《中考数学思想方法【新定义问题】数与式中的新定义问题(学生版+解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学思想方法【新定义问题】数与式中的新定义问题(学生版+解析版).pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数与式中的新定义问题 知识方法精讲 1解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手 这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手 对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤 方法三：从日常生活中的实际问题入手
2、对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 （2）列代数式五点注意：仔细辨别词义 列代数式时，要先认真审题
3、，抓住关键词语，仔细辩析词义 如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分 分清数量关系要正确列代数式，只有分清数量之间的关系 注意运算顺序列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来规范书写格式列代数时要按要求规范地书写像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号注意代数式括号的适当运用 正确进行代换列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换
4、【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量 2要注意书写的规范性用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“”简写作“”或者省略不写 3在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数 4含有字母的除法，一般不用“”（除号），而是写成分数的形式 4规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进
5、行简单运算，从而得出通项公式（2）利用方程解决问题当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程 5取整函数 取整函数 不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作x xx称为 x 的小数部分，记作x（需要注意的是，对于负数，x指的并不是 x 小数点做右边的部分，x指的是 x 小数点右边的部分，例如对于负数3.7，3.74，而不是3，此时x3.7（4）0.3，而不是0.7）取整函数的图象一般都有跳跃性 一选择题（共 6 小题）1（2021秋南沙区期末）定义新运算“ab”：对于任意实数a，b，都有2()ababb，其中等式右边是通常的加法
6、、减法和乘法运算，如232(32)21 若0(xkk为实数）是关于x的方程，且2x 是这个方程的一个根，则k的值是()A4 B1或 4 C0 或 4 D1 或 4 2（2021 秋洪山区期末）定义：如果4(0,1)aN aa，那么x叫做以a为底N的对数，记作logaxN例如：因为2749，所以7log 492；因为3125s，所以log 1253S则下列说法中正确的有()个 6log 636；3log 814；若4log(14)4a，则50a；222log 128log 16log 8；A4 B3 C2 D1 3（2020 秋安新县期末）定义|abcd为二阶行列式，规定它的运算法则为|abad
7、bccd，那么当1x 时，二阶行列式12|35xx的值为()A7 B7 C1 D1 4（2021 秋六盘水月考）对于有理数a，b，定义2abab，则()()3xyxyx化简后得()Axy B6xy C6xy D4xy 5（2021 秋瑞安市月考）格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的九章算法类比大全一书中提出，例如图 1 所示计算8965，将被乘数 89 计入上行，乘数 65 计入右行然后以乘数 65 的每位数字乘被乘数 89 的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来，即得 5785现用格子乘法进行如图 2 计算，问：根据该计算得到的最终结果是()A3056 B3058 C4056 D4
8、058 6（2021 秋德城区校级月考）对于正整数n，我们定义一种“运算”：当n为奇数时，结果为1n；当n为偶数时，结果12n，并且运算重复进行例如，取9n，则若12n，则第 2019 次运算的结果是()A2018 B2017 C2 D1 二填空题（共 7 小题）7（2021 秋海曙区期末）对实数a、b规定一种新运算，若ababb，则方程x20的解是 8（2021秋顺义区期末）对于任意的正数a，b，定义运算“*”如下：,()*()ab a ba bbaab，计算(3*2)(48*50)的结果为 9（2021 秋迁安市期末）对于实数P，我们规定：用p表示不小于p的最小整数例如：42，32，现在对
9、 72 进行如下操作：727299332第一次第二次第三次，即对 72 只需进行 3 次操作后变为 2类比上述操作：对 36 只需进行 次操作后变为 2；如果只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中最大的数为 10（2021 秋金牛区期末）规定“”是一种新的运算符号：21a baab，已知3(2)1x，则x 11（2021 秋成都期末）对于实数x，y，定义新运算：*xyaxbyc，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知3*27，5*316，那么1*1 12（2021 秋福田区校级期末）规定：符号 x叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：55，2.62，0.20现
