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1、浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（四）套密押预测卷（四）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分选择题部分注意事项注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小
2、题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.当0 x 时，f x是1 cosx的同阶无穷小，则当0 x 时，f xx是x的（）.A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小2.设 f x在2x 处可导，23f，则11lim22hh ffhh（）A.0B.4C.2D.63.设直线1l：2112xtyzt，直线2l：2602230 xyzxyz，求直线1l，2l夹角的余弦值()A.1010B.110C.55D.154.设可导函数)(xF，f x满足)()(xfxF，f xfx且C为任
3、意常数，则 fx dx dx()A.F xCB.F xf xC.12F xC xCD.1F xC x浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌25.已知级数1111ln 1nnnnun，则()A.级数1nnu收敛，21nnu发散B.级数1nnu发散，21nnu发散C.级数1nnu收敛，21nnu收敛D.级数1nnu发散，21nnu收敛非选择题部分非选择题部分注意事项注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题二、填空题:本大题共本大题共
4、 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.求极限232013tancoslim11xxxxx.7.函数 2sin2limxf xxf x，则 f x.8.函数211()1(0)2xF xdt xt的单调减区间是.9设函数cosyxyx，则函数在0 x 处的切线方程为.10.0sin2xdtdt=.11.曲线221xyx的斜渐近线方程为.12.求积分11dxxx.13.已知级数112nnnu，213nnu，210nnu.14.函数 1f xx，将函数 f x在1x 处展开.15.直线11115zxy 与直线111239yzx距离为.三三、计算题计算题：本题共有本题共有
5、8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌316.设(sin)sec tanfxxx，求)(xf的表达式以及定义域.17.求极限22lim sin1xxxx.18.已知 f x，g x都是单调函数，且二阶可导，yfg x，求dxdy，22d xdy.19.设函数sintxteyt ，求在0t 处的法线方程.20.求不定积分1lnxdxx.浙江
6、专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌421.设12,0,(),0,xxxf xex求41(2)f xdx.22.讨论方程1arctan224xx根的个数.23.求曲线22(2)4xy所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积.四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分.24设某产品的价格为800.2PQ（P是价格，单位：元，Q是需求量，单位：件），成本函数为4000 10CQ.（1）求边际利润函数，并求当100Q 和200Q 时的边际利润.（2）要使利润最大，则需求量应为多少？浙江专升本考前 1
7、0 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌525.设 f x是周期为2的连续函数：（1）证明对任意的实数t，都有 220ttf x dxf x dx；（2）证明 202xttG xf tf s ds dt是周期为2的周期函数26.设函数 f x在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且 00f,112f,证明：存在10,2，1,12，使得方程 ff.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌62020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（套密押预测卷（四四）参考答案与解析参考答案与解析一、选择题一、选择
8、题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.【答案答案】（C）【知识点知识点】无穷小比较的概念【解析解析】当0 x 时，f x是1 cosx的同阶无穷小，当0 x 时，f x是x的高阶无穷小，故 000limlimlim1xxxf xxf xxxxx，则当0 x 时，f xx是x的等价无穷小，故选 C.2.【答案答案】（D）【知识点知识点】导数的定义0000limxf xxf xfxx【解析解析】f x在2x 处可导;11lim22hh ffhh=11
