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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习线段最值问题综合应用填空专题训练（附答案）1如图，在矩形 ABCD 中，AC8，BAC30，点 P 是对角线 AC 上一动点，连接 BP（1）线段 BP 的最小值为 ；（2）若以 AP，BP 为邻边作APBQ，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值为 2如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，经过点 B 且与边 AC 相切的动圆与 AB，BC 分别相交于点 P，Q，则线段 PQ 的最小值为 3如图，RtABC 斜边 AC 的长为 4，C 的半径为 1，RtABC 与C 重合的面积为，P 为 AB 上一动点，过点 P 作C 的切线 PQ，切点为 Q，则 P
2、Q 的最小值为 4如图，在ABC 中，ACBC6，SABC12，点 D 为 AB 中点，点 M，N 分别是 CD 和BC 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5如图，在菱形 ABCD 中，AC6，BD8，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 是 AB 的中点，点 M，N 分别在 AC，BC 上，则 EM+MN 的最小值为 6如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 E 是对角线 BD 上一点，EFBC 于点 F，EGCD 于点 G，连接 FG，则 EF+FG 的最小值为 7如图，已知二次函数 yx2+x+2 的图象与 x 轴交于 A，B（点 A 在点 B 的左侧）两点，与 y 轴
3、交于点 C，M 为直线 BC 上一动点，N 为 x 轴上一动点，连接 AM，MN，求AM+MN 的最小值 8如图，四边形 ABCD 为菱形，B60，AB4，点 E 为 AD 上的定点，且 AEED，F 为 AC 上的动点，则 EF+FC 的最小值为 9如图，在正方形 ABCD 中，AB10，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 AO 的中点，点 F 为对角线 BD 上的动点，则 EF+BF 的最小值为 10如图，在 RtABC 中，AC10，C30，点 D 是 BC 边上的动点，则 2AD+CD 的最小值为 11如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，ABC60，点 N 为 BC 的中
4、点，点 M 是对角线 AC 上一点，则 MB+MN 的最小值为 12如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 O 是对角线 BD 的中点，E 是 AB 边上一点，且 AE1，P 是 CD 边上一点，则|PEPO|的最大值为 13如图，在菱形 ABCD 中，AB12，DAB60，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F分别在 BD，AB 上，且 BFDE4 点 P 为 AC 上一点，则|PFPE|的最大值为 14结论：如图，抛物线 yax2bx4 与 x 轴交于，A（1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线 l 为该抛物线的对称轴，点 M 为直线 l 上的一点，则 MA+M
5、C 的最小值为 15如图，在四边形 ABCD 中，BAD121，BD90，点 M、N 分别在 BC、CD 上，（1）当MANC 时，AMN+ANM ；（2）当AMN 周长最小时，AMN+ANM 16如图，在边长为 2 的等边ABC 中，点 P，M，N 分别是 BC，AB，AC 上的动点，则PMN 周长的最小值为 17如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，AE2DF2，点 G，H 分别在 CD，BC 边上，则四边形 EFGH 周长的最小值为 18如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC3，点 E 是 AB 的中点，若点 P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点，则四边形 AEPQ 周长的最小值
