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1、2021-2022 学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷 一、填空题：（共 12 小题，前 6 题每小题 4 分满分 54 分，后 6 题每小题 4 分满分 54 分，共计 54 分）1（4 分）已知 A0，1，Bx|xA，用适当的方法表示集合 A、B 的关系：2（4 分）若集合 Ax|（k+1）x2+xk0有且仅有两个子集，则实数 k 的值是 3（4 分）若正数 x，y 满足 x2+3xy10，则 x+y 的最小值是 4（4 分）若幂函数 在（0，+）上是增函数，则 m 5（4 分）数列an中，an1006n（nN*），Sn|a1|+|a2|+|an|，则 Sn 6（4 分）已知方程 x
2、2ax+b0 的两根为 x1、x2，方程 x2bx+c0 的两根为 x3、x4，集合 Mx1，x2，x3，x4，定义：集合 Ax|xu+v，u、vM，uv5，9，10，13，14，18，集合 Bx|xuv，u、vM，uv6，14，21，22，33，77，则集合 M 7（5 分）若数列 8（5 分）已知函数 中的最大项是第 k 项，则 k 有最小值，则实数 k 的取值范围 是 9（5 分）已知两个等比数列an，bn满足 a1a（a0），b1a11，b2a22，b3a3 3，若数列an唯一，则 a 10（5 分）数列an的通项公式是 Sn，则 等于 ，前 n 项和为 11（5 分）已知等差数列an
3、的通项公式为 an3n1，等比数列bn满足 b1a1，b2ap（p1），且数列bn中的每一项都是数列an中的项，则所有满足上述条件的 p 组成的集合为 12（5 分）已知以下若干个命题：（）设A 是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A 且 k+1A，那么称 k 是 A 的一个“孤立元”；给定 S1，2，3，4，5，6，7，8，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合的数是7 个；第1页（共15页）（）已知 a、b、cR，设：关于 x 的不等式|xa|+|xb|c 的解集为，：|ab|c，那么 是 的必要非充分条件；（）定义域均为 R 的函数 f（x）4x 和 g（x）
4、e2xln2 为同一函数；（）如果函数h（x）的图像连续不断，h（1）h（1）0，则函数 h（x）在（1，1）上没有零点；（）已知f（x）是定义在R 上的奇函数，当x0 时，f（x）x24x，则不等式f（x）x 的解集用区间表示为（5，0）（0，5）；（）已知各项均为正的等比数列 bn的首项 b11，公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 ，则公比 q 的取值范围是（0，1；正确命题的编号为 二、选择题：（共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分）13（5 分）下列各项中，99.100，31.4.，68.690.，5.4 60.5 ，成立的 有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 14（
5、5 分）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车 辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立 这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度 v（单位：千米/小时）是车流密度 x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20 辆/千米时，车流速度为60 千米/小时研究表明，当x20，200时，车流速度v 是车流密度 x 的一次函数问：当车流密度多大时，车流量（单位时 间内通过桥上某观测点的车辆数
6、，单位：辆/小时）可以达到最大？（）A60 B100 C200 D600 15（5 分）幂函数 yxa，当 a 取不同的正数时，在区间0，1上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点 A（1，0），B（0，1），连结 AB，线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 yxa，yxb 的图象三等分，即有 BMMNNA，那么 a（）第2页（共15页）A0 B1 C D2 16（5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1，1）上 ，其中 aR，若，则 f（5a）的值 是（）A B C D 三、解答题：（共 5 小题，解答本大题要有必要的过程，共计 76 分）17（14 分）已知等差
7、数列an和等比数列bn满足 a14，b12，a22b21，a3b3+2（）求 an和bn的通项公式；（）数列 an和bn中的所有项分别构成集合 A，B，将 AB 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 cn，求数列cn的前 60 项和 S60 18（14 分）已知等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，an0，2a2+a3a4，S54a4 1 （1）求 an；（2）在平面直角坐标系 xOy 中，设点 Qk（k，bk）（k1，2，3，），直线 QkQk+1 的斜率为 2k，且 b11，求数列bn的通项公式 19（14 分）设 a 为实数，函数 f（x）x2+|xa|1，xR（1）讨论
