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1、 122 第 5 章 机械振动 一、选择题 5-1 一个质点作简谐振动，振幅为 A，在起始时刻质点的位移为2A，且向x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为 分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向 Ox 轴正向，同时矢端在 x轴投影点的位移为2A,满足题意,因而选(D)。5-2 作简谐振动的物体，振幅为 A，由平衡位置向 x 轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到32Ax 处时，所需的最短时间为周期的几分之几 (A)1/2 (B)1/4 (C)1/6 (D)1/12 分析与解 设1t时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动，2t时刻物体第一次运动到32Ax 处，可通过旋转矢量图，如图
2、5-2 所示，并根据公式2tT 得31226tTTT，,因而选(C)。5-3 两个同周期简谐振动曲线如图 5-3(a)所示，1x的相位比2x的相位 O O O O A A x x x (A)(B)(D)(C)A/2 -A/2 A/2-A/2 A A x 习题 5-1 图 习题 5-2 图 123(A)落后2 (B)超前2 (C)落后 (D)超前 分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b），正确答案为（B）。5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为 E，若振幅增加为原来的 2 倍，振子的质量增加为原来的 4 倍，则它的总能量为 (A)2E (B)4E (C)E (D)16E 分析与解 因为
3、简谐振动的总能量2pk12EEEkA，因而当振幅增加为原来的 2 倍时，能量变为原来的 4 倍，因而答案选(B)。5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为 A 的简谐振动合成后，振幅仍为 A，则这两个简谐振动的相位差为 (A)60 (B)90 (C)120 (D)180 分析与解 答案（C）。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120时,合成后的简谐运动的振幅仍为 A。二、填空题 5-6 一质量为 m 的质点在力2Fx 作用下沿 x 轴运动，其运动的周期为 _。习题 5-5 图 x2 O x1 x t(a)习题 5-3 图(b)124 分析与解 由已知条件2Fx，可得2k,又可以根据公式km
4、求出角频率。将结果代入可得22222Tmk mm。5-7 一物体作简谐振动，其运动方程为 50.04cos()m32tx。（1）此简谐振动的周期T _；（2）当0.6 st 时，物体的速度v _。分析与解 将50.04cos()32tx与cos()xAt比较后可得角频率53，则周期21.2(s)T。物体的速度d550.04sin()d332xvtt，当0.6 st 时-0.209v m/s。5-8 一质点沿 x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为 x 轴的原点，已知周期为 T，振幅为 A。若0t 时质点处于/2xA处，且向 x 轴负方向运动，则简谐振动方程为x _。分析与解 可得质点的角频率2T
5、，再根据题意画出0t 时刻对应的旋转矢量图，可得初相位为3，则简谐振动方程cos(2)T3tA。5-9 质量为 m 的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其振动周期为 T，当它作振幅为 A 的简谐振动时，此系统的振动能量E _。分析与解 简谐振动的总能量2221122EkAmA。根据题意可得2T。代入得222222221112=()=2222EkAmAmAmATT。5-10 已知弹簧的劲度系数为1.3 N/cmk，振幅为2.4 cm，这一弹簧振子的机械能为_。习题 5-8 图 125 分析与解 简谐振动的总能量2-213.74 10 J2EkA 三、计算题 5-11 若简谐振动方程为0.10cos(
