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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形8 字形相似专题提升训练（附答案）1如图，在梯形 ABCD 中，ABC90，ADBC，BC2AD，对角线 AC 与 BD 交于点E点 F 是线段 EC 上一点，且BDFBAC（1）求证：EB2EFEC；（2）如果 BC6，sinBAC，求 FC 的长 2如图，在菱形 ABCD 中，DEBC 交 BC 的延长线于点 E，连结 AE 交 BD 于点 F，交 CD于点 G，连结 CF（1）求证：AFCF；（2）求证：AF2EFGF；（3）若菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，求 FG 的长 3图、图、图都是 54 的正方形网格，每个小正方形
2、的顶点称为格点，每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C、D 均在格点上请按要求解答问题（画图只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹）要求：（1）如图，；（2）如图，在 BC 上找一点 F 使 BF2；（3）如图，在 AC 上找一点 M，连结 BM、DM，使ABMCDM 4如图，在ABCD 中，F 是 AB 边上一点，连接 CF 并延长交 DA 的延长线于点 E（1）求证：BCFDEC（2）若 BC10，BF4，AE5，则 AB 5 如图，四边形 ABCD 为圆内接四边形，ABCD，BD 平分ABC，AC 与 BD 相交于点 E（1）求证：ABEACB；（2）若 AD4，BC6，求线段 DE 的长度
3、 6如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC4，BD8，点 E 在边 AD上，AEAD，连结 BE 交 AC 于点 M（1）sinABO 的值为 （2）求 AM 的长 7如图，点 F 为ABCD 边 CD 上一点，连接 AF 并延长交 BC 延长线于点 E（1）求证：ADFECF；（2）若 BC6，AF2EF，求 CE 的长 8如图 1，在矩形 ABCD 中，k，E 为 CD 边的中点，连接 AE，延长 AE 交 BC 的延长线于 F 点，在 BC 边上取一点 G，连接 AG，使 AF 为DAG 的角平分线（1）求证：GEAF；（2）如图 2，若 k1，求的值；（
4、3）若点 G 将 BC 边分成 1：2 的两部分，直接写出 k 的值 9如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是 AB 延长线上一点，连接 DE 交 AC 于点 F，交 BC 于点 G（1）求证：；（2）若 DF6，FG4，求 GE 的长 10 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BA 的延长线上，AEAD，EC 与 BD 相交于点 G，与 AD 相交于点 F（1）若 AE9，AF6，求 AB 的长；（2）若EADB，连接 AG，求证：EGDGAG 11画图（要求：以下操作均只使用无刻度的直尺）（1）在直角坐标系中我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点如图 1 中点 A（1，2）
5、、B（3，4），在图 1 中第一象限内找出所有的整点 P（图上标为 P1、P2），使得点 P 横、纵坐标的平方和等于 20（2）在图中过点 A 作一直线，使它将ABC 的面积分成 1：2 的两部分（3）如图 2，是大小相等的边长为 1 的正方形构成的网格，A、B、C、D 均为格点请在线段 AD 上找一点P，并连结BP使得直线BP将四边形ABCD 的面积分为 1：2 两部分 12如图，E 为ABCD 的边 CD 延长线上的一点，连结 BE 交 AC 于点 O，交 AD 点 F（1）求证：AOBCOE；（2）求证：BO2EOFO 13如图，在ABCD 中，DEAB 于点 E，交 AC 于点 F，且