6、为 19如图，在ABCD 中，AB4，BC9，ABC60，点 P，Q 是 AD 模型识别边上的动点（点 P 在点 Q 的左侧），且 PQ3，则四边形 BPQC 周长的最小值为 20如图，正方形 ABCD 内接于O，线段 MN 在对角线 BD 上运动，若O 的面积为 2，MN1，则 AM+CN 的最小值为 参考答案 1（1）当 BPAC 时，BP 取最小值，AC8，BAC30，ABACcos304，BP最小ABsin302；故答案为：2；（2）根据题意，作图如下：四边形 APBQ 是平行四边形，AOAB2，PQ2OP，要求 PQ 的最小值，即求 OP 的最小值，当 OPAC 时，OP 取最小值，
7、OPAOsin30，PQ 的最小值为 故答案为：2解：取 PQ 的中点 O，过 O 点作 ODAC 于 D，过 B 点作 BHAC 于 H，连接 OB，如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，AC5，BHACABCB，BH，PBQ90，PQ 为O 的直径，O 与 AC 相切，ODAC，OD 为O 的半径，OB+ODBH（当且仅当 D 点与重合时取等号），OB+OD 的最小值为 BH 的长，即O 的直径的最小值为，线段 PQ 的最小值为 故答案为：3解：设Cn，RtABC 与C 重合的面积为，解得 n60，即C60，RtABC 斜边 AC 的长为 4，C60，BCAC2，连接 CQ，CP，如图
8、，PQ 为C 的切线，CQPQ，CQP90，PQ，当 CP 最小时，PQ 最小，当 CPAB 时，CP 最短，此时 CPCB2，PQ 的最小值为 故答案为：4解：如图，CACB，D 是 AB 的中点，CD 是ACB 的平分线，点 N 关于 CD 的对称 N在 AC 上，过点 B 作 BHAC 于点 H AC6，SABC12，6BH12，解得 BH4，BM+MNBM+MNBH4，BM+MN 的最小值为 4 故答案为：4 5解：如图，四边形 ABCD 是菱形，AC 平分BCD，ACBD，OAOC3，OBOD4，CD5，在 CD 上取一点 N，使得 CNCN，连接 MN，过点 A 作 AHCD 于点
9、 H 菱形 ABCD 的面积ACBDCDAH，AH，CNCN，MCNMCN，CMCM，MCNMCN（SAS），MNMN，EM+MNEM+MNAH，ME+MN 的最小值为 故答案为：6解：如图，在 AD 上取一点 P，使得 PDPB，连接 BP，PC，EC，过点 C 作 CJBP于点 J，过点 E 作 EKBP 于点 K 四边形 ABCD 是矩形，ADBC6，ADBC，A90，设 PDPBx，则 x2（6x）2+42，x，SPBCPBCJ64，CJ，ADCB，ADBDBC，PDPB，PDBPBD，PBDPBC，EKBC，EKBP，EFEK，EGCD，EFCFCGCGF90，四边形 EFCG 是矩
10、形，FGEC，EF+FGEK+CECJ，EF+FH 的最小值为 故答案为：7解：将 x0 代入 yx2+x+2 得 y2，点 C 坐标为 2，令 0 x2+x+2，解得 x11，x24，点 A 坐标为（1，0），点 B 坐标为（4，0），AC，BC2，AB5，AC2+BC2AB2，ACB 为直角三角形，ACB90，点 A 关于直线 BC 的对称点 A坐标为（1，4），BC 是 AA的垂直平分线，AMAM，即 AM+MNAM+MN，当 ANx 轴时，AM+MN 的最小值为 AN 的长度，故答案为：4 8解：过点 F 作 FHBC 于点 H，连接 EH，过点 A 作 AMBC 于点 M，四边形 A
11、BCD 是菱形，ABBC6，B60，ABC 为等边三角形，ABBCAC6，AMABsin603，ACB60，FHCFsin60CF，EF+FCEF+FHEH，当 E、F、H 三点依次在同一直线上，且 EHBC 时，EF+FCEF+FHEHAM3的值最小，故答案为：3 9解：过点 F 作 FHBC 于点 H，连接 EH，四边形 ABCD 是正方形，AB10 ACAB10，ACBCBD45，OAOC5，E 是 OA 的中点，AEOE，CE，FHBFsin45BF，EF+BFEF+FHEH，当 E、F、H 三点依次在同一直线上，且 EHBC 时，EF+BFEHCEsin45的值最小，故答案为：10解
12、：延长 AB 到点 E，使得 BEAB，连接 CE，过点 D 作 DFCE，连接 AF，ABCCBE90，BCBC，ABCEBC（SAS），ACBECB30，ACBC，AEC 为等边三角形，DFCD，AD+CDAD+DFAF，当 A、D、F 三点依次在同一直线上，且 AFBC 时，AD+CDAD+DFAFACsin605的值最小，2AD+CD2（AD+CD）的最小值为 510 故答案为：10 11解：如图，连接 DN，DM，过点 D 作 DHBC 交 BC 的延长线于点 H 四边形 ABCD 是菱形，ABCBCDAD，ABCADC60，ABC，ADC 都是等边三角形，B，D 关于 AC 对称，