6、20 t+)4x，式中 x 的单位为 m，t 的单位为 s,求：（1）振幅、角频率、周期和初相；（2）速度的最大值。分析 可采用比较法求解。将题目给的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率和初相。再根据ddxvt写出速度的表达式。解（1）将0.10cos(20 t+)4x与cos()xAt作比较，可得振幅0.10mA，角频率20 rad/s，初相4，则周期20.1sT。（2）速度d200.01sin(20 t+)d4xvt，则速度的最大值max200.012 m/sv。5-12 一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为10 cm，周期为2 s，在0t 时，5 cmx，且向 x 轴
7、负方向运动，求运动方程。分析 根据题中已给条件振幅A，角频率2T均已知，初相可由题给初始条件由旋转矢量法方便求出。解 由已知条件得0.1mA，22rad/s2T。0t 时A5 cm=2x 画出该简谐运动的旋转矢量图，如图 512 所示，可知3。则m)3cos(1.0tx。5-13 有一弹簧，当其下端挂一质量为 m 的物体时，伸长量为29.8 10 m。若使物体上下振动，且规定向下为正方向。（1）当0t 时，物体在平衡位置上方28.0 10 m处，由静止开始向下运动，求运动方程；（2）当0t 时，物体在平衡位置并以0.60 m/s的速度向上运动，求运动方程。习题 5-12 图 126 分析 振动
8、的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定km，其中k可由物体受力平衡时弹簧得伸长计算，而振幅A和初相则由初始条件给出。解（1）根据物体受力平衡，FG，得k lmg，求出弹簧的劲度系数mgkl 角频率-110skmglgmml 由初始条件0t 时，208.0 10 mx，00v，得222008.0 10 mvAx 利用旋转矢量法，如图（a）所示可知初相，则运动方程为28.0 10cos 10(m)xt（2）当初始条件0t 时，00 mx，00.60 m/sv，求得222006.0 10 mvAx 利用旋转矢量法，如图（b）所示可得初相2，则运动方程为26.0 10cos(10)(m)2xt 5-1
9、4 有一条简谐振动曲线如图 5-14（a）所示，求：（1）该简谐振动的角频率，初相位0；（2）该简谐振动的运动方程，振动速度和振动加速度的表达式。习题 5-13 图(b)(a)127 分析 由已知的振动曲线可得样品的振幅A，周期T，角频率可由2T求得，并且从曲线中可得初始条件0t 时，00 cmx，0v0，通过旋转矢量可求得初相0，以上参数都得到后即可写出简谐振动方程及振动速度和振动加速度的表达式。解（1）由振动曲线可得样品的振幅2cmA，周期4sT，得角频率2rad/s2T 当0t 时，00 cmx，0v0，通过旋转矢量，如图（b）所示,可求得初相02 （2）简谐振动的运动方程2cos()(
10、cm)22xt 振动速度dsin()(cm/s)d22xvtt 振动加速度221acos()(cm/s)222dvtdt 5-15 质量为 10 g 的物体沿 x 轴作简谐振动，振幅10 cmA，周期4.0 sT，0t 时物体的位移为05.0 cmx ，且物体朝 x 轴负方向运动，求：（1）1.0 st 时物体的位移；（2）1.0 st 时物体所受的力；（3）0t 之后何时物体第一次到达5.0 cmx 处；（4）第二次和第一次经过5.0 cmx 处的时间间隔。分析 根据题中已给条件振幅A，角频率2T均已知，初相可由题给初始条件由旋转矢量法求出。有了运动方程，t时刻的位移和t时刻物体的受力2Fm
11、amx 也可求出，后面两问可通过旋转矢量图并根据公式t求出。解（1）由已知条件得0.1mA，22rad/s42T。0t 时A5 cm=2x （a）O 2 4 t/s x/cm 2 题 5-14 图（b）128 画出该简谐运动的旋转矢量图，如图 515（a）所示，可知23。则20.10cos()cm23xt 1.0 st 时物体的位移20.10cos(0.1)cm8.66 cm23x （2）1.0 st 时物体的受力2-32.14 10 NFmamx （3）设0t 时刻后，物体第一次到达5.0 cmx 处的时刻为1t，由旋转矢量图，如图 5-15（b）所示，在两个不同时刻相位差相差，由12stt
12、 （4）设0t 时刻后，物体第二次到达5.0 cmx 处的时刻为2t，由旋转矢量图，如图 5-15（c）所示，在1t，2t两个不同时刻相位差相差23，由214s3ttt 5-16 如图 5-16(a)所示，质量为21.00 10kg的子弹，以500 m/s的速度射入并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐振动，设木块的质量为4.99 kg，弹簧的劲度系数为38.00 10 N/m，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为x轴正向，求简谐振动的运动方程。分析 根据已知条件可用动量守恒定律求出子弹射入后和木块的共同速度。v m1 m2 k 习题 5-16 图(b)(a)(a)(b)(c)习题 5-