6、 AE：EB1：2（1）求证：AEFCDF；（2）求AEF 与AFD 的面积比 14以下各图均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，A，B，C，D 均在格点上（1）在图中，的值为 ；（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法 如图，在 AB 上找一点 P，使 AP3；如图，在 BD 上找一点 P，使APBCPD 15已知，如图CEG 的边 CG 和ACE 的边 AE 相交于点 F，且 FGEG，ACGE，AHCG 交 GE 延长线于点 M，BEAE 交 AM 于点 B（1）如图，若点 O 是 AB 的中点，证明：OEGM（2）在（1）问的条件下如图，连接 OC，若 OCOE，AH，C
7、H3，求 GE 的长 16如图，点 P（m，n）是双曲线 y（x0）上一动点，且 m、n 为关于 a 的一元二次方程 9a2+ba+320 的两根，动直线与 x 轴、y 轴正半轴分别交于点 A、B，过点 A 与 AB垂直的直线交 y 轴于点 E，点 F 是 AE 的中点，FO 的延长线交过 B 点与 AB 垂直的直线于点 Q（1）求双曲线的解析式；（2）求 OP 的最小值；（3）若点 O 到 AB 的距离等于 OP 的最小值，求的值 17如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，过 A 作 ADOC 交O 于点 D，过 D作 DEAB 于点 E，交 CO 的延长线于点 F，连接 CD
8、（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若直径 AB 的长为 12，DE2EF，求 tanF 的值 18 如图，菱形 ABCD 边长为 4，E、F 分别是 AB、AE 上的动点，BEAF，BAD120，连接 CE，CF，AC 与 EF 交于 G 点（1）求证：BECAFC；（2）求证：AGEAFC；若 AF1，求的值 19 如图，在ABCD 中，G 是 DC 的延长线上一点，连接 AG，分别交 BD 和 BC 于点 E、F（1）求证：GDAABF；（2）若 AB12，AE8，CG3，求 EF 的长 20如图，四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，AD6，BC3，DEAB 于 E，AC 交
9、DE 于 F（1）求 AEAB 的值；（2）若 CD4，求的值 21问题背景 如图 1，在ABC 中，点 D，E 分别在 AC，AB 上，2EDB+BDC180，DEB90，求证：AEBE 变式迁移 如图 2，在四边形 DEBC 中，2EDB+BDC180，DEB90，DFEB，DF 分别交 CE，BC 于点 G，F，求证：DGFG 拓展应用 如图 3，在四边形 DECB 中，2DBE+EBC180，EDBDCB，且 n1，直接写出的值 参考答案 11（1）证明：ADBC，EADECB，即，BDFBAC，AEBDEF，EABEDF，EB2EFEC（2）解：BC6，sinBAC，BC2AD AC
10、9，AD3，ABC90，ADBC，BAD90，AB3，BD3，EADECB，ECAC96，EBBD32，EB2EFEC，即（2）26EF，EF4，FCECEF642 2（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABBC，ABFCBF，BFBF，ABFCBF（SAS），AFCF（2）证明：四边形 ABCD 是菱形，BADBCD，ADBE，DAFFEC，ABFCBF，BAFBCF，DAFDCF，GCFCEF，CFGEFC，CFGEFC，CF2EFGF，AFCF，AF2EFGF（3）解：BAD120，DCE60，菱形边长为 2，CDAD2，DEBC，ADECED90，CDE30，CE1，DE，AE，BE
11、BC+CE2+13，ADBE，FADFEB，GADGEC，AF，AGAE，FGAGAF 3解：（1）ABCD，AEBDEC，AB1，CD2，故答案为：；（2）由勾股定理知 BC5，则，由（1）同理知，点 F 即为所求；（3）如图所示，点 M 即为所求 4（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BD，ABDC BFCDCE BCFDEC；（2）解：BCFDEC，AF2，ABAF+BF6 故答案为：6 5（1）证明：BD 平分ABC，ABDDBC，ABCD，ACBABD，BAEBAC，ABEACB；（2）解：，DACACB，ADBDBC，ADECBE，设 AE2a，CE3a，ACAE+CE5a