10、在有一列非负数1a，2a，3a，已知110a，当2n时，11215()55nnnnaa，则2022a的值为 13（2021金凤区二模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a(1)ba bb，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：323(21)2927 （1）2(3)（2）若2x等于5，则x 三解答题（共 13 小题）14（2021 秋顺德区期末）用“”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定12()21()2xy x yxyyx xy（1）求2(3)的值；（2）若2()2am，求m的最大整数；（3）若关于n的方程满足：3122nn，求n的值；（4）若3211822333Attt，321
11、123122Bttt，且2AB ，求35122tt的值 15（2021 秋门头沟区期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：(0)(0)aaabbab a 如：2233，(2)3231 根据上述定义，解决下列问题：（1）63 ，(5)5 ；（2）如果22(1)()1xxx，那么x ；（3）如果2(3)(2)xxx，求x的值 16（2021 秋通州区期末）现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为；将相邻的两个数作差再取绝对值图 1 是小欢两次操作的示意图：（1）图 2 是两次操作的过程，请将空缺的数补全；（2）在经过若干次操作后，如果这 4 个整数最终都变为 0，我们就称其进入了“稳定
12、状态”请将 1，2，3，4 以某种顺序排列在图 3 所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；（3）1，3，6，m这 4 个正整数以如图 4 的方式排列在正方形上如果通过三次操作进入“稳定状态”，请直接写出所有满足条件的m值 17（2021 秋鲁甸县期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a、b，规定：a22bababa，例如：1221 22 1 21 1 （1）求(2)3 的值；（2）求2a3 的值；（3）若(1)x 54，求x的值 18（2021 秋武昌区期末）知识背景：已知a，b为有理数，规定：f（a）|2|a，g（b）|3|b，例如：(3)|
13、32|5f ，(2)|23|1g 知识应用：（1）若f（a）g（b）0，求35ab的值；（2）求(1)(1)f ag a的最值；知识迁移：若有 理数a，b，c满足|3|3abcabc，且关 于x的方 程22axcacx有无数解，(24)0fb，求|25|7|3|abcabcb 的值 19（2021 秋北京期末）我们规定：使得abab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为(,)a b例如，因为1.50.61.50.6，(2)2(2)2，所以数对(1.5,0.6)，(2,2)都是“积差等数对”（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 ；2(2,)3；(1.5,3)；1(2，1)（2）若(,3)k
14、是“积差等数对”，求k的值；（3）若(,)m n是“积差等数对”，求代数式22432(1)2(32)6mnmmnmnm的值 20（2021 秋工业园区期末）对于任意有理数a、b，如果满足2323abab，那么称它们为“伴侣数对”，记为(,)a b（1）若(,2)x是“伴侣数对”，求x的值；（2）若(,)m n是“伴侣数对”，求135(32)2(3)2nmmn的值 21（2021九龙坡区校级模拟）对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为 0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“差同数”对于一个“差同数”N，将它的千位和个位构成的两位数
15、减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t，规定：2()29stF N例如：7513N，因为735 1，故：7513是一个“差同数”所以：735122715318st，则：2236(7513)229F（1）请判断 2586、8734 是否是“差同数”如果是，请求出()F N的值；（2）若自然数P，Q都是“差同数”，其中100010616Pxy，1003042(19Qmnx，08y，19m，07n，x，y，m，n都是整数），规定：()()F PkF Q，当3()()F PF Q能被 11 整除时，求k的最小值 22（2021宁波模拟
16、）规定一种新运算a22bab（1）求(1)2 的值；（2）这种新运算满足交换律吗？若不满足请举反例，若满足请说明理由 23（2020河北一模）有一种用“”定义的新运算，对于任意实数a，b，都有a221bba例如 724427131 （1）已知m3 的结果是4，则m （2）将两个实数2n和2n用这种新定义“”加以运算，结果为 9，则n的值是多少？24（2021 秋海淀区校级期末）在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，(,0)b ab ab，M为线段AB的中点 给出如下定义：若4OAOB，则称A是B的“正比点”；若4OAOB，则称A是B的“反比点”例如2a，12b 时，A是B的“正比点”；
