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1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题31三角形与新定义综合问题典例剖析_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【例1】(2 0 2 2淮安区模拟)我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(c m),如 图1,在 A B C中，A B=A C,底角NB的邻对记作c m 3,这时点”8=底 边 _=区.容腰 A B易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30 ,若 ccmB=1,则 ZB=.(2)如图 2,在A B C 中，AB=AC,旦，SAABC=48,求A B C 的周长.5AB C B
2、 1 0图I 图2【例2】(2 0 2 2柯城区校级三模)定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标 准 三 角 形 如：在A B C,C D L A B于 点D,A B=C D,贝1 1 A B C为标准三角形.【概念感知】判 断:对 的 打“错 的 打 X”.(1)等腰直角三角形是标准三角形.(2)顶角为30 的等腰三角形是标准三角形.【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则 此 三 角 形 的 三 边 长 之 比 为.【概念应用】(1)如图，若 A 8 C为标准三角形，C D _ L 4 B于点。，A B=C D ,求C 4+C 8的最小值.(2)若一个标准三角
3、形的其中一边是另一边的遥倍，求最小角的正弦值.c 例 3(2020五华区校级三模)爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为 中 垂 三 角 形 如 图(1)、图(2)、图(3)中，AM.8N 是 A8C的中线，AM_LBN于点P,像 ABC这样的三角形均 为 中 垂 三 角 形 设 8C=a,AC=b,AB=c.【特例探究】(1)如图 1,当NB4B=45,c=4、J 历时，a=，b=；如图 2,当=30,c=2 时，2+f e2=；【归纳证明】(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想/、射、J 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用
4、图3 证明你的结论.【拓展证明】(3)如图4,在回ABC。中，E、尸分别是A。、8 c 的三等分点，且 4D=3AE,BC=3BF,连接 AF、BE、C E,且 BEJLCE 于 E,AF 与 BE 相交点 G,A D=3 厉 A B=3,求 AF的长.【例 4】(2020岳麓区校级二模)定 义:在AABC中，若有两条中线互相垂直，则称AABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做A8C的方周长，记作L 即L=A B2+BC2+CA2.(1)如 图 1,已知ABC是中垂三角形，BD,A E分别是AC,8 c 边上的中线，若 AC=B C,求证：AOB是等腰直角三角形；(2)如图2,在中
5、垂三角形ABC中，AE,8。分别是边8C,AC上的中线，且于点O,试探究aABC的方周长工与AB?之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3,已知抛物线y=-a x 2 2 a x-2 a 与 x轴正半轴相交于点A，与 y轴相交1 6 4于点8,经过点B的直线与该抛物线相交于点C,与 x 轴负半轴相交于点。，且 BD=CD,连接AC交 y 轴于点E.求证：A B C 是中垂三角形；【例 5】（2 0 2 0 安徽模拟）通过学习锐角三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联
6、系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can）,如 图（1）在 A 8 C 中，A B=A C,底角3的邻对记作CGLB,这时c 助 8=馨 基，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对腰 AB应的.根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30Q=；（2）如 图（2）,已知在 A B C 中，A B=A C,canB=-,SAABC=2 4,求 A B C 的周长.5满分训练.解 答 题（共 2 0 题）1 .（2 0 2 2 秋如皋市期中）定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做倍角三角形（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填写序号）.顶角是3 0
