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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习最值与存在性问题专题提升训练（附答案）一选择题 1如图，在ABC 中，点 A、B、C 的坐标分别为（m，0）、（0，1）和（3，2），则当ABC的周长最小时，m 的值为（）A0 B1 C2 D3 2如图，在四边形 ABCD 中，BD90，BAD105，在 BC，CD 上分别找一点 M、N，使得AMN 周长最小，则AMN+ANM 的度数为（）A100 B105 C120 D150 3如图，在ABC 中，ACB90，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到DEC，使点 A 的对应点 D 恰好落在 BC 边的延长线上，点 B 的对应点为点 E，延长 DE 交
2、 AB 于点F，则下列结论一定正确的是（）AACDE BAEFD CDFAB DABBC+CD 4如图，在正ABC 中，D 为 AC 上一点，E 为 AB 上一点，BD，CE 交于 P，若 AECD，则BPE 的度数为（）A60 B45 C75 D50 5如图，已知直线 l：yx，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1作直线 l的垂线交 y 轴于点 A2；按此作法继续下去，则点 A4的坐标为（）A（0，64）B（0，128）C（0，256）D（0，512）二填空题 6
3、将 10cm 长的线段分成两部分，一部分作为正方形的一边，另一部分作为一个等腰直角三角形的斜边，求这个正方形和等腰直角三角形面积之和的最小值为 7若点（m，n）在函数 y2x4 的图象上，则 m2+n2的最小值是 8二次函数 yx2+bx+c 经过（5，3）和（2，3），则当 x 时，函数取到最小值 9在直角坐标系 xOy 中，点 A1，A2，A3，和 B1，B2，B3，分别在直线 ykx+b 和 x轴上 OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果 A1（1，1），A2（），那么点 A3的横坐标是 ，点 An的横坐标是 10如图，在直角坐标系中，直线 yx+4 交矩形 O
4、ACB 于 F 与 G，交 x 轴于 D，交 y 轴于 E（1）OED 的面积为 ；（2）若FOG45，则矩形 OACB 的面积是 11如图，在等腰ABC 中，ABAC，BDCE，BE、CD 交于点 O，BCx 轴已知 A（3，5），B（1，1），D（2，3），则点 O 坐标为 12如图，边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，将正方形 OABC 绕顶点O 顺时针旋转 75，使点 B 落在抛物线 yax2（a0）的图象上，则该抛物线的解析式为 13如图 1 所示，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，动点 P、Q 同时从点 B 出发，点 P 以1cm/秒的速度沿折
5、线 BEEDDC 运动到点 C 时停止，点 Q 以 2cm/秒的速度沿 BC 运动到点 C 时停止设 P、Q 同时出发 t 秒时，BPQ 的面积为 ycm2已知 y 与 t 的函数关系图象如图 2（其中曲线 OG 为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：ADBE5；当 0t5 时，yt2；cosABE；当 t秒时，ABEQBP；当BPQ 的面积为 4cm2时，时间 t 的值是或；其中正确的结论是 三解答题 14如图，四边形 ABCD 是边长为的正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点，将线段 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、
