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1、2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)及详细答案 一、一元二次方程 1在等腰三角形 ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 4，若 b、c 是关于 x 的方程 x2（2k+1）x+4（k12）0 的两个实数根，求 ABC 的周长【答案】ABC 的周长为 10【解析】【分析】分 a 为腰长及底边长两种情况考虑：当 a=4 为腰长时，将 x=4 代入原方程可求出 k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出 ABC 的周长；当 a=4 为底边长时，由根的判别式=0 可求出 k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由 b+c=
2、a 可得出此种情况不存在综上即可得出结论【详解】当 a4 为腰长时，将 x4 代入原方程，得：2144 21402kk 解得：52k 当52k 时，原方程为 x26x+80，解得：x12，x24，此时 ABC 的周长为 4+4+210；当 a4 为底长时，（2k+1）2414（k12）（2k3）20，解得：k32，b+c2k+14 b+c4a，此时，边长为 a，b，c 的三条线段不能围成三角形 ABC 的周长为 10【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分 a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键 2阅读下列材料 计算：（1）（
3、+）（1）（+），令+t，则：原式（1t）（t+）（1t）tt+t2+t2 在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1）（+）（1）（+）（2）因式分解：（a25a+3）（a25a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）3【答案】（1）；（2）（a25a+5）2；（3）x10，x24，x3x42【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+t 代入原式计算（2）观察式子找相同部分进行换元，令 a25at 代入原式进行因式分解，最后要记得把t 换为 a（3）观察式子找相同部分进行换元
4、，令 x2+4xt 代入原方程，即得到关于 t 的一元二次方程，得到 t 的两个解后要代回去求出 4 个 x 的解【详解】（1）令+t，则：原式（1t）（t+）（1t）tt+t2t+t2+（2）令 a25at，则：原式（t+3）（t+7）+4t2+7t+3t+21+4t2+10t+25（t+5）2（a25a+5）2（3）令 x2+4xt，则原方程转化为：（t+1）（t+3）3 t2+4t+33 t（t+4）0 t10，t24 当 x2+4x0 时，x（x+4）0 解得：x10，x24 当 x2+4x4 时，x2+4x+40（x+2）20 解得：x3x42【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，
5、因式分解，解一元二次方程利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算 3已知关于 x 的方程 x2（2k+1）x+k2+10（1）若方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且 k2，求该矩形的对角线 L 的长【答案】（1）k34；（2）15.【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2(2k1)xk210 有两个不相等的实数根，得出 0，再解不等式即可；（2）当 k=2 时，原方程 x2-5x+5=0，设方程的两根是 m、n，则矩形两邻边的长是 m、n，利用根与系数的关系得出 m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22mn，利用完全平方公式
6、进行变形即可求得答案.【详解】（1）方程 x2(2k1)xk210 有两个不相等的实数根，(2k1)241(k21)4k30，k34；(2)当 k2 时，原方程为 x25x50，设方程的两个根为 m，n，mn5，mn5，矩形的对角线长为：222215mnmnmn.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0 时，方程有两个不相等的实数根；（2）=0 时，方程有两个相等的实数根；（3）0 时，方程没有实数根 4已知：关于 x 的方程 x24mx4m210.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若 ABC 为等腰三角形，BC5，另外
7、两条边是方程的根，求此三角形的周长2【答案】(1)有两个不相等的实数根（2）周长为 13 或 17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出=40，由此可得出：无论 m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及 0，可得出 5 是方程 x24mx+4m21=0 的根，将 x=5代入原方程可求出 m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论 试题解析：解：（1）=（4m）24（4m21）=40，无论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根（2）0，ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，5 是方程 x24mx+4m21=0
8、的根 将 x=5 代入原方程，得：2520m+4m21=0，解得：m1=2，m2=3 当 m=2 时，原方程为 x28x+15=0，解得：x1=3，x2=5 3、5、5 能够组成三角形，该三角形的周长为 3+5+5=13；当 m=3 时，原方程为 x212x+35=0，解得：x1=5，x2=7 5、5、7 能够组成三角形，该三角形的周长为 5+5+7=17 综上所述：此三角形的周长为 13 或 17 点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当 0 时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入 x=5求出 m 值 5已知关于 x
9、的一元二次方程（x3）（x4）m2=0（1）求证：对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的 实数根；（2）若方程的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是 5【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式=b2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解 m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：（x3）（x4）m2=0，x27x+12m2=0，=（7）24（12m2）=1+4m2，m20，0，对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的实数根；（2）解：方程的一个根是 2，414+12m