13、15 图 129 振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定km，而振幅A和初相则由初始条件给出。以上参数都得到后即可写出简谐振动方程。解 子弹和木块的共同速度10121m/sm vvmm 角频率1240rad/skmm 振幅22200022.510vvAxm 由旋转矢量，如图 5-16(b)所示，确定初相2 简谐振动方程22.510cos(40)2xtm 5-17 一物块悬于弹簧下端并作简谐振动，当物块位移大小为振幅的一半时，这个振动系统的势能占总能量的多少？动能占总能量的多少？又位移大小为多少时，动能、势能各占总能量的一半？分析 简谐振动的总能量221122EmAkA2，其中212pEkx
14、，212kEmv，即可求出动能与势能的大小。解 当物块位移大小为振幅的一半时，简谐振动的总能量221122EmAkA2 其中势能22112224pAEEkxk，动能3kpEEEE 因而势能占总能量的 25%；动能占总能量的 75%。设物体在x处物体动能和势能相等PkEE 12PPPEEEEE 2211 122 22AkxkAx 5-18 一劲度系数=312 N/mk的轻弹簧，一端固定，另一端连结一质量0.3 kg0m的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为0.2 kgm的物体，两物体间的最大静摩擦系数5.0，求两物体间无相对滑动时，系统振动的最大能量。130 分析 根据题意可知，两物体间无相
15、对滑动，即m和0m有相同的速度和加速度，可以看做一质量为0mm的弹簧振子，则振动的圆频率0kmm。对于放在上面的物体m来说，它作简谐振动所需的回复力由两物体间的静摩擦力来提供的，其最大静摩擦力对应其最大加速度2maxmaxmgmamA，则最大总能量maxmax12EkA可方便算出。解 两物体间无相对滑动，即m和0m可以看做一质量为0mm的弹簧振子，则振动的圆频率0kmm 对于m来说，它作简谐振动所需的回复力是由两物体间的静摩擦力来提供的，其最大静摩擦力应对应着其最大加速度，即2maxmaxmgmamA 所以系统作简谐振动的最大振幅0max2g mmmgAkm 振动系统的最大能量20-3maxm
16、ax119.62 10 J22g mmEkAkk 5-1 9 已 知 两 同 方 向 同 频 率 的 简 谐 振 动 的 运 动 方 程 分 别 为 10.05cos 100.75xt，20.06cos 100.25xt，式中1x、2x的单位为 m，t的单位为 s。求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向同频率的简谐振动330.07cos 10 xt，式中3x的单位为 m，t 的单位为 s，则3为多少时，13xx的振幅最大？又3为多少时，23xx的振幅最小？分析 两个同方向同频率简谐运动的合运动仍为简谐运动，其中初相位11221122sinsincoscosAAtgAA，合振幅221
17、212212cosAAAA A，将已知条件代入即可求解。131 解(1)合振动的振幅为2221212212cos7.8 10 mAAAA A 合振动的初相位为 112201122sinsin11coscosAAtgAA 由两旋转矢量的合成图，如图 5-19 所示，可知，所求的初相位0应在第一象限，则01.48 rad(2)当312,0,1,2,kk 时，即1x与3x相位相同时，合振动的振幅最大，由于10.75，则320.750,1,2,kk 当31210,1,2,kk，时，即1x与3x相位相反时，合振动的振幅最小，则20.25，则3(21)0.7521.250,1,2,kkk 习题 5-19
18、图 132 x O u t O a)b)y y 第六章 机械波 一、选择题 6-1 图（a）表示0t 时的简谐波的波形图，波沿 x 轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲线。则图（a）中所表示的0 x 处质点振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为 (A)均为零 (B)均为2 (C)均为2 (D)2与2 (E)2与2 分析与解 图（a）是0t 时的简谐波的波形图，原点处的质点位移为零，且向y轴负方向运动，利用旋转矢量法，如图（b）所示，可以求得该质点的初相位是2。图（a-1）为一质点的振动曲线，从图中可以得到在0t 时，00 x，0v0，由旋转矢量，如图（b-1）所示，可知该质点的初相