17、2a，2b 时，A是B的“反比点”（1）若2|4|(8)0ab，则M对应的数为 ，下列说法正确的是 （填序号）A是M的“正比点”；A是M的“反比点”；B是M的“正比点”；B是M的“反比点”；（2）若0ab，且M是A的“正比点”，求ab的值；（3）若0ab，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出ab的值 25（2021 秋西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对(a，b，)c叫做关于x的二次多项式2axbxc的特征系数对，把关于x的二次多项式2axbxc叫做有序实数对(a，b，)c的特征多项式（1）关于x的二次多项式2321xx的特征系数对为 ；（2）求有序实
18、数对(1，4，4)的特征多项式与有序实数对(1，4，4)的特征多项式的乘积；（3）若有序实数对(p，q，1)的特征多项式与有序实数对(m，n，2)的特征多项式的乘积的结果为4322102xxxx，直接写出(421)(21)pqmn的值为 26 （2021 秋 庆 阳 期 末）若 规 定 这 样 一 种 新 运 算 法 则：2*2a baab 如3*(2)3*2 3(2)21 （1）求5*(3)的值；（2）若(4)*62xx ，求x的值 数与式中的新定义问题 知识方法精讲 1解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手 这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查
19、学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手 对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤 方法三：从日常生活中的实际问题入手 对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答
20、。2解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式 （2）列代数式五点注意：仔细辨别词义 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义 如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分 分清数量关系要正确列代数式，只有分清数量之间的关系 注意运算
21、顺序列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来规范书写格式列代数时要按要求规范地书写像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号注意代数式括号的适当运用 正确进行代换列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量 2要注意书写的规范性用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通
22、常将“”简写作“”或者省略不写 3在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数 4含有字母的除法，一般不用“”（除号），而是写成分数的形式 4规律型：数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式（2）利用方程解决问题当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程 5取整函数
23、取整函数 不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作x xx称为 x 的小数部分，记作x（需要注意的是，对于负数，x指的并不是 x 小数点做右边的部分，x指的是 x 小数点右边的部分，例如对于负数3.7，3.74，而不是3，此时x3.7（4）0.3，而不是0.7）取整函数的图象一般都有跳跃性 一选择题（共 6 小题）1（2021秋南沙区期末）定义新运算“ab”：对于任意实数a，b，都有2()ababb，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如232(32)21 若0(xkk为实数）是关于x的方程，且2x是这个方程的一个根，则k的值是()A4 B1或 4 C0 或 4 D1 或 4
24、【考点】方程的定义；解一元二次方程因式分解法；实数的运算【分析】根据定义运算“ab”：对于任意实数a，b，都有2()ababb，进行计算即可【解答】解：由题意得：20k，2(2)0kk，2540kk，11k，24k，故选：D【点评】本题考查了实数的运算，方程的定义，解一元二次方程因式分解法，理解定义新运算“ab”是解题的关键 2（2021 秋洪山区期末）定义：如果4(0,1)aN aa，那么x叫做以a为底N的对数，记作logaxN例如：因为2749，所以7log 492；因为3125s，所以log 1253S则下列说法中正确的有()个 6log 636；3log 814；若4log(14)4a
25、，则50a；222log 128log 16log 8；A4 B3 C2 D1【考点】有理数的乘方【分析】根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可【解答】解：166，6log 61，故不符合题意；4381，3log 814，故符合题意；44256，14256a，242a，故不符合题意；72128，2log 1287，4216，2log 164，328，2log 83，743，222log 128log 16log 8，故符合题意；综上所述，符合题意的有 2 个，故选：C【点评】本题考查了有理数的乘方，属于新定义问题，掌握对数和乘方互为逆运算是解题的关键 3（2020 秋安新县期末）定义|abc
26、d为二阶行列式，规定它的运算法则为|abadbccd，那么当1x 时，二阶行列式12|35xx的值为()A7 B7 C1 D1【考点】整式的加减化简求值；有理数的混合运算【分析】根据新定义运算法则列式，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值【解答】解：原式5(1)3(2)xx 5536xx 81x，当1x 时，原式8 1 18 17 ，故选：B【点评】本题考查整式的加减化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键 4（2021 秋六盘水月
