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1、初三数学一元二次方程组的专项培优易错试卷练习题(含答案)含答案 一、一元二次方程 1某建材销售公司在 2019 年第一季度销售,A B两种品牌的建材共 126 件，A种品牌的建材售价为每件 6000 元，B种品牌的建材售价为每件 9000 元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，求至多销售A种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在 2019 年第二季度调整价格，将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a，B种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了1%2a，B种品牌的建材的销售量减少
2、了2%3a，结果 2019 年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a，求a的值.【答案】（1）至多销售A品牌的建材 56 件;(2)a的值是 30.【解析】【分析】（1）设销售A品牌的建材x件，根据售完两种建材后总销售额不低于 96.6 万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A品牌的建材x件.根据题意，得60009000 126966000 xx，解这个不等式，得56x，答：至多销售A品牌的建材 56 件.（2）在（1）中销售额最低时，B品牌的建材 70 件，根据题意，得 1226000 1%56 1%9000 1%70 1%6000569000
3、701%2323aaaaa，令%ay，整理这个方程，得21030yy，解这个方程，得1230,10yy，10a（舍去），230a，即a的值是 30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解 2解下列方程：（1）x23x=1 （2）12（y+2）26=0【答案】(1)12313313,22xx;(2)1222 3,22 3yy 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得 x23x1=0，b24ac=130 12313313,
4、22xx （2）（y+2）2=12，或，1222 3,22 3yy 3如图，在 ABC 中，AB6cm，BC7cm，ABC30，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动如果 P、Q 两点同时出发，经过几秒后 PBQ 的面积等于 4cm2？【答案】经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2【解析】【分析】作出辅助线，过点 Q 作 QEPB 于 E，即可得出 S PQB=12PBQE，有 P、Q 点的移动速度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案【详解】解：如图，
5、过点 Q 作 QEPB 于 E，则 QEB90 ABC30，2QEQB S PQB12PBQE 设经过 t 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2，则 PB6t，QB2t，QEt 根据题意，12（6t）t4 t26t+80 t22，t24 当 t4 时，2t8，87，不合题意舍去，取 t2 答：经过 2 秒后 PBQ 的面积等于 4cm2【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去 4已知：关于 x 的方程 x24mx4m210.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若 ABC 为等腰三角形，BC5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长2【答案】(1)有两
6、个不相等的实数根（2）周长为 13 或 17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出=40，由此可得出：无论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及 0，可得出 5 是方程 x24mx+4m21=0 的根，将 x=5代入原方程可求出 m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论 试题解析：解：（1）=（4m）24（4m21）=40，无论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根（2）0，ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5 是方程 x24mx+4m21=0 的根 将 x=5 代入原方程，得：2520m+4m21
7、=0，解得：m1=2，m2=3 当 m=2 时，原方程为 x28x+15=0，解得：x1=3，x2=5 3、5、5 能够组成三角形，该三角形的周长为 3+5+5=13；当 m=3 时，原方程为 x212x+35=0，解得：x1=5，x2=7 5、5、7 能够组成三角形，该三角形的周长为 5+5+7=17 综上所述：此三角形的周长为 13 或 17 点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当 0 时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入 x=5求出 m 值 5某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米 7000 元价格出售，由于
8、国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米 5670 元的价格销售（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调 5%，再下调 15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为 10%（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调 x%，则 7000（1x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意
9、，舍去）；答：平均每次下调的百分率为 10%（2）（15%）（115%）=95%85%=80.75%，（1x）2=（110%）2=81%80.75%81%，房产销售经理的方案对购房者更优惠 6图 1 是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为 ABC 和 DEF，其中 B=90，A=45，BC=，F=90，EDF=30，EF=2将 DEF的斜边 DE 与 ABC 的斜边 AC 重合在一起，并将 DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合)（1）请回答李晨的问题：若 CD=10，则 AD=；（2）如图 2，
10、李晨同学连接 FC，编制了如下问题，请你回答：FCD 的最大度数为 ；当 FC AB 时，AD=；当以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边时，AD=;FCD 的面积 s 的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）60；.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出 AC 的长，即可得到 AD 的长.（2）当点 E 与点 C 重合时，FCD 的角度最大，据此求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含 30 度角直角三角形的性质求解即可.过点 F 作 FHAC 于点 H，AD=x，应用含 30 度角直角三角形的性质
11、把 FC 用 x 来表示，根据勾股定理列式求解.设 AD=x，把 FCD 的面积 s 表示为 x 的函数，根据 x 的取值范围来确定 s 的取值范围.试题解析：（1）B=90，A=45，BC=，AC=12.CD=10，AD=2.（2）F=90，EDF=30，DEF=60.当点 E 与点 C 重合时，FCD 的角度最大，FCD 的最大度数=DEF=60.如图，过点 F 作 FHAC 于点 H，EDF=30，EF=2，DF=.DH=3，FH=.FC AB，A=45，FCH=45.HC=.DC=DH+HC=.AC=12，AD=.如图，过点 F 作 FHAC 于点 H，设 AD=x，由知 DH=3，F
12、H=，则 HC=.在 Rt CFH 中，根据勾股定理，得.以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且 FC 为斜边，即，解得.设 AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.FCD 的面积 s 的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含 30 度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.7 1.735=59.5，1.780=136151 这家酒店四月份用水量不超过 m 吨（或水费是按 y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过 m 吨（或水费是按来计算的）则有 151=1.780+（80m）即