7、 的等腰三角形；等腰直角三角形；有一个角是3 0 的直角三角形.（2）如 图 1,在 A 8 C 中，AB=AC,N B 4 C 2 9 0 ,将 A 8 C 沿边AB所在的直线翻折1 8 0 得到 A 8 D,延长D4到点E,连接若B C=B E,求证：A ABE 是“倍角三角形”；点尸在线段AE 上，连接B P.若N C=3 0 ,B P 分4 ABE 所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出/E 的度数.2.（2 0 2 2 秋义乌市校级月考）【概念认识】如图所示，在NABC中，若N A B D=N D B E=N E B C,则 8。，BE 叫做/ABC的“
8、三分线”，其中，B。是“邻 A8三分线“，B E 是“邻 B C三分线”.【问题解决】（1）如图所示.在 A 8 C 中.ZA=8 0 ,N A 8 C=4 5 .若NA3C的三分线8。交 AC于点D.求NBOC的度数.（2）如图所示，在 A 8 C 中.BP,C P分别是/ABC的 邻 3c三分线和/AC3的邻8C三分线，且/B P C=1 4 0 .求N4的度数.【延伸推广】（3）在 A B C 中，NACD是AABC的外角，NABC的三分线所在的直线与/A C Z）的三分线所在的直线交于点P,若乙4=机 （胆5 4）,/A 3 C=5 4 .求出/8 P C的度数.（用含机的式子表示）3
9、.(2 0 2 2春石嘴山校级期末)问题情境我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A(X”)和点B(X2,2)，右用=垃，则A B y轴，且线段A B的长度为M-”|；若y i=”，则A B x轴，且线段A B的长度为|%1 -X2.拓展现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(X I，)、N(X2,)之 间 的 折线距离为4 (M,N)-X2I+W-”|.例如：图中，点M(-1,1)与点N (1,-2).之间的折线距离 d (M,N)=|-1-1|+|1 -(-2)|=2+3=5,应用解决下列问题：(1)已知点E(3,2),点 尸(1.-2),求d(E,F)的值；(2)已知点 E
10、(3,1),H(-1,”)，若 d (E,H)=6,求”的值；(3)已知点P(3,4),点Q在y轴上，O为坐标系原点，且 O P Q的面积是4.5,求d(P,Q)的值.4.(2 0 2 2春镇江期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在 4 8 C中，N A=7 0 ,ZB=3 5 ,则/A与互为“开心角”，为“开心三角形”.【理解】(1)若 A B C为开心三角形，/A=1 4 4。，则这个三角形中最小的内角为 ；(2)若A A B C为开心三角形，N A =7 0 ,则这个三角形中最小的内角为 ；(3)已知
11、N4是开心A A B C中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定NA的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AO平分 4B C的内角N 8 4 C,交 B C 于点E,C。平分 A B C的外角N B C凡 延长8 A和DC交于点P,已知N P=3 0 ,若N 8 A E是开心A A B E中的一个开心角，设/B A E=N a,求Na的度数.5.(2 0 2 2春崇川区期末)定义：如果三角形的两个内角a与0满足a+2 B=10 0 ,那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”.(1)如图 1,A B C 中，N A C B=8 0 ,8。平分/A B C.求证：A B。为“奇妙三角形”(2)若
12、A 8 C为“奇妙三角形，且N C=8 0 .求证：A B C是直角三角形；(3)如图2,Z i A B C中，8。平分/4 8 C,若A 3。为“奇妙三角形，且乙4=40 ,直接写出NC的度数.图1图26.(2 0 2 2春亭湖区校级月考)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,/X A B C中，点。是 边 上 一 点，连接A。，若A Z)2=B O.CQ,则称点。是A B C中8 C边 上 的“好点”.(1)如 图2,A B C的顶点是4 X 3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)