27、考）对于有理数a，b，定义2abab，则()()3xyxyx化简后得()Axy B6xy C6xy D4xy 【考点】有理数的混合运算；整式的加减【分析】根据新定义运算列式，去括号，合并同类项进行化简，注意先算括号里面的，再算括号外面的【解答】解：原式2()()3xyxyx(22)3xyxyx(3)3xyx 2(3)3xyx 263xyx 6xy ，故选：B【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键 5（2021 秋瑞安市月
28、考）格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的九章算法类比大全一书中提出，例如图 1 所示计算89 65，将被乘数 89 计入上行，乘数 65 计入右行然后以乘数 65 的每位数字乘被乘数 89 的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来，即得 5785现用格子乘法进行如图 2 计算，问：根据该计算得到的最终结果是()A3056 B3058 C4056 D4058【考点】有理数的乘法；数学常识【分析】先根据题意推出4a，然后完成图 2 即可得解【解答】解：2 714，2 816，16 142，22aa，4a 计算过程如图所示：结果为 4056 故选：C【点评】本题考查了新定义，能够理解新定义，
29、根据题意推出a的值，是解题的关键 6（2021 秋德城区校级月考）对于正整数n，我们定义一种“运算”：当n为奇数时，结果为1n；当n为偶数时，结果12n，并且运算重复进行例如，取9n，则若12n，则第 2019 次运算的结果是()A2018 B2017 C2 D1【考点】有理数【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当9n时，第一、二、三、四、五次运算的结果，发现循环规律即可解答【解答】解：由题意可得，当9n时，第一次输出的结果为：10，第二次输出的结果为：5，第三次输出的结果为：6，第四次输出的结果为：3，第五次输出的结果为：4，第六次输出的结果为：2，第七次输出的结果为：1，第八次输出的结果
30、为：2，第九次输出的结果为：1，即从第六次开始 2 和 1 出现循环，偶数次为 2，奇数次为 1，当9n时，第 2019 次运算的结果是 1 故选：D【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点 二填空题（共 7 小题）7（2021 秋海曙区期末）对实数a、b规定一种新运算，若ababb，则方程x20的解是 1x 【考点】实数的运算；解一元一次方程【分析】根据题目已知的新运算，列出方程进行计算即可【解答】解：由题意得：220 x，22x，1x，故答案为：1x 【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解题目已知的新运算是解题的关键 8（
31、2021 秋顺义区期末）对于任意的正数a，b，定义运算“*”如下：,()*()ab a ba bbaab，计算(3*2)(48*50)的结果为 4 23 3 【考点】实数的运算【分析】根据题目已知的定义运算进行计算即可【解答】解：(3*2)(48*50)325048 325 24 3 4 23 3，故答案为：4 23 3【点评】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键 9（2021 秋迁安市期末）对于实数P，我们规定：用p表示不小于p的最小整数例如：42，32，现在对 72 进行如下操作：727299332第一次第二次第三次，即对 72 只需进行 3 次操作后变为 2类比上述操
32、作：对 36 只需进行 3 次操作后变为 2；如果只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中最大的数为 【考点】实数的运算；估算无理数的大小【分析】仿照题目已知的例题即可解答【解答】解：由题意得：现在对 36 进行如下操作：363666332第一次第二次第三次，对 36 只需进行 3 次操作后变为 2；现在对 256 进行如下操作：2562561616442第一次第二次第三次，如果只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中最大的数为：256；故答案为：3，256【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用p表示不小于p的最小整数，是解题的关键 10（2021
33、秋金牛区期末）规定“”是一种新的运算符号：21a baab，已知3(2)1x，则x 3 【考点】有理数的混合运算【分析】根据规定，先计算3(2)x，再解关于x的方程【解答】解：3(2)x 23(221)x 233(421)1x 9 1263 1x 617x，又3(2)1x，6171x 3x 故答案为：3【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，理解和掌握新定义的规定是解决本题的关键 11（2021 秋成都期末）对于实数x，y，定义新运算：*xyaxbyc，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算 已知3*27，5*316，那么1*1 2 【考点】实数的运算；解三元一次方程组【分析】根
34、据定义的新运算，列出关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组即可解答【解答】解：由定义可知：1*1abc，设abck，3*27，5*316，327abc，5316abc，由题意得：3275316abckabcabc，得：29ab，得：27abk，79k，2k，2abc，1*12，故答案为：2【点评】本题考查了实数的运算，解三元一次方程组，理解定义新运算是解题的关键 12（2021 秋福田区校级期末）规定：符号 x叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：55，2.62，0.20现在有一列非负数1a，2a，3a，已知110a，当2n时，11215()55nnnnaa，则2022a的值为 11
