《中考数学思想方法【新定义问题】三角形中的新定义问题(学生版+解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学思想方法【新定义问题】三角形中的新定义问题(学生版+解析版).pdf（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、三角形中的新定义问题 知识方法精讲 1解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手 这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手 对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤 方法三：从日常生活中的实际问题入手
2、对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0且小于 180（2）三角形内角和定理：三角形内角和是
3、 180（3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角在转化中借助平行线（4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数 直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角 4线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”（2）性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这
4、一点到三个顶点的距离相等 5等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等 等腰三角形的两个底角相等【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论 6等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊
5、情况 在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴 7勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式 a2+b2c2 的变形有：a，b及 c（4）由于 a2+b2c2a2，所以 ca，同理 cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
6、边 8勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 说明：勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等 勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形 必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角然后进一步结合其他已知条件来解决问题 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是 9三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形
7、的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 10相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等（2）三
8、角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 11解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形（2）解直角三角形要用到的关系 锐角、直角之间的关系：A+B90；三边之间的关系：a2+b2c2；边角之间的关系：sinA，cosA，ta
9、nA（a，b，c 分别是A、B、C 的对边）一填空题（共 5 小题）1（2021 秋花都区期末）如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O已知120ADC，60ABC，小婵同学得到如下结论：ABC是等边三角形；2BDAD；ABCDSAC BD四边形；点M、N分别在线段AB、BC上，且60MDN，则MNAMCN，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）2（2021秋长宁区期末）定义：在ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且/DEBC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于
10、BC的横纵比 已知，在ABC中，4BC，BC上的高长为 3，DE关于BC的横纵比为2:3，则DE 3（2021 秋赣州期中）规定：若1(ax，1)y，2(bx，2)y，则1212a bx xy y 例如(1,3)a，(2,4)b，则1 23 421214a b 已知(1,1)axx，(3,4)bx，则a b的最小值是 4（2021 秋闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线已知ABC中，5ABAC，6BC，点D、E在边BC上，且2BD，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于 5（2021 秋邹
11、城市期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中称为“奇妙角”如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为 二解答题（共 15 小题）6（2021 秋鄞州区期末）【问题提出】如图 1，ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即ADAEBDCE，则称DE是ABC的“友好分割”线段（1）如图 1，若DE是ABC的“友好分割”线段，2ADCE，8AB，求AC的长；【发现证明】（2）如图 2，ABC中，点F在BC边上，/FDAC交AB于D，
12、/FEAB交AC于E，连结DE，求证：DE是ABC的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图 3，DE是ABC的“友好分割”线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画/AGDE交ADE的外接圆于点G，连结GE，设ADxDB，FCyFB 求y关于x的函数表达式；连结BG，CG，当916y 时，求BGCG的值 7（2021 秋石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对()can，如图 1，在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时BCcanBAB底边腰容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）30can ，若1ca