13、A B边上的所有“好点”点O；(2)A A B C 中，BC=7,t a n B=3，t a n C=l,点。是 B C 边上的“好点”，求线段4的长；(3)如图3,Z V I S C是00的内接三角形，点H在A 8上，连 结C H并延长交。于点D.若点H是B C。中C D边上的“好点”.求证：O H L A B；若 O H B D,。的半径为r,且 r=3 0 H,求2 旦的值.D H7.(2 0 2 1秋如皋市期末)【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线.【理解运用】(1)如 图 1,在 A B C 中，
14、AB=AC,Z B A C=120 ,试判断 A B C 是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】(2)如图2,在 A B C 中，A B=A C,。为 BC的中点，M 为 A B C 外一点，连接M B,M C,若 A B C 和 M 8 C 均为半线三角形，且 A。和 分 别 为 这 两 个 三 角 形 BC边的半线，求NAMC的度数；(3)在(2)的条件下，若A =l,直接写出8M的长.28.(2 0 2 1秋顺义区期末)我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度.如 图 1,在 A 2 C 中，AB=AC,*的值为 A B C 的正度.B C已知：在 A B C 中，
15、A B=A C,若。是 A B C 边上的动点(。与A,B,C不重合).(1)若/A=90 ,则AABC的正度为；(2)在 图 1,当点。在腰A8上(。与 4、B不重合)时，请用尺规作出等腰A C D,保留作图痕迹；若A C。的 正 度 是 亚，求NA的度数.2(3)若/A是钝角，如图2,/X A B C 的正度为旦，Z v l B C 的周长为2 2,是否存在点 ,5使 A C O 具有正度？若存在，求出A C。的正度；若不存在，说明理由.A9.(2 0 2 1秋丹阳市期末)梅涅劳斯(Menelaus)是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如 图(1),如果一条直线与 A
16、8 C的三边A B,BC,C A或它们的延长线交于F、。、E三点，那么一定 有 空.毁.%=1.F B D C E A下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如 图(2),过点A作A G 8 C,交O F的延长线于点G,则 有 丝，雪0,F B B D E A A G.A F B D C E A G B D C D,.布 而 后 淅 记 而请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如 图(3),48 C三 边C 8,AB,AC的延长线分别交直线/于X,Y,Z三点，证明：B X.C Z .A Y=1.X C Z A YB请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图(4)
17、,等边A A B C的边长为2,点。为B C的中点，点F在上，且B F=2 4凡C F与A D交于点E,则A E的长为.(3)如 图(5),A B C的面积为2,尸为A3中点，延长8 c至。，使C Q=B C,连接F D 交 A C 于 E,则四边形B C E F的面积为.1 0.(2 0 2 1秋洪江市期末)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如 图1,在 4 B C中，N A=4 4 ,8 是a A B C
18、的完美分割线，S.A D=C D,求NA C B的度数；(2)如 图2,在 A B C中，CD为角平分线，乙4=4 0 ,Z B=6 0 ,求证：C D为/A B C的完美分割线；(3)如图3,4 8 C中，AC=2,B C=4 2 8 是 A B C的完美分割线，且 A C O是以C D为底边的等腰三角形，求完美分割线C D的长.图1图2图31 1.(2 0 2 1秋石景山区期末)在R t Z A C B中，Z A C B=9 0 ,C A=C B=6,点P是线段C B上的一个动点(不与点8,C重合)，过点P作直线/L C B交A 8于点Q.给出如下定义：若在A C边上存在一点M,使得点M关