35、 【考点】取整函数【分析】由所给条件分别求出110a，211a，312a，413a，514a，610a，从而发现规律：每 5 个结果循环一次，则可得2022211aa【解答】解：110a，21115(0)115aa，322115()1255aa，433215()1355aa，544315()1455aa，65415(1)105aa，1a，2a，3a，每 5 个结果循环一次，202254042，2022211aa，故答案为：11【点评】本题考查取整函数，理解定义，通过对所给的数进行运算，发现结果的循环规律是解题的关键 13（2021金凤区二模）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a(1)ba b
36、b，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：323(21)2927 （1）2(3)1 （2）若2x等于5，则x 【考点】实数的运算【分析】（1）根据新定义运算法则进行求值即可求出答案（2）根据题意列出方程即可求出x的值【解答】解：（1）原式2(3 1)(3)2(2)3 43 1 故答案为：1（2）由题意可知：2(1)5xx，225xx，33x，1x，故答案为：1【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型 三解答题（共 13 小题）14（2021 秋顺德区期末）用“”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定12()21()2xy x yxyyx xy（
37、1）求2(3)的值；（2）若2()2am，求m的最大整数；（3）若关于n的方程满足：3122nn，求n的值；（4）若3211822333Attt，321123122Bttt，且2AB ，求35122tt的值【考点】解一元一次方程；整式的加减化简求值；有理数的混合运算【分析】（1）由定义可得，12(3)3242 ；（2）由20a，则221()22()22aam，即可求解；（3）分两种情况讨论：当1 n时，132222nn；当1n时，13222nn；求出n的值即可；（4）由 题 意 可 求32866Attt，32462Bttt，再 由AB，可 得32321462(866)22ABtttttt ，得
38、到3620tt，再求解即可【解答】解：（1）12(3)323 142 ；（2）20a，2221()22()2212aaam ，221 1a，m的最大整数 1；（3）当1 n时，132222nn，2n （舍)；当1n时，13222nn，35n；（4）3211822333Attt，321123122Bttt，32866Attt，32462Bttt，当A B时，即3232866462tttttt，21t（舍)；当AB时，即3232866462tttttt，21t，32321462(866)22ABtttttt ，3620tt，351222(62)1251241251tttttt 【点评】本题考查新定
39、义，整式的加减法，理解题意，熟练掌握整式的运算法则，分类讨论是解题的关键 15（2021 秋门头沟区期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：(0)(0)aaabbab a 如：2233，(2)3231 根据上述定义，解决下列问题：（1）63 2，(5)5 ；（2）如果22(1)()1xxx，那么x ；（3）如果2(3)(2)xxx，求x的值【考点】实数的运算；解分式方程【分析】（1）根据题目已知的定义运算，进行计算即可；（2）根据题意可知210 x ，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可；（3）分两种情况，230 x，230 x 【解答】解：（1）63 63 63 2，(5
40、)5 55 0，故答案为：2，0；（2）由题意可知210 x ，22(1)()1xxx，2211xxx，221xxx，1x ，检验：当1x 时，20 xx，1x 是原方程的根，故答案为：1；（3）当230 x 时，232xxx ，解得：32x，经检验32x 是原方程的解，但不符合230 x，32x 舍去，当230 x 时，232xxx ，解得：1x ，经检验1x 是原方程的解，且符合230 x，1x ，综上所述：x的值为1【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键 16（2021 秋通州区期末）现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为；将相邻的两个数作差再
41、取绝对值图 1 是小欢两次操作的示意图：（1）图 2 是两次操作的过程，请将空缺的数补全；（2）在经过若干次操作后，如果这 4 个整数最终都变为 0，我们就称其进入了“稳定状态”请将 1，2，3，4 以某种顺序排列在图 3 所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；（3）1，3，6，m这 4 个正整数以如图 4 的方式排列在正方形上如果通过三次操作进入“稳定状态”，请直接写出所有满足条件的m值 【考点】绝对值；规律型：数字的变化类【分析】（1）根据“将相邻的两个数作差再取绝对值”进行计算即可；（2）根据操作规定“将相邻的两个数作差再取绝对值”和“稳定状
42、态”的定义即可得出答案；（3）根据题意得出方程组，解方程组即可【解答】解：（1）根据“将相邻的两个数作差再取绝对值”可得：|27|5，|3 1|2，故答案为：5，2；（2）如图所示：（3）如图：|1|5|20|3|3|20|1|5|1|3|0|3|3|1|3|0mmmmmmmm ，解得：8m或 4 或2，m是正整数，满足条件的m值为 8 或 4【点评】本题考查了实数的运算，代数式的运算，含绝对值方程，解题关键是理解题意，读懂新定义并运用新定义 17（2021 秋鲁甸县期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a、b，规定：a22bababa，例如：1221 22 1 21 1 （1）求(2)3
