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1、浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（十）套密押预测卷（十）请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分选择题部分注意事项注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.一、选择题一、选择题:本大题共本大题共 5 小题，每小题小
2、题，每小题 4 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.()()F xf x是的一个原函数,MN表示M的充分必要条件是N,则必有（）A.()F x是偶函数()f x是奇函数B.()F x是奇函数()f x是偶函数C.()F x是周期函数()f x是周期函数D.()F x是单调函数()f x是单调函数2.设()0f xx 在处连续,下列命题错误的是（）A.若 0limxf xx存在，则(0)0fB.若0()()limxf xfxx存在，则(0)0fC.若0()lim0 xf xx，则(0)0f D.若0(
3、)()limxf xfxx存在，则(0)0f 3.如图()3,2,2,3f x在区间是直径为 1 的上、下半圆，()2,0,0,2f x在区间是直径为 2 的下、上半圆，设0()()xF xf t dt，则结论正确的是()浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌2A.3(3)(2)4FF B.5(3)(2)4FFC.3(3)(2)4FFD.5(3)(2)4FF 4.若1nna收敛，则级数收敛的是（）A.1|nnaB.1(1)nnnaC.11nnna aD.112nnnaa5.微分方程2432xyyye的通解是（）A.3212CC2xxxeeeB.3212CC
4、2xxxeeeC.3212CC2xxxeeeD.3212CC2xxxeee非选择题部分非选择题部分注意事项注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2.在答题纸上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题二、填空题:本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.6.已知12lim1 cos1 cos.1 cosnnnnnn7.极限2lim(1)(2)xxxxx浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌38.1ln(1)xyex的渐近线有条.9.设20ln(
5、1)ttxeyudu 确定，则202td ydx10.已知0,k 则ln0 xxke根个数为11.已知()yf x有二阶导数，且()0,()0,fxfxydy 与分别对应0()f xx在处的增量和微分，若0 x，则 0 与ydy 及三者的大小关系是_12.求定积分20cosxxdx13.函数2()|32|,10,10f xxxx 的最大值是_14.设20()ln(2)xf xt dt,则()fx的零点有个15.曲线 L 的方程为211ln,(1x)42yxxe,则曲线弧长是三三、计算题计算题：本题共有本题共有 8 小题小题，其中其中 16-19 小题每小题小题每小题 7 分分，20-23 小题
6、每小题小题每小题 8 分分，共共 60分分.计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分.16.计算tan0limtanxxxeexx.17.过点 A(2,1,3)且与直线11:321xyzL垂直相交的直线方程.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌418.计算tan xarcdx.19.已知411()1txf xdt，求定积分120()x f x dx.20.求极限0limx1(1)arcsin(11)xxex.21.求幂级数12n 11(1)1(21)nnxnn的收敛区间和和函数()F x.浙江专升本考前
7、 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌522.设抛物线22yx，其上有点1(,1)2A.求：(1)过 A 点的法线；（2）该法线与抛物线围成的平面图形的面积 S.23.已知22ln(1,10()1sin,0 xxf xxxx），求(0)f.四、综合题：本大题共四、综合题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 30 分分.24.已知曲线的方程为221:(0)4xtLtytt(1)讨论 L 的凹凸性；(2)过(-1,0)引 L 的切线，求切点00(,)xy，并写出切线的方程；(3)求此切线 L(对应0 xx部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积.浙江专
8、升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌625.飞机在机场降落时,引擎关闭,飞机只受到风的阻力.为了减少滑行距离,飞机触地瞬间张开减速伞,以增大阻力,使飞机减速并停下.现有一质量m9000kg的飞机,着陆时水平速度0v700/km h.经测试,减速伞打开后,飞机所受总阻力与飞机速度成正比(比例系数66 10k).问飞机从着陆点算起到停下的最大滑行距离多少？26.设函数)(xf在,a b二次可微，且()0,()0fxfx，证明：（1）当,xa b，f bf af xxaf aba（2）当,xa b，()()()()()()2baf af bba f af x dxb