8、 f（x）的奇偶性；（2）求 f（x）的最小值 20（16 分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，a 使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA 为开红花，Aa 和 aA 一样不加区分为开粉色花，aa 为开白色花生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个 第3页（共15页）上一代的遗传因子以 的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的可以 把第 n 代的遗传设想为第 n 次实验的结果，每一
9、次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状 Aa 的父系来说，如果抛出正面就选择因子 A，如果抛出反面就选择因子 a，概率都是；对母系也一样父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代 的遗传性状假设三种遗传性状 AA，Aa（或 aA），aa 在父系和母系中以同样的比例 u：v：（u+v+1）出现，则在随机杂交实验中，遗传因子 A 被选中的概率是 pu+，遗传因子 a 被选中的概率是 q+，称 p，q 分别为父系和母系中遗传因子 A 和 a 的频率，p：q 实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比 基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是 Aa，后代遗
10、传性状为 AA，Aa（或 aA），aa 的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状 aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为 AA 和 Aa（或 aA）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子 A 被选中的概率为 p，a 被选中的概率为 q，p+q1求杂交所得子代的三 种遗传性状 AA，Aa（或 aA），aa 所占的比例 u1，v1，1（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa 的个体假设得到的第 n 代总体中 3 种遗传性状 AA，Aa（或 aA），aa 所占比例分别为 un，vn，n（un+vn+n1）设第 n 代遗
11、传因子 A 和 a 的频率分别为 pn 和 qn，已知有以下公式 pn ，qn，n1，2，证明 是等差数列 （4）求 un，vn，n 的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？21（18 分）数学作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调深入、运作熟练和表达明晰三个方面三者的关系是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握 数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多 与快为荣，但不求甚解，就很难和数学真正结缘，是不值得鼓励和提倡的小杰同学在 准备摸底考试时有做过下面 3 题，请你从判题人的角度出发，帮助他看看这样
12、做是否正确，若不正确，请指出并予以改正（）题目：用数学归纳法证明 1+3+5+（2n1）n2（nN，n1）第4页（共15页）证明：（1）当 n1 时，左边1，右边1，所以等式成立；（2）假设 nk 时，等式成立，即 1+3+5+（2k1）k2（kN，k1），那么当 nk+1 时，1+3+5+（2k1）+（2k+1）所 以当 nk+1 时，等式也成立；根据（1）（2），由数学归纳法断定，此等式对一切正整数 n 都成立 （）题目：已知数列an 的通项公式为 an 2n 1，是否存在正数 K，使得 对于一切正整数 n 恒成立？解答：假设存在这样的正数 K，设 f（n）（）（1+）.（1+），由 an
13、2n 1，nN，n1，则an是正项数列，那么对于任意的1+，均存在 1+1，所以 每增加一项，f（n+1）都会比 f（n）大，所以 f（n）是一个严格增函数；设 g（n），易证 g（n）也为严格增函数；由于是两个严格增函数相除，所以得到的函数 绝对不具备单调性，故不存在最小值，所以也不会存在这样的正数K （）题目：已知f1（x），f2（x），其 m2函数 yg（x）的表达式为，若对于任意 x12，+），总存在唯一确定 x2 （，2），使得 g（x1）g（x2）成立，求 m 的取值范围 解答：题意等价于：设g（x）在2，+）上的值域为D，则对于的kD，直线 yk 与 g（x）在（，2）的图像上有
14、且仅有一个交点，求m 的取值范围 （1）当 x2，+）时，g（x）f1（x），由对勾函数的性质 可以得知，该函数在2，+）上是严格减函数，且函数值大于 0，g（x）maxg（2），则值域为（0，；（2）当 x（，2），由于 m2，则 g（x）f2（x），m x0，所以该函数在（，2）上是严格减函数，其最大值小于 1，则值域为（0，1）；故只需要 1，即 m16 即可，因此，m 的取值范围为2，16）第5页（共15页）2021-2022 学年上海市复旦附中高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题：（共 12 小题，前 6 题每小题 4 分满分 54 分，后 6 题每小题 4 分满分