10、2=0，解得 m=，原方程为 x27x+10=0，解得 x=2 或 x=5，即 m 的值为，方程的另一个根是 5【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当=b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0 时，方程没有实数根.6“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年 5 月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买 80 个礼盒最多花费 7680 元，请求出每个礼盒在花店的最
11、高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价 25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m 元，购买数量在原计划基础上增加 15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出 m 的值【答案】（1）120；（2）20【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x807680，解出即可；解法二：根据单价=总价
12、数量先求出 1 个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为 a 个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（125%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a120（125%）920m（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可 试题解析：（1）解：解法一：设标价为 x 元，列不等式为 0.8x807680，x120；解法二：7680800.8=960.8=120（元）答：每个礼盒在花店的最高标价是 120 元；（2）解：假设学生会计划在这两
13、个网站上分别购买的礼盒数为 a 个礼盒，由题意得：1200.8a（125%）（1+52m%）+a1200.8（125%）920m（1+15m%）=1200.8a（125%）2（1+152m%），即 72a（1+52m%）+a（72 920m）（1+15m%）=144a（1+152m%），整理得：00675m21.35m=0，m220m=0，解得：m1=0（舍），m2=20 答：m 的值是 20 点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键 7解下列方程：(1)2x24x10(配方法)；(2)(x1)26x6.【答案】(1)x1162，x2
14、162(2)x11，x25.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为 ab=0 的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x22x12，x22x132.(x1)232.x13262.x1162，x2162.(2)由题可得，(x1)26(x1)0，(x1)(x16)0.x10 或 x160.x11，x25.8有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传
15、染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了 x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x36，解得：x5 或 x7（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了 5 个人；（2）根据题意得：536180（个），答：第三轮将又有 180 人被传染【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.9某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成
16、居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的 4个出口宽度相同，当绿化区较长边x为何值时，活动区的面积达到21344m 【答案】当13xm时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积矩形空地面积阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为 y，则由题意得 502302xy.即10yx 列方程:50304(10)1344x x 解得13x (舍)，213x.当13xm时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心 10如图，在Rt ABC
17、中，90B，10ACcm，6BCcm，现有两点P、Q的分别从点A和点 B 同时出发，沿边AB，BC 向终点 C 移动已知点P，Q的速度分别为2/cm s，1/cm s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P，Q两点移动时间为xs问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于216cm若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由 【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于216cm，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出 BQ、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：90B，10AC，6BC，8AB BQx，82PBx；假设存在x的值，使得四边形APQC
18、的面积等于216cm，则116 8821622xx ，整理得：2480 xx，1632160，假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于216cm【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.11阅读下面的例题，范例：解方程 x2|x|2=0，解：（1）当 x0 时，原方程化为 x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）（2）当 x0 时，原方程化为 x2+x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）原方程的根是 x1=2，x2=2 请参照例题解方程 x2|x10|10=0【答案】x1=4，x2=5【解析】【分析】分为两