9、a.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌72020 年浙江专升本高等数学考前年浙江专升本高等数学考前 10 套密押预测卷（套密押预测卷（十十）参考答案与解析参考答案与解析一、一、选择题选择题:本大题共本大题共 5 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。只有一项是符合题目要求的。1.【答案答案】（A）【知识点知识点】函数的性质【解析解析】奇函数的原函数是偶函数。2.【答案答案】（D）【知识点知识点】导数的定义【解析解析】若0()limxf xx存在，而00lim0li
10、m()0 xxxf x，而()0f xx 在处连续,则0(0)lim()0 xff xA，正确；同理 B 正确;对 C，000()()0()(0)limlimlim(0)000 xxxf xf xf xffxxx，正确;对 D,取()|0f xxx，在处不可导，但0()()limxf xfxx存在。3.【答案答案】（C）【知识点知识点】定积分的性质【解析解析】3230023(3)()()()(3)288Ff t dtf t dtf t dtF20(2)()2Ff t dt2002(2)()()2Ff t dtf t dt，则选项(C)3(3)(2)4FF成立。4.【答案答案】（D）【知识点知识
11、点】判断级数的敛散性【解析解析】A.1|nna，取1(1)nnan，排除 A。B.1(1)nnna，取1(1)nnan，排除 B。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌8C.11nnna a，取1(1)nnan，排除 C。D.112nnnaa，正确。5.【答案答案】（A）【知识点知识点】微分方程【解析解析】齐次微分方程对应的特征方程2430rr，两个根是 1 和 3。特解*2yxAe，因为 2 不是特征根，不升幂。代入原方程，解得2A 。非选择题部分非选择题部分注意事项注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸
12、上作图，可先使用 2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二、二、填空题填空题:本大题共本大题共 10 小题，小题，每小题每小题 4 分，分，共共 40 分。分。6.【答案答案】2 2【知识点知识点】定积分定义的计算【解析解析】定积分定义计算112001012lim1 cos1 cos.1 cos1 cos2cos22 22cos2nnnnnnxxdxdxxdx7.【答案答案】1e【知识点知识点】求极限【解析解析】21limlim12(1)(2)xxxxxxxxxxx浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌912111lime1211xxxe
13、exx 8.【答案答案】3 条【知识点知识点】求函数的渐近线【解析解析】01limln(1)xxxe,则0 x 为垂直渐近线。-1limln(1)0ln(1)0 xxxe,则0y 为水平渐近线。而：1limln(1)0ln()xxxe ，因此可能有斜渐近线。进一步判断：21ln(1)1ln(1)limlimlimxxxxxeexxxx0lim11xxxeae 11lim()lim()limln(1)limln(1)ln()xxxxxxxbyaxyxexeexx1111limlnlimln 1xxxxxexexe0故：yx为斜渐近线，一共 3 条。9.【答案答案】202|0td ydx【知识点知
14、识点】参数方程求二阶导数【解析解析】由参数方程20ln(1)ttxeyudu 知，2()e ln(1)()tdyy ttdxx t浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌10222222()e ln(1)()()()2eln(1)1tty ttx td ydxx tx tttt所以202|0td ydx。10.【答案答案】2 个根【知识点知识点】讨论方程根的个数【解析解析】设()lnxf xxke，则：11()fxxe，()0fxxe令得驻点，且有：(0,),()0;(,),()0;xefxxefx故xe处左增右减，取极大值（也可以用二阶导数判断）。又()1
15、 1 k0f ek ，且0lim(),lim()xxf xf x ，故由图形知两个根。11.【答案答案】0dyy 【知识点知识点】函数的微分【解析解析】()lnf xx设由指数函数图像可以快速得到结论。注意：dy是y的近似，以直代曲部分。12.【答案答案】4【知识点知识点】定积分的求解【解析解析】2200 xcos x2t costx tdxdt220002tsin2(t sin)|4tsindtttdt0004(tcos)|4costtdt4 13.【答案答案】132【知识点知识点】函数最大值的求解【解析解析】2()|32|,10,10f xxxx,根据其图像，浙江专升本考前 10 套密押预
