124y y=，5 分 所以24a=即2a=，所以直线 AB：2xty=+，所以直线 AB 过定点()2,0，6 分 数学试题答案 第 7 页，共 10 页 22221212121212282AOBSyyyyy yyy=+=+，7 分 12284y y+=8 分 当且仅当12y=，22
27、y=或12y=，22y=时，等号成立，9 分 所以AOB面积的最小值为 4 【注：【注：AOB面积面积也可以用也可以用12AOBSOAOB=的方式来计算，按相应步骤给分即可】的方式来计算，按相应步骤给分即可】【解法二解法二】由题意知直线OA，直线OB的斜率均存在，且不为 0 1 分 不妨设直线OA方程为ykx=，代入22yx=得222(,)Akk 2 分 由OAOB可得2(2,2)Bkk3 分 2221OAkk=+4 分 22112OBkk=+5 分 22112 22AOBSOA OBkk=+7 分 2212 224kk+=8 分 当且仅当1k=时等号成立9 分 所以AOB面积的最小值为 4【
28、解法解法三三】当直线 AB 斜率不存在时，则AOB为等腰直角三角形，此时4AOBS=，1 分 当直线 AB 斜率存在时，设直线bAyxBk=+：，由22ykxbyx=+=消去 y，得()222210k xkbxb+=，2 分 840kb=+，设()11,A x y，()22,B xy，则()12221kbxxk+=，2122bx xk=，3 分 因为OAOB，所以0OA OB=即12120 x xy y+=，所以()()21212210kb xxkbx x+=4 分 解得0b=（舍去）或2bk=，5 分 所以直线 AB：()2yk x=，所以直线 AB 过定点()2,0，6 分 数学试题答案
29、第 8 页，共 10 页()()()2212121212122242AOBSyyk xk xkxxx x=+，7 分 24164k=+8 分 综上：AOB面积的最小值为 4 9 分 21（本小题满分 12 分，第一小问 5 分，第二小问 7 分。）【解析】（1）证明：连接BD交AC于O，则O是BD的中点，连接OG，G是DE的中点，/OG BE，1 分 BE 平面BEF，OG 平面BEF，/OG平面BEF；2 分 又/EF AC，AC 平面BEF，EF 平面BEF，/AC平面BEF，3 分 又ACOGO=，AC 面ACG，OG 面ACG，4 分 所以平面/ACG平面BEF 5 分（2）【解法一】
30、【解法一】连接OF，因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，所以ABC为等边三角形，所以=2AC，又1EF=，所以EFOC=且/EF OC，所以四边形OCEF为平行四边形，所以/OF CE，因为CE 平面ABCD，所以OF 平面ABCD，1 分 如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，2 分 则()1,0,0A，()0,3,0B，()0,3,0D，()0,0,3F，(1,3,0)AB=，(1,0,3)AF=，(1,3,0)AD=，3 分 设面ABF的法向量为=(,)ma b c，依题意有mABmAF，则=3=0=+3=0m AB abm AF ac，4 分
31、 令3a=，1b=，1c=，则(3,1,1)m=，5 分 所以3315cos,544 1AD mAD mADm+=+，6 分 所以直线AD与面ABF成的角的正弦值是1557 分【注：无写结论，本得分点不得分】【注：无写结论，本得分点不得分】【解法二】【解法二】连接OF，因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，所以ABC为等边三角形，所以=2AC，又1EF=，所以EFOC=且/EF OC，所以四边形OCEF为平行四边形，所以/OF CE，数学试题答案 第 9 页，共 10 页 因为CE 平面ABCD，所以OF 平面ABCD，1 分 在FOBRt中，622=+=OFBOBF，在FOARt中，222
32、=+=OFAOAF2 分 又在ABF中,2=AB，215=ABFS由等腰三角形易计算得3 分 设d为点D到平面ABF的距离 ABDFABFDVV=，即有FOSdSABDABF=3131 4 分 计算得：5152=d5 分 设直线AD与平面ABF所成的夹角为，则51525152sin=DAd6 分 所以直线AD与面ABF成的角的正弦值是1557 分【注：无写结论，本得分点不得分注：无写结论，本得分点不得分】22（本小题满分 12 分，第一小问 5 分，第二小问 7 分。）【解析】（1）双曲线22221xyab=的渐近线为byxa=，1 分 又0ab，01ba，结合已知条件可知渐近线的byxa=的
33、倾斜角为6，2 分 则33ba=，即3ab=3 分 又222ab+=，得3,1ab=4 分 所以双曲线C的方程是2213xy=5 分（2）当直线l不与x轴重合时，设直线l的方程为2xty=+，1 分 代入2213xy=，得22(2)33tyy+=，即()223410tyty+=2 分 设点()()1122,P x yQ xy，则12122241,33tyyy ytt+=3 分 设点(),0M m，则()()()()1212121222MP MQxmxmy ytymtymy y=+=+()()()22121212(2)ty ytmyym=+()()22223312113mtmmt+=4 分 数学试题答案 第 10 页，共 10 页 令()223121133mmm+=，得53m=，5 分 此时2239MP MQm=当直线l与x轴重合时，则点,P Q为双曲线的两顶点，不妨设点()()3,0,3,0PQ对于点5552,0,3,03,03339MMP MQ=6 分 所以存在定点5,03M，使2239MP MQm=为定值7 分