15、 54 分，共计 54 分）1【解答】解：A0，1，Bx|xA，1，0，0，1，故 AB，故答案为：AB 2.【解答】解：Ax|（k+1）x2+xk0有且仅有两个子集，集合A 中只有一个元素 当 k+10 时，k1，方程（k+1）x2+xk0 化为 x+10，x1，A1 满足题意 当 k+10 时，对于方程（k+1）x2+xk0 有两个相同的根，14（k+1）（k）0 k，故 k1 或 3.【解答】解：正数 x，y 满足 x2+3xy10，3xy1x2，则 y，x+yx+号，+2 ，当且仅当 即 x 时取等 故 x+y 的最小值是 故答案为：4.【解答】解：幂函数 在（0，+）上是增函数，解得
16、 m1 故答案为1 5.【解答】解：数列an中，an1006n（nN*），第6页（共15页）1 1 2 n 16 17 1 2 n 1 2 16 1 2 n 1 2 1 2 3 4 3 4 2 1 2 1 2 3 4 1 3 3 2 3 1 3 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 3 3 2 3 1 4 2 4 3 4 1 3 3 2 3 1 3 3 2 3 则 a 1006194，d1006（n+1）（1006n）6，数列an为等差数列，a 10061640，a 10061720，Sn|a|+|a|+|a|，当 n16 时，Sna +a+a ，当 n16 时，Sn2（a +a+a）（a+
17、a+a）3n297n+1568，综上所述，6【解答】解：根据韦达定理可得：x+x a，x x b，x +x b，x x c；由题意可得：aA，bB，bA，cB，所以 b 是 A 和 B 集合的交集，得出 b14；根据 A，B 集合值可知 x，x，x，x 均是正整数，所以 b14x x，不妨设 x 2，1 2 3 4 1 2 1 x 7，因为 x+x a，aA，所以 a9 集合 Ax|xu+v，u、vM，uv5，9，10，13，14，18，即有 x+x，x+x，x+x，1 2 1 3 1 3 x+x，x+x，x+x，x+x 分别是集合中的六个值，已经有 x+x 9，1 4 2 3 2 4 3 4
18、 1 2 当 x+x 5 时，x 3，x+x 10，则x+x，x+x，x+x 分别为剩下的 13，14，18因为 x 2，x 7，x 3，则 x 11 当 x+x 10 时，x 8，则 x+x 15A，矛盾；当 x+x 13 时，得 x 11，则 x+x 18，则 x+x，x+x，x+x 分别为剩下的 5，10，14因为 x 2，x 7，x 11，则 x 3 当 x+x 14 时，得 x 12，则 x+x 19A，矛盾；当 x+x 18 时，得 x 16，则 x+x 23A，矛盾；综上所述满足条件的 M 集合为 2，7，3，11 故答案：M2，7，3，11 7.【解答】解：令，第7页（共15页
19、）1 2 3 4 假设 1，则 2（n+1）（n+5）3n（n+4），即 n210，所以 n4，又 n 是整数，即 n3 时，an+1an，当 n4 时，an+1an，所以 a4 最大 故答案为：4 8.【解答】解：设 mkx2+（k+2）x+k+2，因为 y 在 m（0，+）上是单调递减函数且有最小值，所以 mkx2+（k+2）x+k+2 有最大值 当 k0 时，m2x+2，由 m0，解得 x1，此时 m 没有最小值，不满足题意；当 k0 时，mkx2+（k+2）x+k+2 的图象是开口向上的抛物线，m 无最大值，不满足题意；当 k0 时，mkx2+（k+2）x+k+2 的图象是开口向下的抛
20、物线，m 有最大值，所以（k+2）24k（k+2）0，化简得 3k2+4k40，解得：2k 所以2k0，综上所述，实数 k 的取值范围是（2，0）故答案为：（2，0）9.【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a1a（a0），b1a11，b2a22，b3 a33，b11+a，b22+aq，b33+aq2；b1，b2，b3 成等比数列，由题意可得（2+aq）2（1+a）（3+aq2），整理得关于未知数 q 的方程：aq24aq+3a10 a0，4a2+4a0，关于公比 q 的方程有两个不同的根，且两根之和为 4，两根之积等于 3 再由数列an唯一，公比 q 的值只能有一个，故这两个 q 的值必须
21、有一个不满足条件 再由公比 q 的值不可能等于 0，可得方程 aq24aq+3a10 必有一根为 0，第8页（共15页）把 q0 代入此方程，求得 a 故答案为：1 0.【解答】解：由题意，可得，化简整理，可得，数列an的奇数项是以 21 为首项，以 22 为公比的正项无穷递缩等比数列，数列an的偶数项是以 32 为首项，以 32 为公比的正项无穷递缩等比数列，则 故答案为：11【解答】解：由题意可知：b1a12，b2ap3p1（p1），故等比数列 bn的通项公式为 ，数列bn中的每一项都是数列 an中的项，则当 nN*时，总存在 kN*，使得，由此可知即 为整数，则令 3p12m，mN*，故
22、当 m1，4，7，10，时，p 取 1，3，5，7，因为 p1，故 p2n+1，nN*，即满足上述条件的 p 组成的集合为p|p2n+1，nN*，故答案为：p|p2n+1，nN*12【解答】解：（）由“孤立元”的定义可知：集合中不能存在一个与其他元素相差大于 2 的元素 故 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有1，2，3、2，3，4、3，4，5，4，5，6、5，6，7、6，7，8共 6 个，故错误；（）因为|xa|+|xb|（xa）（xb）|ba|c，所以|ab|c，所以 是 的即不充分与不必要条件，故错误；第9页（共15页）（）因为f（x）4x 和 g（x）e2xln2