13、nB，则B （2）如图 2，在ABC中，ABAC，85canB，48ABCS，求ABC的周长 8（2021 秋丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PAPB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当060APB时，称P为线段AB的“远轴点”；当60180APB 时，称P为线段AB的“近轴点”（1）如图 1，点A，B的坐标分别为(2,0)，(2,0)，则在1(1,3)P，2(0,2)P，3(0,1)P，4(0,4)P中，线段AB的“轴点”是 ；线段AB的“近轴点”是 （2）如图 2，点A的坐标为(3,0)，点B在y轴正半轴上，30OAB若P为线段AB的“远轴
14、点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 9（2020 秋南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”（1）如图中，若ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE 写出BAD，BAC和BAE之间的数量关系，并证明（2）如图，ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE，点D、点E均在ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分BME（3）如图，若ABAC，60BACADC，试探究B和C的数量关系，并说明理由 10（2021 秋余姚市月考）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻
15、等三角形 例如：如图 1，ABC中，ADAD，ABAC，BC，则ABD与ACD是邻等三角形（1）如图 2，O中，点D是BC的中点，那么请判断ABD与ACD是否为邻等三角形，并说明理由（2）如图 3，以点(2,2)A为圆心，OA为半径的A交x轴于点(4,0)B，OBC是A的内接三角形，30COB 求C的度数和OC的长；点P在A上，若OCP与OBC是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标 11（2021 秋岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角，满足290，那我们称这个三角形为“近直角三角形”（1）若ABC是“近直角三角形”，90B，50C，则A ；（2）如图 1，在Rt ABC中，90BA
16、C，3AB，4AC 若BD是ABC的平分线，求证：BDC是“近直角三角形”；在边AC上是否存在点E（异于点)D，使得BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由（3）如图 2，在Rt ABC中，90BAC，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若BCD为“近直角三角形”，且5AB，3AF，求AD的长 12（2021 秋荔城区校级期中）概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两
17、个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念：（1）如图 1，在Rt ABC中，90ACB，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用：（2）如图 2，在ABC中，CD为角平分线，40A，60B 求证：CD为ABC的等角分割线 动手操作：（3）在ABC中，若50A，CD是ABC的等角分割线，请求出所有可能的ACB的度数 13（2021 秋金安区校级期中）概念学习：已知ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形，其内角与ABC的三个内角分别相等
18、，那么就称点P为ABC的等角点 理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”内角分别为30、60、90的三角形存在等角点 ；任意的三角形都存在等角点 （2）如图中，点P是锐角三角形ABC的等角点，若BACPBC，探究图中么BPC、ABC、ACP之间的数量关系，并说明理由 14（2021安溪县模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于点P、Q和图形G，给出如下定义：若图形G上存在一点C，使90PQC，则称点Q为点P关于图形G的一个“直角联络点”已知点(4,0)A，(4,4)B（1）在点(2,2)M、(4,1)N中，点O关于点A的“直角联络点”
19、是 .（直接写出符合条件的点）（2）点E的坐标为(2,)m，若点E是点O关于点B的“直角联络点”，求m 15（2021临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差 （1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为 2 的等腰三角形中，底角的勾股差为 ；（2）性质探究：如图 1，CD是ABC的中线，ACb，BCa，2ABc，CDd，记ACD中ADC的勾股差为m，BCD中BDC的勾股差为n；求m，n的值（用含a，b，c，d的代数式表示）；试说明m与n互为相反数；（3）性质应用：如图 2，在四边形ABCD中，点E与F分别是AB与BC的中点，连接
20、BD，DE，DF，若34DFAB，且CDBD，CDAD，求DEDF的值 16（2021 秋南昌期中）【概念学习】如图 1，2，已知ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC、PAC中，如果存在一个三角形，其内角与ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为ABC的等角点【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”等边三角形存在等角点：；等腰直角三角形存在等角点：；内角分别为30、60、90的三角形存在等角点：；任意的三角形都存在等角点：；【深入理解】（2）如图 1，点P是锐角ABC的等角点，且PBC与ABC的三个