6、AM、CM （1）求证：AMBENB；（2）当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，说明理由；并求出 AM、BM、CM 的值 15如图，已知ABC 为等边三角形，M 为三角形外任意一点（1）请你借助旋转知识说明 AMBM+CM；（2）线段 AM 是否存在最大值？若存在，请指出存在的条件；若不存在，请说明理由 16如图，ABC 中，ACB70，将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到BDE（点D 与点 A 是对应点，点 E 与点 C 是对应点），且边 DE 恰好经过点 C，求ABD 的度数 17如图 1 所示抛物线与 x 轴交于 O，A 两点，OA6，其顶点与 x 轴的距离是 6（1）求
7、抛物线的解析式；（2）点 P 在抛物线上，过点 P 的直线 yx+m 与抛物线的对称轴交于点 Q 当POQ 与PAQ 的面积之比为 1：3 时，求 m 的值；如图 2，当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时，过点 B（3，3）的直线 AB 与直线 PQ 交于点 C，求 PC+CQ 的最大值 18如图，O经过原点 O，并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，线段 OA、OB（OAOB）的长分别是方程 x27x+120 的两根 （1）如图（1）求O的直径；（2）如图（2）已知点 C 在劣弧 OA 上，连接 BC 交 OA 于 D，当 OC2CDCB 时 请找出图中的一对相似并给予证明；求 C
8、点的坐标 19如图 1，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，顶点为点 D 的抛物线 yx2+2x+1 经过点 B，点 C （1）写出抛物线的对称轴及点 B 的坐标；（2）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转（0180）得到矩形 OABC，当点 B恰好落在 BA 的延长线上时，如图 2，求点 B的坐标；在旋转过程中，直线 BC与直线 OA分别与抛物线的对称轴相交于点 M，点 N若 MNDM，求点 M 的坐标 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+mx+n 与 x 轴正半轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 左侧）
9、，与 y 轴交于点 C（1）利用直尺和圆规，作出抛物线 yx2+mx+n 的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点 P 为抛物线对称轴上的一点，则 PA+PC 的最小值为 参考答案 一选择题 1解：如图所示，做出 B 关于 x 轴对称点为 B，连接 BC，交 x 轴于点 A，此时ABC周长最小 过点 C 作 CHx 轴，过点 B作 BHy 轴，交 CH 于 H，B（0，1），B（0，1），C（3，2），CHBH3，CBH45，BBA45，OBAOAB45，OBOA1，则此时 A坐标为（1，0）m
10、 的值为 1 故选：B 2解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A，关于 CD 的对称点 A，连接 AA与 BC、CD 的交点即为所求的点 M、N，BAD105，BD90，A+A18010575，由轴对称的性质得：AAAM，AAAN，AMN+ANM2（A+A）275150 故选：D 3解：由旋转可得，ABCDEC，ACDC，故 A 选项错误，ABDEBC+CD，故 D 选项错误，AEFDECB，故 B 选项错误，AD，又ACB90，A+B90，D+B90，BFD90，即 DFAB，故 C 选项正确，故选：C 4解：ABC 是正三角形，ACBC，ABCD60，在AEC 和CDB 中，AECC
11、DB（SAS），ACEDBC，BPEDBC+ECBACE+ECB60，故选：A 5解：点 A 的坐标是（0，1），OA1，点 B 在直线 yx 上，OB2，OA14，OA216，得出 OA364，OA4256，A4的坐标是（0，256）故选：C 二填空题 6解：设等腰直角三角形的斜边为 xcm，则正方形的边长为（10 x）cm若等腰直角三角形的面积为 S1，正方形面积为 S2，则 S1xxx2，S2（10 x）2，面积之和 Sx2+（10 x）2x220 x+100 0，函数有最小值 即 S最小值20（cm2）故答案为 20 平方厘米 7解：点（m，n）在函数 y2x4 的图象上，n2m4，m