19、于直线/的对称点N恰好在 A C B的边上，则称点M是A A C B的关于直线/的“反称点”.例如，图1中的点M是 4 C B的关于直线/的“反称点(1)如图 2,若 C尸=1,点、Mi,Mi，险，历4在 A C边上且=AMi=2,A M3=4,A M4=6.在点M，M2,M 3,例4中，是 A C B的关于直线/的“反称点”为；(2)若 点M是X A C B的关于直线I的“反称点”，恰好使得A A C N是等腰三角形，求AM的长；(3)存在直线/及点M,使得点M是a A C B的关于直线/的“反称点”，直接写出线段C P的取值范围.图1图2备用图1 2.(2 0 2 1秋拜州区期末)【问题提
20、出】如 图1,Z VI B C中，线段OE的端点 ,E分别在边A B和A C上，若位于。E上方的两条线段A。和A E之积等于。E下方的两条线段8。和C E之积，即A O XA E=B O XC E,则称。E是 4 B C的“友好分割”线段.(1)如 图1,若O E是8 c的“友好分割”线段，AD=2CE,A B=8,求A C的长；【发现证明】(2)如图2,4 B C中，点尸在B C边上，尸O 4 c交4 B于D,F E A B交A C于E,连结O E,求证：Q E是 A B C的“友好分割”线段；【综合运用】(3)如图3,3 E是 A B C的“友好分割”线段，连 结。并 延 长 交B C的延
21、长线于R过点A画A G O E交 A O E的外接圆于点G,连结G E,设迪.=力 y.D B F B 求y关于x的函数表达式；连结8 G,C G,当，=_ 土时，求跑的值.1 6 C G1 3.(2 0 2 1秋鼓楼区校级期末)定义1：如 图1,若点H在直线/上，在/的同侧有两条以，为 端 点 的 线 段 满 足N l=/2,则称MH和N”关于直线/满足“光学性质”;定义2：如图2,在A A 8 c中，P Q R的三个顶点尸、Q、R分别在B C,A C、AB t,若R P和Q P关于B C满 足“光学性质”，P Q和R Q关于A C满 足“光学性质”，P R和Q R关于A B满 足“光学性质
22、”，则称 P Q R为 A B C的光线三角形.阅读以上定义，并探究问题：在A B C 中，Z A=3 0 ,AB=AC,)：尸三个顶点 、E、尸分别在 8 C、AC,AB .(1)如图3,若 FEBC,和F E关于A C满足光学性质，求/E D C的度数；(2)如图4,在a A B C中，作C F L A B于F,以A B为直径的圆分别交A C,B C 于点E,D.证明：/)尸为A 8 C的光线三角形;证明：A A B C的光线三角形是唯一的.AABQB D c图3 图41 4.（2 0 2 1 秋丰台区期末）对于平面直角坐标系x O y中的线段48及点尸，给出如下定义:若点P满 足%=P8
23、,则称P为线段A8的“轴点”，其中，当0 乙 4 尸 8 6 0 时，称P为线段AB的“远轴点”；当 6 0 WN A P B,且A B=C ,则A A B C为等底高三角形，A 8叫等底线，C。叫等高线.【概念感知】判断：对 的 打“，”，错 的 打“X”.(1)等边三角形不可能是等底高三角形.(2)等底高三角形不可能是钝角三角形.【概念理解】若一个等腰三角形为等底高三角形，则 此 三 角 形 的 三 边 长 之 比 为.【概念应用】(1)若A A B C为等底高三角形，等底线长为2,求三角形的周长的最小值.(2)若一个等底高三角形的其中一边是另一边的代倍，求最小角的正弦值.1 9.(2 0
24、2 1宁波模拟)在三角形的三边中，若其中两条边的积恰好等于第三边的平方，我们把这样的三角形叫做有趣三角形，这两条边的商叫正度，记为k(O V A W l).(1)求证：正度为1的有趣三角形必是等边三角形.(2)如图，四边形4 8C。中，AD/BC,平分N A 8C,Z A C D=Z A B C,求证：A 8 C是有趣三角形.(3)如图，菱形A 8C Z)中，点E,F是对角线8。的三等分点，D E=D C.延长8。到P,使 P=B E.求证：B C E,/FCP,A B C P是具有相同正度的有趣三角形.2 0.(2 02 1 临海市一模)在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差,叫做这个角的勾股差.ccB(1)概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为:在底边长为2的等腰三角形中，底 角 的 勾 股 差 为;(2)性质探究：如图 1,是A B C 的中线，AC=b,BC=a,AB=2c,CD=(l,记4A C D中Z A D C的勾股差为m,/BCD中Z B D C的勾股差为n；求 ，的 值(用 含a,b,c,1的代数式表示)；试说明m与n互为相反数；(3)性质应用：如图2,在四边形A 8C。中，点E与尸分别是A 3与 的 中 点，连接BD,DE,D F,若 迎=3,且 CO_LBO,C D=A D,求理的值.AB 4 DF