9、22lim1hffhhh=22f=63.【答案答案】（A）【知识点知识点】求两直线夹角，即为两直线方向向量的夹角。【解析解析】1s=2,0,1，22110,3,3122ijks ；两直线的夹角的余弦值121210cos10s sss ，故选 A.4.【答案答案】（C）浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌7【知识点知识点】不定积分【解析解析】由题意得 fx dx=1f xC，fx dx dx 1f xC dx=12F xC xC.5.【答案答案】（C）【知识点知识点】数项级数敛散性的判断.【解析解析】11ln 1ln 11nn，1limln 10nn，故由
10、莱布尼茨定理可得，级数1111ln 1nnnnun收敛.由比较审敛法的极限形式可得1ln 1lim11nnn，21ln 1lim1nnn=221ln1lim1nnn=1.故21nnu敛散性与211nn相同，故21nnu收敛，选择 C二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.【答案答案】6【知识点知识点】求极限.【解析解析】232013tancoslim11xxxxx=230213tancoslim12xxxxx=320221cos3lim1122xxxxxx=6注：最后一步拆成两项需要满足两项极限都存在才可拆。7.【答案答案】si
11、n2x【知识点知识点】极限的定义，极限存在即极限等于一常数.【解析解析】思路，可先将 2limxf x看作常数 C，sin2f xxC要求 C 可直接对 f x求极限，即 22limlimsin2xxf xxC，12CC，1C ，sin2f xx8.【答案答案】20,2【知识点知识点】积分上限函数的求导+单调性与导数的关系.【解析解析】求函数的单调递减区间即求一阶导数小于 0 的区间；浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌8 Fx=21212xx=221xx0 x，当20,2x，0Fx，F x单调递减.9.【答案答案】1yx【知识点知识点】隐函数求导【解析
12、解析】：sin1yyxyxy 1sinsin1xxy yyxy 1sin1sinyxyyxxy 当0 x，1y，代入得01011sin11sinxyxyyxyyxxy，故切线方程为1yx.10.【答案答案】sin2xdx【知识点知识点】求微分注意微分格式【解析解析】0sin2xdtdt dx=sin2xdx11.【答案答案】2yx【知识点知识点】求渐近线方程【解析解析】求斜渐近线，设ykxb，221limlim2xxxf xxkxx，2221 2lim2lim0 xxxxbf xxx，2yx.12.【答案答案】2ln1xxC【知识点知识点】不定积分换元积分法【解析解析】令xt，2xt，2dxt
13、dt，则原积分变为221tdttt=221dtt；221dtt=22ln1ttC=2ln1xxC13.【答案答案】1【知识点知识点】无穷级数奇数项和偶数项.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌9【解析解析】11nnnu1234221nnuuuuuu 22110nnnnuu2；213nnu，2120121nnnnuu14.【答案答案 f x 011nnnx02x【知识点知识点】将函数展开成幂级数【解析解析】将 f x在1x 处展开，先凑1x，111f xx；再根据形势代入公式，f x 011nnnx02x.15.【答案答案】3 1414【知识点知识点】求异
14、面直线距离.【解析解析】求异面直线距离可先过直线1l做平面平行于直线2l，126,4,2nss 且过点1,1,11，平面：642120 xyz，将异面直线距离问题转化为平面到直线2l的线面距离问题，而线面距离问题实际上就是直线上的一点到平面的距离问题。取直线2l上的一点2,1,11代入点到直线的距离公式12422 123 141436 164d.三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的
15、不给分.16.【答案答案】f x 21xx，1,1x【知识点知识点】求复合函数的表达式以及定义域。【解析解析】sinfx sec tanxx 2sincosxx2sin1 sinxx1sin1x.（4 分）f x 21xx，1,1x.（7 分）17.【答案答案】2【知识点知识点】求极限浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌10【解析解析】22lim sin1xxxx22lim1xxxx.（6 分）2.（7 分）18.【答案答案】dxdy 1gx fg x，22d xdy 23gx fg xgxfg xgx fg x【知识点知识点】复合函数求反函数，根据反函
16、数定义逐步求解即可.可参照参数方程求解的形式.【解析解析】dydx gx fg x，dxdy 1gx fg x；.（3 分）22d xdydxddydxdxdy 23gx fg xgxfg xgx fg x.（7 分）19.【答案答案】21yx【知识点知识点】参数方程求导，求法线问题【解析解析】先求切点，当0t，切点为1,0.（1 分）dydt cost，dxdt1te.（2 分）dydxcos1tte，当0t 时，dydx12，法线斜率为2k .（4 分）法线方程：21yx.（7 分）20.【答案答案】111ln 1lnln 1222xxxxxC【知识点知识点】不定积分，分部积分+换元积分法