16、测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌11maxmax(10),(1.5),(10)1max132,721324ffff14.【答案答案】1 个【知识点知识点】积分上限函数求导【解析解析】20()ln(2)xf xt dt则2()2 ln(2)fxxx，令22 ln(2)0 xx解得0 x 为唯一零点。15.【答案答案】214e【知识点知识点】求解弧长【解析解析】弧长s计算:11()2yxx,222112211111(2)41111()(ln)|2224eeeesy dxxdxxxexdxxx三、计算题：本题共有三、计算题：本题共有 8 小题，其中小题，其中 16-19 小题每小题小题
17、每小题 7 分，分，20-23 小题每小题小题每小题 8 分分，共共 60 分。计算题必须写出必要的计算过程，分。计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分。只写答案的不给分。16.【答案答案】1【知识点知识点】利用拉格朗日中值定理和夹逼准则求极限【解析解析】tan00limlim,tantanxxxxeeexxxx在 与之间.(使用拉格朗日中值定理)而tan000limlime1xxxxee由夹逼准则知：tan00limlim1tanxxxxeeexx.（7 分）17.【答案答案】1213:214xyzL【知识点知识点】平面方程与直线方程【解析解析】过点(2,1,3)A且与直线11:32
18、1xyzL垂直相交的直线方程。浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌12L 的方向向量s(3,2,1)过(2,1,3)A且 垂直 L 的 平面 方 程,即 为过(2,1,3)A，以s(3,2,1)为 法向 量n(3,2,1)的平面，点法式写出该平面为：3(2)2(1)(3)03250 xyzxyz即：直线 L 对应的参数方程为：1 312xtytzt ，.（3 分）设所求直线与平面的交点为000(1 3,12,)Bttt 将 B 点代入平面的方程，知：037t 交点2 133(,)777B，所求直线的方向向量：16sAB21,47（，）故所求直线1213:
19、214xyzL.（7 分）18.【答案答案】arctanarctanxxxxC【知识点知识点】分部积分法求不定积分【解析解析】x2tan xarctanttarcdxdt222arctan1tttdtt2221 1arctan1tttdtt 221arctan11ttdtt2arctanarctanttttC arctanarctanxxxxC.（7 分）19.【答案答案】126浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌13【知识点知识点】定积分的求解【解析解析】容易知道1411(1)01tfdt，且41()1xfx对120()x f x dx分部积分：111
20、23313000011()()()|()33x f x dxf x dxx f xx fx dx1301(00)()3x fx dx.（3 分）代入：41()1xfx1112334000111()()331x f x dxx fx dxxdxx 140112166x.（7 分）20.【答案答案】e【知识点知识点】求极限【解析解析】0,arcsin(11)2xxxln(1)1ln(1)ln(1)0,()1011xxxxxxexx 有，从而所以，原极限：ln(1)11/00(1)1limlim/2arcsin(11)xxxxxxeeexx200ln(1)1ln(1)limlim/22xxxxxxe
21、exx.（3 分）22ln(1)()2xxxo x又,所以有，浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌141/200(1)ln(1)limlimarcsin(11)2xxxxexxexx2220()2lim2xxo xeex.（8 分）21.【答案答案】2222 arctanln(1)1xxxxx，(1,1)x【知识点知识点】求和函数【解析解析】记：121()(1)1(21)nnnuxxnn 计算：21()(1)(21)1(21)limlim()(1)(21)(21)1nnnnuxnnnnxuxnnnn22(1)(21)1(21)lim1(1)(21)(21
22、)1nnnnnxxnnnn解得(1,1)x 为收敛区间.当1x 时，级数发散；当1x 时，级数也发散；故级数收敛域为(1,1)x。.（3 分）为求和函数()F x的表达式，将原级数拆开两项，即：1212n 1n 121211n 1n 11()(1)(1)(21)(1)2(1)()2()2(21)nnnnnnnnF xxxnnxxS xS xnn对于第一部分122461n 12222()(1).,(1,1)1()1nnS xxxxxxxxxx 第二部分，记：21n 1()(1)2(21)nnxS xnn，且(0)0S则：211n 1()(1)(21)nnxS xn，且(0)0S浙江专升本考前 1
23、0 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌15进而有：122242n 11()(1)1.1nnS xxxxx 积分得：020()()(0)()1arctanarctan01arctanxxS xS xSS t dtdtxtx再进一步积分得：020()()(0)()ln(1)arctantxarctan-2xxS xS xSS t dtxdtx综上可知，和函数为：22()1xF xS xx2222 arctanln(1)1xxxxx，(1,1)x.（8 分）22.【答案答案】【知识点知识点】定积分的应用【解析解析】(1)22yx两边对x求导得到过 A 的切线斜率，即：22y y，