21、内角分别相等，已知：若50BAC，10PBAPCA，求ABC的度数；（3）如图 2，点P是锐角ABC的等角点，若BACPCB，探究BPC、ACB、ABP之间的数量关系，并说明理由 17（2021 秋诸暨市期中）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”如图 1 在ABC中，若222ABACAB ACBC，则ABC是“和谐三角形”（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假”)（2）若Rt ABC中，90C，ABc，ACb，BCa，且ba，若ABC是“和谐三角形”，求:a b c 18（2021 秋大田县期中）在平面直角坐标系xOy中，将三点A，
22、B，C的“矩面积”记为S，定义如下：A，B，C中任意两点横坐标差的最大值a称为“水平底”，任意两点纵坐标差的最大值h称为“铅垂高”，“水平底”与“铅垂高”的乘积即为点A，B，C的“矩面积”，即Sah例如：点(1,2)A，(3,1)B，(2,2)C，它们的“水平底”为5，“铅垂高”为4，“矩面积”5 420S 解决以下问题：（1）已知点(2,1)A，(2,3)B，(0,5)C，求A，B，C的“矩面积”；（2）已知点(2,1)A，(2,3)B，(0,)Ct，且A，B，C的“矩面积”为 12，求t的值；（3）已知点(2,1)A，(2,3)B，(,1)C t t，若0t，且A，B，C的“矩面积”为 2
23、5，求t的值 19（2021 秋广陵区期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心（1）如图 1，点P在线段BC上，90ABPAPDPCD ，BPCD求证：点P是APD的准外心；（2）如图 2，在Rt ABC中，90BAC，5BC，3AB，ABC的准外心P在ABC的直角边上，试求AP的长 20（2021 秋西城区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点1(P x，1)y，2(Q x，2)y，定义它们之间的“直角距离”为1212(,)|d P Qxxyy 对于平面直角坐标系内的任意两个图形M，N，给出
24、如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“直角距离”，记作(,)D M N（1）已知(1,0)A，(0,2)B，则(,)d A B ，(,)D O AB ；（2）已知(1,0)A，(0,)Bt，若(,)1D O AB，则t的取值范围是 ；（3）已知(1,0)A，若坐标平面内的点P满足(,)1d P A，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是 ；（4）已知(1,0)A，(0,2)B，直线l过点(0,)t且垂直于y轴，若直线l上存在点Q满足(d Q，)(Ad Q，)B，则t的取值范围是 三角形
25、中的新定义问题 知识方法精讲 1解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手 这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手 对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤 方法三：从日常生活中的实际问题入手 对于一
26、些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于 0且小于 180（2）三角形内角和定理：三角形内角和是 18
27、0（3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角在转化中借助平行线（4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数 直接根据两已知角求第三个角；依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角 4线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”（2）性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到
28、三个顶点的距离相等 5等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（2）等腰三角形的性质 等腰三角形的两腰相等 等腰三角形的两个底角相等【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论 6等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况
29、在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴 7勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2c2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式 a2+b2c2 的变形有：a，b及 c（4）由于 a2+b2c2a2，所以 ca，同理 cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边 8
30、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形 说明：勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等 勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形 必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角然后进一步结合其他已知条件来解决问题 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是 9三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个
31、顶点的圆，叫做三角形的外接圆（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部 找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个 10相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等（2）三角形相
32、似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可 11解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形（2）解直角三角形要用到的关系 锐角、直角之间的关系：A+B90；三边之间的关系：a2+b2c2；边角之间的关系：sinA，cosA，tanA（