13、 m280m+1500=0 解得 m1=30，m2=50 又 四月份用水量为 35 吨，m1=3035，m1=30 舍去 m=50 【解析】8关于 x 的一元二次方程22210 xkxk有两个不等实根1x，2x.（1）求实数 k 的取值范围；（2）若方程两实根1x，2x满足121210 xxx x，求 k 的值.【答案】(1)k14;(2)k=0.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出 0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2，代入 x1+x2+x1x2-1=0，即可求出 k 值【详解】解：（1）关于 x 的一
14、元二次方程 x2+（2k-1）x+k2=0 有两个不等实根 x1，x2，=（2k-1）2-41k2=-4k+10，解得：k14，即实数 k 的取值范围是 k14；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1x2=k2，x1+x2+x1x2-1=0，1-2k+k2-1=0，k2-2k=0 k=0 或 2，由（1）知当 k=2 方程没有实数根，k=2 不合题意，舍去，k=0【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解 9已知1x、2x是关于x的方
15、程222(1)50 xmxm的两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)已知等腰ABC的一边长为 7，若1x、2x恰好是ABC另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m2;(2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为 7，将 x=7 代入求出 x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得 试题解析：解：（1）由题意得=4（m+1）24（m2+5）=8m160，解得：m2；（2）由题意，x1x2时，只能取 x1=7 或 x2=7，即 7 是方程的一个根，将 x=7 代入得：4914（m+1）+m2+5=0，解得：m=4 或 m=10 当
16、m=4 时，方程的另一个根为 3，此时三角形三边分别为 7、7、3，周长为 17；当 m=10 时，方程的另一个根为 15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为 17 点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键 10若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解【答案】（1）a174；（2）x=1 或 x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于 a 的不等式，即可求出 a 的取值范围；（2）根据（1）确定出 a 的最大整数值，代入原
17、方程后解方程即可得.【详解】（1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a2=0 有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得 a174；（2）由（1）可知 a174，a 的最大整数值为 4，此时方程为 x23x+2=0，解得 x=1 或 x=2【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0 方程没有实数根 11关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0（1）当 b=a+2 时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a
18、，b 的值，并求此时方程的根【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1 时，x1=x2=1【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24bac，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240bac，写出一组满足条件的a，b的值即可.详解：（1）解：由题意：0a 22242440bacaaa，原方程有两个不相等的实数根（2）答案不唯一，满足240bac（0a）即可，例如：解：令1a，2b ，则原方程为2210 xx，解得：121xx 点睛：考查一元二次方程200axbxca根的判别式24bac，当240bac 时，方程有两个不相等的实数根.当240b
19、ac 时，方程有两个相等的实数根.当240bac时，方程没有实数根.12如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？【答案】羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米、20 米.【解析】试题分析：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程 试题解析：设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为（1004x）米 根据题意得（1004x）x=400，解得 x1=20，x2=5 则 1004x=20 或 1004x=80 8025，x2
20、=5 舍去 即 AB=20，BC=20 考点：一元二次方程的应用 13某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测 4 月份该公司的生产成本【答案】（1）每个月生产成本的下降率为 5%；（2）预测 4 月份该公司的生产成本为342.95 万元【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据 2 月份、3 月份的生产成本，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由 4 月份该公司的生产成本=3
21、 月份该公司的生产成本（1下降率），即可得出结论【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意得：400（1x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）答：每个月生产成本的下降率为 5%；（2）361（15%）=342.95（万元），答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算 14已知关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0。（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根
22、，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。【答案】（1）见详解；（2）410或 42 2.【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0 的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得 m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：当该直角三角形的两直角边是 2、3 时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是 2、3 时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.【详解】解：（1）证明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在实数范围内，m 无论取何值，（m2）2+440，即 0.关于 x 的方程 x2（m2）x（
23、2m1）=0 恒有两个不相等的实数根.（2）此方程的一个根是 1，121（m2）（2m1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是 1、3 时，由勾股定理得斜边的长度为10，该直角三角形的周长为 1310=410.当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2；则该直角三角形的周长为 132 2=42 2.15如图，一艘轮船以 30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以 10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心 200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘
24、轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离 BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离 AB=300km（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）经过 1515h就会进入台风影响区；（3）215小时【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可
25、（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知 AB=30010t，AC=40030t，当 BC=200 时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(30010t)2+(40030t)2=2002，整理得到：t230t+210=0，解得 t=1515，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）由（1）可知经过(1515)h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15（1515）=215 h【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于 x 的等式是解题关键