24、代入1(,1)2得：1()12yk 切所以，1k 法故法线方程为：111()2yx 即：32yx .（3 分）(2)求得法线与抛物线交点，联立：2319(,1),(,3)2222yxAByx 交点如图：浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌1623-22ydSxxdyydy直抛所以，213316223ySydy.（8 分）23.【答案答案】【知识点知识点】导数定义【解析解析】(0)ln(1 00f）22000()(0)ln(1limlimlim00 xxxf xfxxxxx）左导数.（3 分）2001sin()(0)limlim0 xxxf xfxxx右导
25、数.（6 分）01limsin0 xxx（利用性质：有界函数乘以无穷小）所以，(0)0f.（8 分）四、综合题：四、综合题：本大题共本大题共 3 小题，小题，每小题每小题 10 分，分，共共 30 分。分。24.【知识点知识点】导数的应用【解析解析】(1)()4221()2dyy ttdxx ttt22232211()2d yttdxx ttt 浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌17当22310,0d ytdxt，故 L 是下凹（或凸）.（3 分）(2)设切点00(,)xy对应的参数为00t，则切点2200000(,)(1,4)xyttt，斜率021k
26、t，故切线为：2200002(4)11yttxtt而点(-1,0)在切线上，则：220000204111tttt，化简得：200020,0ttt而，解得001,2tt（舍去）代入得：切点(2,3)切线1yx.（6 分）(3)曲线 L 与 x 轴的交点为：令2040ytt，即，得120,4tt，对应的 L 与x轴两个交点为：(1,0),(17,0)由 L 的凹凸性及两个交点，大致画出 L 的图形及切线如下图：2221119(1)2Sxdxydxydx12209(4)(1)2tt d t浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌18120972(4)23ttt d
27、t.（10 分）(注意：x在1,2对应 t 在0,1之间)25.【知识点知识点】导数的物理应用【解析解析】用()x t表示 t 时刻飞机的滑行距离，则其一阶导数为速度，二阶导数为加速度.飞机着陆瞬间开始计时 t=0，(0)0 x.着陆瞬间速度为 00 xv由牛顿第二定律知，aFma阻，其中 表示加速度，据此建立微分方程：22d xmdtF阻，由题设飞机所受总阻力与飞机速度成正比，故而：dxFkdt 阻.注意，负号表示阻力与速度反方向即：22d xdxmkdtdt.根据初始条件，有下列微分方程：x0(0)700(0)0kxmxx.（4 分）二阶齐次线性微分方程特征方程：2kr0rm，故齐次通解为
28、：12()ktmx tCC e，在根据两个初始条件得：01210202(0)0(0)mvxCCCkkmvxCvCmk 由此解得：00()ktmmvmvx tekk总的最大滑行距离为：t 取极限求得，此时速度为 0.0tlim0ktmxv e ，即静止状态.浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌190006t9000 700()lim01.05()6 10ktmmvmvmvxekmkkk 结论，飞机着陆后的最大滑行距离为 1.05km.（10 分）26.【知识点知识点】定积分的应用.【解析解析】（1）证明：f x在,xa b上连续；f x在,xa b上可导；
29、由拉式中值可得，至少存在一点1,a b，1f bf afba。令 f bf aF xf xxaf aba 1f bf aFxfxfxfba故 Fx至少有一零点1,a b，0Fxfx，110Ff。故 Fx有且仅有一个驻点且 F x在1x处有唯一的极小值。111111f bf aFfaf aff afaba等式两边同时除以1a，11111Fff afaa。由拉式中值定理可得至少存在一点21,a，121ff afa。1211Fffa又 0fx，fx单调递增，故12110Fffa，浙江专升本考前 10 套密押预测卷高等数学欣迈专升本-浙江专升本辅导专业品牌20即可推出,xa b，f bf af xxa
30、f aba，故证毕。.（5 分）（2）证明：先证明()()()baba f af x dx由积分中值定理知：()()()(,)baf x dxba fa b，而()0,fx(,)a b，由单调性性质知()()ff a.所以，()()()baba f af x dx.再证明：()()()()2baf af bf x dxba如图：过左右端点(,(),(,()A a f aB b f b的直线 AB 为：()()()()f bf ayf axaba()()()()f bf ayf axaba即：.由（1）可得 f bf af xxaf aba，()()()()2bbaaf bf af af bf x dxxaf adxbaba综上可知：()()()()()()2baf af bba f af x dxba成立.（10 分）注意注意：如果根据图像，利用梯形 ABCD 的面积大于曲边梯形 ABCD 的面积，即直接写出()()()()2bABCDABCDaf af bSbaf x dxS梯形曲边梯形应酌情扣 3 分，因为不够严谨，没有利用定积分的性质。