17、【解析解析】1lnxdxx11ln2xdxx11ln 1ln22x dxxdx；.（2 分）1ln 12x dx11ln 122 1xxxdxx111ln 1ln 1222xxxxC1ln2xdx11ln122xxdx11ln22xxxC；.（4 分）1lnxdxx111ln 1lnln 1222xxxxxC.（8 分）21.【答案答案】21e 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌11【知识点知识点】求定积分。【解析解析】令2xt，x的上限为 4，下限为 0，t的上限为 2 下限为-1.（1 分）21f t dt=2001f t dtf t dt=200
18、112te dtt dt02210 xxxe.（6 分）=21e.（8 分）22.【答案答案】有且仅有有且仅有 2 个根个根【知识点知识点】利用零点定理求解方程的根。【解析解析】利用方程1arctan0224xx可得出设 1arctan224xf xx.（1 分）21112fxx，当1x 或1x 时，0fx；当1x 或1x，0fx，f x为减函数；当11x，0fx，f x为增函数；故 在1x 处 存 在 极 小 值10f，在1x 处 存 在 极 大 值 1111042242f；.（3 分）当,1x，由单调性可得，当1x ，10f xf，当11x，10f xf；故函数 f x在区间,1上有且仅有
19、一个零点。当1,x：又 f x在1,上连续；10f，1limlim arctan0224xxxf xx；由零点定理可得至少存在一点1,，使得 0f；浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12又 f x在1,上为减函数；综上所述 f x在1,上有且仅有一个零点。f x在,上有且仅有两个零点，即原方程有且仅有两个实根，故证毕。.（8 分）23.【答案答案】216【知识点知识点】结合图形，代入求体积公式【解析解析】圆形函数图像圆心为2,0，半径为2，左右半支函数分别为 2142xyy，2242xyy，取y作积分变量，22y；由此可得旋转体体积为222222222
20、424Vydyydy2222222424yydy 222222442 4442 4yyyydy2228 4y dy220164y dy（根据奇偶性）2220162arcsin41622yyy故旋转体体积为216。.（8分）方法二：将原方程转化为参数方程2cos22sinxtyt()440200222000222322002sin22()416(2cos2)sin32(1 cos)sin32sin32sincos3264sin32sinsin16sin1603yf xydxtdtVxf x dxxydxttdtttdttdtttdttdttdtt 四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小
21、题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分.24.【知识点知识点】利用导数解决经济最大值问题，注意边际利润即为利润对需求量求导。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌13【解析解析】（1）由题意得利润函数 20.2704000L QP QQC QQQ.（1 分）边际利润为 0.470L QQ.（3 分）当100Q 时边际利润为10030L，当200Q 时20010L.（5 分）（2）令 0L Q，得175x，0LQ，故当175Q 时利润最大。.（8 分）25.【知识点知识点】求积分上限函数的函数性质.【解析解析】（1）证：2ttf x dx 0
22、2202ttf x dxf x dxf x dx.（1 分）令2xu，x的上限为2t，x的下限为t；u的上限为t，下限为0。22tf x dx=0tf u du.（3 分）2ttf x dx 0200ttf x dxf u duf x dx 200f x dx，故证毕.（5 分）（2）证：证明函数性质即将函数代入函数性质即可；202xttG xf tf s ds dt 2002xxttf t dtf s ds dx 20002xxf t dtf s ds dx 2002xf t dtxf s ds.（6 分）2200222xG xf t dtxf s ds 22222000222xf t dt
23、f t dtf s dsxf s ds 22202xf t dtxf s ds.（8 分）令2ut，dudt，u的上限为x下限为 0；2G x 20022xf uduxf s ds=2002xf u duxf s ds 20002xxf u duf s ds du 2002xf uf s ds du浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌14 G x故证毕.（10 分）26.【知识点知识点】中值定理的应用【解析解析】（1）令 212F xf xx，00F，10F.（1 分）F x在10,2上连续；F x在10,2上可导；由拉式中值可得至少存在一点10,2，使得 10122122FFFF；同理可得 F x至少存在一点1,12，111221212FFFF；.（3 分）220FFff；.（7 分）即存在10,2，1,12，使得方程 ff故证毕.（10 分）