43、 的值；（2）求2a3 的值；（3）若(1)x 54，求x的值【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算【分析】（1）按照定义的新运算进行计算即可；（2）按照定义的新运算进行计算即可；（3）按照定义的新运算，列出关于x方程，然后解方程即可求出x的值【解答】解：（1）(2)232 32(2)3(2)18 122 8；（2）2a23323222aaa 9322aaa 2a；（3）(1)x 525(1)10(1)1xxx 2525 10101xxx 1616x，16164x，解得：54x 【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解题目中定义的新运算是解题的关键 18（2021 秋武昌区期
44、末）知识背景：已知a，b为有理数，规定：f（a）|2|a，g（b）|3|b，例如：(3)|32|5f ，(2)|23|1g 知识应用：（1）若f（a）g（b）0，求35ab的值；（2）求(1)(1)f ag a的最值；知识迁移：若有理数a，b，c满足|3|3abcabc，且关于x的方 程22axcacx有无数解，(24)0fb，求|25|7|3|abcabcb 的值 【考点】绝对值；一元一次方程的解【分析】（1）根据题中的新规定列出等式，再利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果；（2）根据题中的新规定列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出最小值即可；知识迁
45、移：求出0ac，3b，再计算绝对值即可【解答】解：（1）f（a）|2|a，g（b）|3|b，f（a）g（b）|2|3|0ab，2a，3b ，353 25(3)61521ab ；（2）(1)(1)|3|2|f ag aaa，|3|2|aa表示点a到 3 和2的距离之和，|3|2|5aa，(1)(1)f ag a有最小值 5；知识迁移：整理22axcacx得()2()ac xac，方程有无数解，0ac，|3|()(3)|abcacb，当3ac b时，|3|33abcacbabc，3b，0ac；当3ac b时，|3|33abcbacabc，0ac，3b；(24)0fb，|242|0b，3b，3b，|
46、25|7|3|abcabcb|25|7|3|bbb 25(7)(3)bbb 5 【点评】本题考查新定义，理解定义，熟练掌握绝对值的性质，一元一次方程的解法是解题的关键 19（2021 秋北京期末）我们规定：使得abab成立的一对数a，b为“积差等数对”，记为(,)a b例如，因为1.50.61.5 0.6，(2)2(2)2，所以数对(1.5,0.6)，(2,2)都是“积差等数对”（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 ；2(2,)3；(1.5,3)；1(2，1)（2）若(,3)k 是“积差等数对”，求k的值；（3）若(,)m n是“积差等数对”，求代数式22432(1)2(32)6mnmmnm
47、nm的值【考点】整式的加减化简求值；解一元一次方程【分析】（1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断；（2）根据新定义内容列方程求解；（3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值【解答】解：（1）24233，24233，222233，故是“积差等数对”，1.531.5，1.5 34.5，1.531.5 3，故不是“积差等数对”，111(1)1222 ，11()(1)22，11(1)(1)22 ，故是“积差等数对”，故答案为：；（2）(,3)k 是“积差等数对”，(3)3kk ，解得：34k，k的值为34；（3）原式224(322)646mnmmnmnm
48、 2212488646mnmmnmnm 444mnmn，(,)m n是“积差等数对”，mnmn，原式44()mnmn 44mnmn 0【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键 20（2021 秋工业园区期末）对于任意有理数a、b，如果满足2323abab，那么称它们为“伴侣数对”，记为(,)a b（1）若(,2)x是“伴侣数对”，求x
49、的值；（2）若(,)m n是“伴侣数对”，求135(32)2(3)2nmmn的值【考点】整式的加减化简求值；解一元一次方程【分析】（1）根据新定义内容列方程求解；（2）先将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式进行化简，最后代入求值【解答】解：（1）(,2)x是“伴侣数对”，222323xx，整理，可得：22235xx，解得：89x ，即x的值为89；（2）原式13(151062)2nmmn 153532nmmn 9252nm，(,)m n是“伴侣数对”，2323mnmn，整理，可得：49mn，原式942()529nn 225nn 5【点评】本题属于新定义题目，解一元一次方
50、程，整式的加减化简求值，理解“伴侣数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键 21（2021九龙坡区校级模拟）对于一个四位自然数N，如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为 0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为“差同数”对于一个“差同数”N，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t