12、，ABEACB，AB2ACAE，162a5a，a或 a（舍去），AE2a，ADEDAE，AEDE，线段 DE 的长度为 6解：（1）AOAC2，BOBD4，ACBD，BOM90，AB2，sinABO 故答案为：（2）在菱形 ABCD 中，ADBC，ADBC，AEMCBM，AEAD，AEBC，AMCMAC1 7（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBE，DDCE，又DFACFE，ADFECF；（2）解：ABCD 为平行四边形，ADBC6，ADFECF，AF：FEAD：CE，又2EFAF，AD：CE2：1，CEAD3 8（1）证明：E 为 CD 边的中点，DEEC，AEDCEF，ADEE
13、CF90，ADECEF，AEEF，即 E 为 AF 中点，AF 为DAG 的角平分线，GAEDAE，又ADCF，DAEGFE，GAEGFE，AGE 为等腰三角形，GEAF（2）解：设 EC1 个单位，GCx，利用 RtABG 列出方程：（2x）2+4（2+x）2，解得 CG，BG，（3）解：当 BG2GC 时，设 GCx，则 BG2x，k，AB，AGGF4x，利用 RtABG 列出方程：（4x）（）+（2x），解得 k 当 BG2GC 时，设 GC2x，则 BGx，k，AB，AGGF5x，利用 RtABG 列出方程：（5x）（）+（x），解得 k 综上解析或 9（1）证明：四边形 ABCD 是
14、平行四边形，ADCB，ADFDGC，DAFACG，ADFCGF，；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADCB，DCAB，由（1）得：ADFCGF，2，DCBE，2，GE5，GE 的长为 5 10（1）解：四边形 ABCD 是矩形，DCAB，DCAB，DCFAEF，CDFEAF，CDFEAF，AEAD，AEAD9，AF6，DFADAF963，CD4.5，ABCD4.5；AB 的长为 4.5；（2）证明：在 EF 上截取 EMDG，连接 AM，四边形 ABCD 是矩形，DAB90，DAE180DAB90，EAM+MAD90，EADB，AEAD，AEMADG（SAS），AMAG，EAMDAG
15、，DAG+MAD90，MAG90，AMG 是等腰直角三角形，MGAG，EGEMMG，EGDGAG 11解：（1）设 P（x，y），则 x2+y220，而 2022+42，点 P 的坐标为（2，4）或（4，2），如图 1，点 P1，P2即为所求；（2）如图 2 中，直线 AG（或 AH）即为所求 （3）如图 3，连接 BD，则ABD 的面积ADF 的面积+BDF 的面积2（2+2）4，四边形 ABCD 的面积ACD 的面积+ACB 的面积51+52，直线 BP 将四边形 ABCD 的面积分为 1：2 两部分，ABP 的面积，即 SABPSABD，AP：PD5：3，连接 CE，交 AD 于点 P，
16、连接 BP，则，线段 BP 即为所求 12证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，AOBCOE；（2）AOBCOE，ADBC，AOFCOB，即 OB2OFOE 13（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB，AEFCDF；（2）解：AE：EB1：2，AE：AB1：3，AE：CD1：3，AEFCDF，SAEF，SAFD，SAEF：SAFDEF：DF 14解：（1）如图中，ABCD，PCDPBA，故答案为：1：3；（2）取格点 E，F，连接 EF 交 AB 于点 P，点 P 即为所求的点 由勾股定理知：AB5 AP3，BP2 BEFA，EPBFPA AP：BPAF：BE3：
17、2 取格点 E，F，连接 EF 交 AB 于点 P，点 P 即为所求的点；如图所示，作点 A 的对称点 A，连接 AC，交 BD 于点 P，点 P 即为所要找的点，ABCD，APBCPD 15（1）证明：FGEG，GFEGEF，GFEAFH，GEFAFH，AHCG，FAH+AFH90，FAH+GEF90，BEAE，点 O 是 AB 的中点，OEOAOB，FAHOEA，OEA+GEF90，即GEO90，OEGM（2）解：如图，延长 EO 交 AC 于点 D，OEGM，ACGE，ODAC，由（1）得，OEOAOB，OEOC，OAOC，ADCD，AHCG，AHCOHC90，AH，CH3，AC4，AD