23、 定义域均为 R，又因为g（x）e2xln2 4xf（x），所以 f（x）和 g（x）是同一函数，故正确；（）令 h（x）|x|，满足 h（x）的图像连续不断，h（1）h（1）0，但 h（x）在（1，1）上有零点 x0，故错误；（）因为 f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）0，又因为当 x0 时，f（x）x24x，所以当 x0 时，f（x）f（x）（x）24（x）x24x；所以当 x0 时，f（x）xx24xxx25x0 x5；当 x0 时，f（x）xx2 4xxx25x05x0；所以 f（x）x 的解集为：（5，0）（0，+），故错误；（）当 q1 时，Sn+1（n+1）a1，S
24、nna1，所以 1 成立；当 q1 时，Sn，则 1，所以 0q1，综上当 时，q（0，1，故正确 故答案为：（）、（）二、选择题：（共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分）13【解答】解：99.100，31.4.，68.690.，5.4 60.5，故选：C 14【解答】解：当 20 x200 时，设 vkx+b，则 解得，第10页（共15页）于是 设车流量为 q，则 当 0 x20 时，q60 x，此时，函数在区间0，20上是增函数，恒有 q1200，等号成立当且仅当 x20；当 20 x200 时，200是减函数，此时函数在区间20，100上是增函数，在区间100，因此恒有，等号成立当
25、且仅当 x100；综上所述，当 x100 时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333 辆 故选：B 15【解答】解：BMMNNA，点 A（1，0），B（0，1），所以 M （，），N （，），分别代入 yxa，yxb，a，b，a 0 故选：A 1 6.【解答】解：由题意得，由 可得，则，则 故选：A 三、解答题：（共 5 小题，解答本大题要有必要的过程，共计 76 分）1 7.【解答】解：（）设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q，由，第11页（共15页）q2，d3，an3n+1，（）当cn的前 60 项中含有bn的前 6 项时，令 3n+127128，可得 n，此时至
26、多有 42+648 项（不符）；当cn的前 60 项中含有bn的前 7 项时，令 3n+128256，可得 n85，且 22，24，26 是an和bn的公共项，则cn的前 60 项中含有bn的前 7 项且含有an的前 56 项，再减去公共的三项 S60（564+3）+2+23+25+274844+1705014 1 8.【解答】解：（1）等比数列an中，an0，2a2+a3a4，所以，则 q2q20，由 an0 得，q0，故 q2 或 q1（舍），因为 S54a41，所以 解得，a11，故 an2n1；（2）由题意得，所以 b2b12，b3b222，bnbn 12n1，4a1231，2k，即
27、bk+1bk2k，累加得，bnb12+22+2n1 故 bn2n1 2n2，19【解答】解：（1）当 a0 时，函数f（x）（x）2+|x|1x2+|xa|1f（x），第12页（共15页）此时，f（x）为偶函数 当 a0 时，f（a）a21，f（a）a2+2|a|1，f（a）f（a），f（a）f（a），此时 f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）当 xa 时，f（x）x2+|xa|1x2x+a1（x）2+a，当 a 时，函数 f（x）在（，a上单调递减，从而函数 f（x）在（，a上的最小值为 f（a）a21 若 a，则函数 f（x）在（，a上的最小值为 f（）a 当 xa 时，函数 f（x）
28、x2+|xa|1x2+xa1（x+）2a，若 a 时，则函数 f（x）在a，+）上的最小值为 f（）a 若 a，则函数 f（x）在a，+）上单调递增，从而函数f（x）在a，+）上的最 小值为 f（a）a21 综上，当 a 时，函数 f（x）的最小值为a，时，函数 f（x）的最小值为 a21，当 a 时，函数 f（x）的最小值为 a 20【解答】解：（1）即 Aa 与 Aa 是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是，故 AA 出现的概率是 或 aA 出现的概率是，aa 出现的概率是，所以：AA，Aa（或 aA），aa 的概率分别是 （2）（3）由（2）知，于是，第13页（共15页），（4）是
29、等差数列，公差为 1 ，其中，所 以 于是，（由（2）的结论得），很明显 越大，wn+1 越小，所以这种实验长期进行下去，wn 越来越小，而 wn 是子代中 aa 所占的比例，也即性状 aa 会渐渐消失 21【解答】解：（）小杰做的是错误的 他的证法是伪数学归纳法是披着羊皮的狼！在用数学归纳法证明问题时从假设nk 时命题成立，证 nk+1 时命题也成立，必须用到假设，即根据假设的成立推得 nk+1 时命题也成立（）小杰做的是错误的 “由于是两个严格增函数相除，所以得到的函数绝对不具备单调性”这种判断是错误的！设，由 于 ，第14页（共15页）所以，易得（）小杰做的是错误的 是严格增函数，因此，存在这样的正数 K，K 的取值范围为 小杰的问题转化及第（1）步没有任何问题，但是第（2）步有误；在这一步中，应将m 作为实数处理，得出的取值中，端点应该是含有m 的代数式，而错误地利用 mx0 求解范围，导致出错；正确做法是：g（x）f2（x）数，值域为（0，22m）；2xm，该函数在（，2）上是严格增函 故只需要 22m，即 22m 0，令 h（m）22m，显然其在2，+）上 是严格减函数，且 h（4）0，故 m 的取值范围为2，4）第15页（共15页）