33、a，b，c 分别是A、B、C 的对边）一填空题（共 5 小题）1（2021 秋花都区期末）如图，在四边形ABCD中，ABBC，ADCD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O已知120ADC，60ABC，小婵同学得到如下结论：ABC是等边三角形；2BDAD；ABCDSAC BD四边形；点M、N分别在线段AB、BC上，且60MDN，则MNAMCN，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）【考点】三角形综合题【分析】由“筝形”的性质可得ABBC，ADCD，可证ABC是等边三角形，故正确；由“SSS”可证ABDCBD，可得30ABDCBD，60AD
34、BBDC，由直角三角形的性质可得2BDAD，故正确；由面积关系可求12ABCDSACBD四边形，故错误；延长BC到E，使CEAM，连接DE，由“SAS”可证MDNEDN，可得MNEN，由线段和差关系可得MNAMCN，故正确，即可求解【解答】解：四边形ABCD是“筝形”四边形，ABBC，ADCD，60ABC，ABC是等边三角形，故正确；60BACBCA，ADCD，120ADC，30DACDCA，90DAB，ADCD，ABBC，BDBD，()ABDCBD SSS，30ABDCBD，60ADBBDC，2BDAD，故正确；603090DOCDACADB，ACBD，ACDACBABCDSSS四边形，11
35、1222ABCDSACODACOBACBD四边形，故错误；延长BC到E，使CEAM，连接DE，如图所示：90DABDCB，90DABDCE，又AMCE，ADCD，()ADMCDE SAS，ADMCDE，DMDE，120ADC，60MDN，60ADMCDNADCMDN，60CDECDNEDN，EDNMDN，又DNDN，()MDNEDN SAS，MNEN，ENCECNAMCN，AMCNMN，故正确；故答案为：【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键 2（2021秋长宁区期末）定义：在ABC中，点D
36、和点E分别在AB边、AC边上，且/DEBC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比 已知，在ABC中，4BC，BC上的高长为 3，DE关于BC的横纵比为2:3，则DE 43 【考点】相似三角形的判定与性质【分析】先证明ABCADE，由相似三角形的性质可求解【解答】解：DE关于BC的横纵比为2:3，设点D、点E之间距离为2x，直线DE与直线BC间的距离为3x，/DEBC，ABCADE，23343xx，23x，423DEx，故答案为：43【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的关键 3（2021 秋赣州期中）规定：若1(ax，
37、1)y，2(bx，2)y，则1212a bx xy y 例如(1,3)a，(2,4)b，则1 23 421214a b 已知(1,1)axx，(3,4)bx，则a b的最小值是 8 【考点】新定义，平面向量【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于x的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可【解答】解：根据题意知：2(1)(3)4(1)(1)8a bxxxx 所以当1x 时，2(1 1)88a b 即a b的最小值是8 故答案是：8【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值 4（2021 秋闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把
38、这条直线称作为这个平面图形的一条优美线已知ABC中，5ABAC，6BC，点D、E在边BC上，且2BD，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于 167 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】作GDC使得GD是ABC的一条优美线，过点G作GHBC于H，根据/EFGH，得CGHCAE，DELDGH，列出比例式，代入数值计算即可求解【解答】解：如图，5ABAC，E为BC的中点，AEBC，132BEECBC，224AEABBE，11641222ABCSBCAE，624DCBCBD，作GDC使得GD是ABC的一条优美线，过点G作GHBC于H，则162GDCABCSS，6
39、 23GHDC ，GHBC，AEBC，/GHAE，CGHCAE，HCGHECAE，设HCx，则334x，解得：94x，93344EHECHC，DEFDGH，EFEDGHDH，又976244DHBCBDHC，即137EF，解得：127EF，1216477AFAEEF，故答案为：167【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形求出线段EF的长是解题的关键 5（2021 秋邹城市期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中称为“奇妙角”如果一个“奇妙三角形”的一个内角为60，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数
40、为 30，90或40，80 【考点】三角形内角和定理【分析】分两种情况讨论：当60的角为“奇妙角”时，有另一个角为30，由三角形的内角和可求得第三个内角为90；当60的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为1，2，且12 2 ，由三角形的内角和可求解【解答】解：由题意得：当60的角为“奇妙角”时，有另一个角为30，第三个内角为180603090；当60的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为1，2，且12 2 ，有1260180 ，即2 22120 ，解得：240，故180 综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30，90或40，80 故答案为：30，90或40，80【点评】本题主要
41、考查三角形的内角和，解答的关键是对已知60的角进行分类讨论 二解答题（共 15 小题）6（2021 秋鄞州区期末）【问题提出】如图 1，ABC中，线段DE的端点D，E分别在边AB和AC上，若位于DE上方的两条线段AD和AE之积等于DE下方的两条线段BD和CE之积，即ADAEBDCE，则称DE是ABC的“友好分割”线段（1）如图 1，若DE是ABC的“友好分割”线段，2ADCE，8AB，求AC的长；【发现证明】（2）如图 2，ABC中，点F在BC边上，/FDAC交AB于D，/FEAB交AC于E，连结DE，求证：DE是ABC的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图 3，DE是ABC的“友好分割”