12、2+n2m2+（2m4）2，5m216m+16，a50，m2+n2的最小值 故答案为：8解：二次函数 yx2+bx+c 中，a10，函数有最小值，二次函数 yx2+bx+c 经过（5，3）和（2，3），两点的函数值相等，当 x时，y 有最小值，故答案为 9解：A1（1，1），A2（，）在直线 ykx+b 上，解得，直线解析式为 yx+；设直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为 N、M，当 x0 时，y，当 y0 时，x+0，解得 x4，点 M、N 的坐标分别为 M（0，），N（4，0），tanMNO，作 A1C1x 轴与点 C1，A2C2x 轴与点 C2，A3C3x 轴与点 C3，A1（1，1
13、），A2（，），OB2OB1+B1B221+22+35，tanMNO，B2A3B3是等腰直角三角形，A3C3B2C3，A3C3（）2，即x+，解得：x，A3的坐标为；A1（1，1），A2（，），A3的坐标为：（，），点 An的横坐标是 5（）n14 故答案为：5（）n14 10解：（1）直线 yx+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 D，点 E，D（4，0），E（0，4），ODOE4，ODE 的面积ODOE448；故答案为：8；（2）ODOE，ODEOED45；OGEODF+DOG45+DOG，EOF45，DOFEOF+DOG45+DOG，DOFOGE，DOFEGO，DFEGOEOD16，过点
14、F 作 FMx 轴于点 M，过点 G 作 GNy 轴于点 N DMF 和ENG 是等腰直角三角形，设 NGACa，FMBCb，DFb，GEa，DFGE2ab，2ab16，ab8，矩形 OACB 的面积ab8 故答案为：8 11解：A0 所在直线的解析式是 x3，则 E 的坐标是（4，3），C 的坐标是（5，1）设直线 BE 的解析式是 ykx+b，则，解得：，则直线 BE 的解析式是：yx+，同理，CD 的解析式是：yx+，解方程组，解得：则 O 的坐标是（3，）故答案是：（3，）12解：如图，作 BEx 轴于点 E，连接 OB，正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75，AOE75，AO
15、B45，BOE30，OA1，OB，OEB90，BEOB，OE，点 B 坐标为（，），代入 yax2（a0）得 a，yx2 故答案是：yx2 13解：根据图 1 可得，当点 P 到达点 E 时，点 Q 也到达点 C，点 P、Q 的运动的速度分别是 1cm/秒、2cm/秒 BCBE10，ADBC10 错误；又从 M 到 N 的变化是 4，ED4，AEADED1046 ADBC，EBQAEB，cosEBQcosAEB，故错误；如图 2，过点 P 作 PFBC 于点 F，ADBC，EBQAEB，sinEBQsinAEB，PFPBsinEBQt，当 0t5 时，yBQPF2ttt2，故正确，如图 4，当
16、 t时，点 P 在 CD 上，PDBEED104，PQCDPD8，AQ90，ABEQBP，故正确 由知，yt2 当 y4 时，t24，从而，故错误 综上所述，正确的结论是 三解答题 14解：（1）由旋转的性质可知：BNBM，BABE BAE 为等边三角形，EBA60 又MBN60，NBEMBA 在AMB 和ENB 中，BNBM，NBEMBA，BABE，AMBENB（2）如图所示：连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，过点 E 作 EFBC，垂足为 F ABE 为等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，EBA60，ABC90，EBC150 EBF30
17、 EF，FB FC+由（1）可知：AMBENB，ENAM 又BNBM，NBM60，BNM 为等边三角形 BMMN AM+BM+MCEN+NM+MCEC AM+BM+MC的最小值EC+1 过点 M 作 MGBC 垂足为 G，设 BGMGx，则 NBx，ENAMMC（+）x，x+2（+）x+1，x，BM，AMCM 15解：（1）将BMC 绕 B 点逆时针方向旋转，使 C 点与 A 点重合，得BMA，MBM60，BMBM，AMMC BMM为正三角形 MMBM 若 M在 AM 上，则 AMAM+MMBM+MC，若 M不在 AM 上，连接 AM、MM，在AMM中，根据三角形三边关系可知：AMAM+MM，