18、CD2，在 RtOHC 中，OH2+CH2OC2，（OCAH）2+CH2OC2，即（OC）2+32OC2，解得：OC，OAOE，OD，DEDO+OE+2，AE4，在 RtAFH 中，AF，由（1）得，AFHGEF，ACGM，GEFCAF，CAFAFH，FCAC，FC4，FHCFCH431，AF2，EFAEAF422，AFEF，ACGM，ACFEGF，即，EG4 16解：（1）m、n 为关于 a 的一元二次方程 9a2+ba+320 的两根，mn，点 P（m，n）是双曲线 y（x0）上一动点，kmn，双曲线的解析式为 y；（2）点 P 的坐标为（m，n），OP，当 mn 时，OP 有最小值为，即
19、 OP 的最小值为；（3）作 OGAB 于 G，由（2）知，OG，设 EFx，点 F 是 AE 的中点，AE2EF2x，OGAB，AEAB，QBAB，BQOGAE，EFOQ，FEOQBO，BGOBAE90，又OBQEBA，EFOBQO，BOGBEA，+1，即，又，即，BQ+EFBQEF，17解：（1）证明：连接 OD，ADOC，ODADOC，BOCA，ODOA，ODAA，BOCDOC，OCOC，OBOD，BOCDOC（SAS），ODCOBC，BC 与O 相切，OBBC，ODCOBC90 OD 是半径 CD 是O 的切线；（2）ADOC，FEDA，EOFA AEDOEF，DE2EF，AE2OE，
20、AB12，OAAB6，AE+OE6，OE+2OE6，OE2，DEAB，DEO90 在 RtDEO 中，由勾股定理得：DE4，EFDE2，在 RtOEF 中，tanF，tanF 的值为 18（1）证明：四边形 ABCD 是菱形，ABBC4，BACCAD60，AD/BC，B180BAD60，ABC 是等边三角形，BCAC，ACB60，BCAD60，BEAF，BECAFC（SAS）；（2）证明：BECAFC，ECFC，BCEACF，BECAFC，ACF+ECGBCE+ECGBCA60，ECF 为等边三角形，CEF60 BBACCEF60 AGE+AEGAEG+BEC120，AGEBEC，AGEAFC
21、；过 E 作 EM/BC 交 AC 于 M 点，ADBC，ADEM，FAGAME，AFGGEM，AFGCEG，BECAFC，BEAF1，EMBC，AEMB60，AMEACB60，AEM 是等边三角形，EMAEABBE413，的值为 19（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD，ADBC，AGDFAB，DAGBFA，GDAABF；（2）解：四边形 ABCD 是平行四边形，CDAB12，ABCD，DGCD+CG12+315，AGDEAB，DEGBEA，DEGBEA，即：，解得：GE10，AGAE+GE8+1018，GDAABF，即：，解得 AF，EFAFAE8 20解：（1）过点 B
22、作 BHAD 于 H，如图 1，则有AHBBHD90 ADBC，BCD90，ADC180BCD90，BHDHDCBCD90，四边形 BCDH 是矩形，HDBC3，AHADHD633 DEAB 即AED90，AEDAHB 又EADHAB，AEDAHB，AEABAHAD3618；（2）延长 DE、CB 交于点 G，如图 2 由（1）得：AH3，AEAB18，四边形 BCDH 是矩形，则有 BHCD4，AB5，AEEB5 ADGC，AEDBEG，BG，GC+3 ADGC，AFDCFG，21问题背景：证明：如图 1，2EDB+BDC180，ADB+BDC180，ADB2EDB，ADE+EDB2EDB，ADEEDB，DEB90，DEADEB90，在DEA 和DEB 中，DEADEB（ASA），AEBE；变式迁移：证明：如图 2，延长 CD，BE 交于点 M，则 MEBE，DFBE，CDGM，CGDCEM，CGFCEB，CFGCBE，CDGCME，CFGCBE，MEBE，DGFG；拓展应用：解：如图 3，在 CB 的延长线上截取 BPBE，连接 DP，由“问题背景”可知：DBPDBE，在DBE 和DBP 中，DBEDBP（SAS），EDBPDB，EDBDCB，PDBDCB，PP，DPBCPD，设 BP1，则 PDn，PCn2，BCPCBPn21，n21