42、线段，连结DE并延长交BC的延长线于F，过点A画/AGDE交ADE的外接圆于点G，连结GE，设ADxDB，FCyFB 求y关于x的函数表达式；连结BG，CG，当916y 时，求BGCG的值 【考点】圆的综合题【分析】（1）设AEx，利用“友好分割”线段的定义得到等积式，将已知条件代入等积式中化简求得AE，则ACAEEC，结论可得；（2）利用平行线分线段成比例定理，通过等量代换即可得出结论；（3）过点C作/CHBD交DF于点H，利用平行线分线段成比例定理，得到比例式FCCHFBBD，ADAECHCE，将两个等式左右分别相乘，整理后将ADxDB，FCyFB代入即可得出结论；利用的结论可以得到34A
43、DBD；通过证明BDGGEC，利用相似三角形的性质得出结论【解答】（1）解：设AEx，DE是ABC的“友好分割”线段，AD AEBD EC 2ADCE，8AB，2(8)EC AEADEC 282xEC 4xEC，4AEEC 4ACAEEC（2）证明：/FDAC，BDBFADFC/FEAB，BFAEFCEC BDAEADEC AD AEBD EC DE是ABC的“友好分割”线段；（3）解：DE是ABC的“友好分割”线段，AD AEBD EC ADECBDAE ADxDB，ECxAE 过点C作/CHBD交DF于点H，如图，/CHBD，FCCHFBBD，ADAECHCE FCAECHADFBCEBD
44、CH FCAEADFBECBD ADxDB，FCyFB，1yxx 2yx y关于x的函数表达式为：2yx；连接DG，如图，916y，2yx，2916x 0 x，34x 即34ADBD/AGDE，ADEG ADEG ADAGEGAG DAGEGA AEDG，ADEGED BDFGEF ADEG，GDEAED AEDCEF，GDECEF BDFGDEGEFCEF 即BDGGEC DE是ABC的“友好分割”线段，AD AEBD EC ADECBDAE EGECBDDG BDGGEC BGBDCGEG EGAD，43BGBDCGAD【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，圆周角定理及其推论，圆心
45、角，弧，弦的关系定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，过点C作/CHBD交DF于点H是解题的关键也是解决此类问题常添加的辅助线 7（2021 秋石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对()can，如图 1，在ABC中，ABAC，底角B的邻对记作canB，这时BCcanBAB底边腰容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）30can 3，若1canB，则B （2）如图 2，在ABC中，ABAC，85canB，48ABCS，求ABC的周长 【考点】解直角三角形【分析】（1）根据定义，要求30can的值，想利用等腰三角形的三
46、线合一性质，想到过点A作ADBC，垂足为D，根据30B，可得：32BDAB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，根据定义，1canB，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得60B；（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作ADBC，垂足为D，85canB，所以设8BCx，5ABx，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用48ABCS，列出关于x的方程即可解答【解答】解：（1）如图：过点A作ADBC，垂足为D，ABAC，ADBC，2BCBD，30B，3cos302BDABAB，23BCBDAB，3303BCABcanABAB，若1canB，1BC
47、canBAB，BCAB，ABAC，ABBCAC，ABC是等边三角形，60B，故答案为：3，60；（2）过点A作ADBC，垂足为D，85canB，85BCAB，设8BCx，5ABx，ABAC，ADBC，142BDBCx，223ADABBDx，48ABCS，1482BC AD，183482xx，24x，2x（负值舍去），2x，10ABAC，16BC，ABC的周长为 36，答：ABC的周长为 36【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键 8（2021 秋丰台区期末）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PAPB，则称P为线段AB的“
48、轴点”，其中，当060APB时，称P为线段AB的“远轴点”；当60180APB 时，称P为线段AB的“近轴点”（1）如图 1，点A，B的坐标分别为(2,0)，(2,0)，则在1(1,3)P，2(0,2)P，3(0,1)P，4(0,4)P中，线段AB的“轴点”是 2P，4P；线段AB的“近轴点”是 （2）如图 2，点A的坐标为(3,0)，点B在y轴正半轴上，30OAB若P为线段AB的“远轴点”，请直接写出点P的横坐标t的取值范围 【考点】坐标与图形性质【分析】（1）由题意可知A、B关于y轴对称，则线段的“轴点”在y轴上；（2）分两种情况：当P点在线段AB上方时，当P点在线段AB下方时，分别求PA
49、B为等边三角形时t的值，即可确定t的取值范围【解答】解：（1）(2,0)A，(2,0)B，A、B关于y轴对称，PAPB，P点在y轴上，线段AB的“轴点”是2P，4P，当2(0,2)P时，2APOP，45APO，90APB，2P是线段AB的“近轴点”，故答案为：2P，4P；2P；（2）如图 1，30BAO，60ABO，APBP，(3,0)A，3OB，当P点在y轴上时，(0,3)P，当0t 时，P为线段AB的“远轴点”；如图 2，当APx轴时，30BAO，60PAB，PAPB，60APB，此时P点是线段AB的“远轴点”，(3,0)A，3OA，2 3AB，2 3AP，2 3t 时P为线段AB的“远轴
50、点”；综上所述：0t 或2 3t 时P为线段AB的“远轴点”，故答案为：0t 或2 3t 【点评】本题考查坐标与图形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质是解题的关键 9（2020 秋南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”（1）如图中，若ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE 写出BAD，BAC和BAE之间的数量关系，并证明（2）如图，ABC和ADE互为“兄弟三角形”，ABAC，ADAE，点D、点E均在ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分BME（3）如图，若ABAC，60BACADC，试探究B和C的数量关系，并