19、种情况：当 x10 时，原方程化为 x2x=0，当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，分别求出方程的解即可【详解】当 x10 时，原方程化为 x2x+1010=0，解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，解得 x3=4，x4=5，故原方程的根是 x1=4，x2=5【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号 12若关于 x 的一元二次方程 x23x+a20 有实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 为符合条件的最大整数，求此时方程的解【答案】（1）a174；（2）x=1 或 x=
20、2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于 a 的不等式，即可求出 a 的取值范围；（2）根据（1）确定出 a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）关于 x 的一元二次方程 x23x+a2=0 有实数根，0，即（3）24（a2）0，解得 a174；（2）由（1）可知 a174，a 的最大整数值为 4，此时方程为 x23x+2=0，解得 x=1 或 x=2【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式 的关系：（1）0 方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个相等的实数根；（3）0 方程
21、没有实数根 13已知关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0。（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是 1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。【答案】（1）见详解；（2）410或 42 2.【解析】【分析】（1）根据关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0 的根的判别式的符号来证明结论.（2）根据一元二次方程的解的定义求得 m 值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：当该直角三角形的两直角边是 2、3 时，当该直角三角形的直角边和斜边分别是 2、3 时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算
22、.【详解】解：（1）证明：=（m2）24（2m1）=（m2）24，在实数范围内，m 无论取何值，（m2）2+440，即 0.关于 x 的方程 x2（m2）x（2m1）=0 恒有两个不相等的实数根.（2）此方程的一个根是 1，121（m2）（2m1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是 1、3 时，由勾股定理得斜边的长度为10，该直角三角形的周长为 1310=410.当该直角三角形的直角边和斜边分别是 1、3 时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2 2；则该直角三角形的周长为 132 2=42 2.14已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x
23、2+2bx+（ac）=0，其中 a、b、c 分别为 ABC 三边的长（1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断 ABC 的形状，并说明理由；（3）如果 ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【答案】(1)ABC 是等腰三角形；(2)ABC 是直角三角形；(3)x1=0，x2=1【解析】试题分析：（1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断 ABC 的形状；（3）利用 ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代
24、入方程求出即可 试题解析：（1）ABC 是等腰三角形；理由：x=1 是方程的根，（a+c）（1）22b+（ac）=0，a+c2b+ac=0，ab=0，a=b，ABC 是等腰三角形；（2）方程有两个相等的实数根，（2b）24（a+c）（ac）=0，4b24a2+4c2=0，a2=b2+c2，ABC 是直角三角形；（3）当 ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，x2+x=0，解得：x1=0，x2=1 考点：一元二次方程的应用 15利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息 信息 1：甲乙两种商品的进货单价和为 11；信息 2：甲商品的零售单价比其
25、进货单价多 2 元，乙商品的零售单价比其进货单价的 2 倍少 4 元：信息 3：按零售单价购买甲商品 3 件和乙商品 2 件共付 37 元 1甲、乙两种商品的进货单价各是多少？2据统计该商店平均每天卖出甲商品 500 件，经调查发现，甲商品零售单价每降0.1元，这样甲商品每天可多销售 100 件，为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降 a 元，在不考虑其他因素的条件下，当 a 定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为 1500 元？【答案】（1）甲种商品的进货单价是 5 元/件，乙种商品的进货单价是 6 元/件（2）当 a定为0.5或 1 时，才能使商店每天销售甲种
26、商品获取利润为 1500 元【解析】【分析】1设甲种商品的进货单价是 x 元/件，乙种商品的进货单价是 y 元/件，根据给定的三个信息，可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；2当零售单价下降 a 元/件时，每天可售出500 1000a件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之即可得出结论【详解】1设甲种商品的进货单价是 x 元/件，乙种商品的进货单价是 y 元/件，根据题意得：113 x22 2y437x y，解得：56xy 答：甲种商品的进货单价是 5 元/件，乙种商品的进货单价是 6 元/件 2当零售单价下降 a 元/件时，每天可售出500 1000a件，根据题意得：2500 10001500aa，整理得：22310aa，解得：10.5a，21a 答：当 a 定为0.5或 1 时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为 1500 元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；2找准等量关系，正确列出一元二次方程