18、AMBM+MC，综上所述：AMBM+CM；（2）线段 AM 有最大值 当且仅当 M在 AM 上时，AMBM+MC；存在的条件是：BMC120 16解：ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转得到BDE（点 D 与点 A 是对应点，点 E 与点C 是对应点），ABDCBE，EACB70，BCBE，BCEE70，CBE180707040，ABD40 故ABD 的度数为 40 17解：（1）OA6，抛物线的对称轴为直线 x3，设抛物线的解析式为 ya（x3）2+k，顶点与 x 轴的距离是 6，顶点为（3，6），ya（x3）26，抛物线经过原点，9a60，a，y（x3）26；（2）设直线 yx+m 与 y
19、轴的交点为 E，与 x 轴的交点为 F，E（0，m），F（m，0），OE|m|，AF|6+m|，直线 yx+m 与坐标轴的夹角为 45，OM|m|，AN|6+m|，SPOQ：SPAQ1：3，OM：AN1：3，|m|：|6+m|1：3，解得 m或 m3；设 P（t，t24t），过 P 作 PEy 轴交 AB 于点 E，过 P 作 PFBQ 交于 F，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，解得，yx+6，E（t，t+6），PEt+6（t24t）t2+3t+6，设直线 AB 与 y 轴交点为 G，令 x0，则 y6，G（0，6），OGOA6，OGA45，设直线 PQ 与 x 轴交点为 K，与 y 轴
20、交点为 L，直线 PQ 的解析式为 yx+m，令 x0，则 ym L（0，m），令 y0，则 xm，K（m，0），OLOK，OLK45，GCL90，PFFQ3t，设 BF 与 x 轴交点为 H，FHt2+4t，HQt2+4t3+tt2+5t3，BQ3t2+5t3t2+5t，CQBQ（t2+5t），CPPE（t2+3t+6），PC+CQ（t2+3t+6）+（t2+5t）（t2+8t+6）（t3）2+9，当 t3 时，PC+CQ 的最大值为 9 18解：（1）x27x+120 x13，x24，OAOB，OA4，OB3，由勾股定理得，AB5，AOB90，AB 为O的直径，即O的直径为 5；（2）OC
21、DBCO，理由如下：OC2CDCB，又OCDBCO，OCDBCO；连接 OA，OC，OC 交 OA 于 H，OCDBCO，COACBO，OCOA，AHOA2，则 OH1.5，HC1，C 点的坐标为（2，1）19解：（1）yx2+2x+1（x1）2+2 抛物线对称轴为直线 x1 四边形 OABC 是矩形 CBOA，即 CBx 轴 点 C、B 关于对称轴对称 x0 时，y1，即 C（0，1）点 B 坐标为（2，1）（2）如图 1，连接 OB、OB 矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转（0180）得到矩形 OABC OBOB 四边形 OABC 是矩形 OAB90，即 OABB ABAB1 点 B坐标
22、为（2，1）i）当 090时，如图 2，设抛物线对称轴交 x 轴于点 E，过点 D 作 DFBC于点 F，交 OA于点 G OE1，DFM90 四边形 OABC是矩形 OABC，AOCOCB90 COGOCFCFG90 四边形 OCFG 是矩形 FGOCOC1 FMGN，DMMN DMFONE，1 DFFG1 在DMF 与ONE 中 DMFONE（AAS）DMON 设 M（1，m）抛物线顶点 D（1，2）MNDM2m yNyMMNm（2m）2m2 ON2m 解得：m1，m21（此时点 M 在 BC 上即旋转角度 0，舍去）M（1，）ii）当 90180时，如图 3，MNDM 则点 D、N 重合
23、 设抛物线对称轴交 x 轴于点 E，过点 D 作 DFBC于点 F，同理可证：DMFONE，DMON 设 M（1，m），则 DM2m N（1，2），ON 2m m2 M（1，2）综上所述，点 M 坐标为（1，）或（1，2）20解：（1）如图，直线 l 为所作；（2）OBC 是等腰直角三角形，且其腰长为 3，即 OBOC3，C（0，3），B（3，0），把 C（0，3），B（3，0）分别代入 yx2+mx+n 得，解得，抛物线解析式为 yx24x+3；（3）连接 BC 交直线 l 于 P，如图，则 PAPB，PC+PAPC+PBBC，此时 PC+PA 的值最小，而 BCOB3，PA+PC 的最小值为 3 故答案为 3