13、MBMD，MB+MNMD+MNDN，ABCD，DCH60，DHCH，CHCDcos602，DH2，BNCN2，CD4，NHCN+CH4，DN2，MB+MN2，MB+MN 的最小值为 2 故答案为：2 12解：如图，连接 OE，过点 O 作 OHAB 于点 H 四边形 ABCD 是矩形，AOHB90，OHAD，OBOD，AHHB2，OHAD3，AE1，EHAHAE1 OE，|PEOP|EO，|PEOP|的最大值为 故答案为：13解：在 OB 上取一点 E，使得 OEOE，中点 E，作射线 FE交 AC 于点 P 则 PEPE，|PFPE|PFPEFE，当 P 与 P重合，P、E、F 三点在同一直
14、线上时，|PFPE|有最大值，即为 FE的长，在菱形 ABCD 中，ABC120，ABD60，DAB60，ABD 为等边三角形 ABBDAD12 ODOB6 BFDE4，OEOE2，BEOBOE4，BFBE ABD60，BEF 为等边三角形，EFFB2 故|PFPE|的最大值为 2 故答案为：2 14解：连接 BC 交直线 l 于 M点，连接 MA，如图，当 x0 时，yax2bx44，则 C（0，4），抛物线 yax2bx4 与 x 轴交于 A（1，0），B（4，0）两点，A、B 点关于直线 l 对称，MBMA，MA+MCMB+MCBC，此时 MA+MC 的值最小，BC4，MA+MC 的最小
15、值为 4，当 M 点运动到 M点时，MA+MC 有最小值，最小值为 4 故答案为：4 15解：（1）BAD121，BD90，C18012159，MANC59，AMN+ANM180MAN18059121，故答案为 121（2）如下图，作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 AA即为AMN 的周长最小值 作 DA 延长线 AH，DAB121，HAA59，AAM+AHAA59，MAAMAA，NADA，且MAA+MAAAMN，NAD+AANM，AMN+ANM MAA+MAA+NAD+A 2（AAM+A）259118 故答案为：118 16解：
16、如图，连接 AP，作点 P 关于 AB，AC 的对称点 P，P，连接 AP，AP，PP，PP分别交 AB，AC 于点 M，N，连接 PM，PN，此时PMN 的周长最小，最小值PP的长过点 A 作 AHPP于点 H APAPAP，PABPAB，PACPAC，PAP2PAB+2PAC2（PAB+PAC）120，PP30，AHPP，PHPHPAcos30PA，PPPA，PA 最小时，PP的值最小，当 PABC 时，PA 的值最小，此时 PA，PP的最小值为 3，PMN 的周长的最小值为 3，故答案为：3 17解：作点 E 关于 BC 的对称点 E，作点 F 关于 CD 的对称点 F，连接 EF交 B
17、C、CD 于点 H、G，则 EHEH，GFGF，此时四边形 EFGH 周长取最小值，EFGH 周长EF+EH+HG+FGEF+EH+HG+FGEF+EF AE2DF2，DF1，AF514，DF1，BE523，AF5+16，AE5+38，EF10，EF2 EFGH 周长最小值为：10+2 18解：如图所示，作出点 A 关于 CD 的对称点 A，作出点 E 关于 BC 的对称点 E，连接 AE，分别交 CD、BC 于点 Q、P，AQAQ，EPEP，四边形 AEPQ 的周长AQ+PQ+EP+AEAE+AE，此时周长最小，AB6，BC3，点 E 是 AB 的中点，AD3，AEBE3，ADAD3，AEB
18、EBE3，AA6，AE9，AE3，四边形 AEPQ 的周长3+3，故答案为：3+3 19解：如图，在 BC 上截取线段 CEPQ3，作 B 点关于 AD 的对称点 B，连接 BE，交AD 于点 P，则 PBPB，CQPE PB+CQPB+PEBE，BBAD，ADBC，BBBC，AB4，ABC60，BC 上的高为 42，BB4，BE2，即 PB+CQ 的最小值为 2，四边形 BPQC 周长的最小值为 2+12 故答案为 12+2 20解：O 的面积为 2，则圆的半径为，则 BD2AC，由正方形的性质，知点 C 是点 A 关于 BD 的对称点，过点 C 作 CABD，且使 CA1，连接 AA交 BD 于点 N，取 NM1，连接 AM、CM，则点 M、N 为所求点，理由：ACMN，且 ACMN，则四边形 MCAN 为平行四边形，则 ANCMAM，故 AM+CNAM+ANAA为最小，则 AA3，则 AM+CN 的最小值为 3，故答案为：3