19、位是2，因而选（D）。6-2 一横波以速度 u 沿 x 轴负方向传播，t 时刻波形曲线如图 6-2(a)所示，则该时刻 (A)A 点相位为 (B)B 点静止不动(C)C 点相位为32 (D)D 点向上运动 (a-1)习题 6-1 图(b-1)133 分析与解 横波以速度 u 沿 x 轴负方向传播，由题给波形图可得，B、D 两处的质点均向y轴负方向运动，A 处质点位于正的最大位移处，C 处质点位于平衡位置且向y轴正方向运动，它们的选转矢量图如图(b)所示，因而答案选(C)。6-3 如图 6-3 所示，两列波长为的相干波在点 P 相遇。波在点1S振动的初相是1，点1S到点 P 的距离是1r。波在点
20、2S的初相是2，点2S到点 P 的距离是2r，以k代表零或正、负整数，则点 P 是干涉极大的条件是 (A)21rrk (B)212k(C)21122()2rrk (D)21212()2rrk 分析与解 干涉相长的条件：P 2S 1S 1r 2r 习题 6-3 图(a)y x O A B C D u 习题 6-2 图(b)134 2010212()()2,0,1,2,3,rrkk 因而选(C)。6-4 波的能量随平面简谐波传播，下列几种说法中正确的是 (A)因简谐波传播到的各介质质元都作简谐运动，故其能量守恒(B)各介质质元在平衡位置处的动能和势能都最大，总能量也最大(C)各介质质元在平衡位置处
21、的动能最大，势能最小 (D)各介质质元在最大位移处的势能最大，动能为零 分析与解 平面简谐波中任一质元的总能量是不守恒的，而是随时间作周期性变化。平衡位置处，质元的动能和势能最大；最大位移处质元的动能和势能为零，因而选(B)。6-5 在波长为的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 (A)4 (B)2 (C)34 (D)分析与解 驻波的特征是有波腹和波节，相邻波腹和相邻波节之间间隔均为半个波长，相邻波节之间质点相位相同，波节两侧质点相位相反。因而答案选(B)。二、填空题 6-6 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知0 x 处振动的运动学方程为0cosyt，波速为 u，坐标为1x和2x两点的振动相位差是
22、_。分析与解 相位差21212()()xxxxu 6-7 一 平 面 简 谐 波 沿x轴 正 方 向 传 播，波 动 表 达 式 为0.2cos()(m)2xyt，则3 mx 处介质质点的振动加速度a的表达式为_。分 析 与 解 先 将 题 目 给 的 波 动 方 程 写 成 波 动 方 程 的 一 般 形 式0.2cos()(m)2xyt。质 点 的 振 动 速 度dyvdt,振 动 加 速 度2 220.2cos()2d yxatdt，则3 mx 处介质质点的振动加速度a的表达式为 2230.2cos()(m/s)2at 135 y x O 1 2 3 4 6-8 沿x轴正方向传播的平面简
23、谐波在0t 时刻的波形图如图 6-8（a）所示。由图可知原点O和 1、2、3、4 各点的振动初相位分别为_；_；_；_；_。分析与解 利用旋转矢量，如图 6-8（b）所示，得原点 1、2、3、4 各点的振动初相位分别为2，0，2，2。6-9 两相干波源处在 P、Q 两点，间距为34，波长为，初相相同，振幅相同且均为 A，R是PQ连线上的一点，则两列波在R处的相位差的大小为 ，两列波在R处干涉时的合振幅为 。分析与解 由于初相相同，因而两点的相位差2122()3xx，合振幅2212122cos2AAAA AA 6-10 强度为 I 的平面简谐波通过垂直于波速方向、面积为 S 的平面，则通过该平面
24、的平均能流是_。分析与解 平均能流P是指单位时间内通过介质中某一面积的平均能量，PIS。三、计算题 P Q R习题 6-9 图 习题 6-8 图(a)(b)136 6-11 一横波在沿绳子传播时的波动方程为0.20cos 2.5ytx，式中 y和 x 的单位为 m，t 的单位为 s。求：（1）波的振幅、波速、频率及波长；（2）绳上的质点振动时的最大速度。分析 可采用比较法求解。将题目给的波动方程与波动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率、波速和初相。再根据ddxvt写出速度的表达式。解（1）将0.20cos 2.5ytx与0(,)cos()xy x tAtu作比较，可得振幅0.20mA，角频率
25、2.5 rad/s，波速2.5 m/su，初相0，则频率11.25Hz2T，波长=2uuTm。（2）速度d2.50.20sin 2.5dyvtxt 得速度的最大值max2.50.20 m/s2v。6-12 波源作简谐运动，其运动方程为34.0 10cos240yt，式中 y 的单位为 m，t 的单位为 s，它所形成的波以30 m/s的速度沿 x 轴正方向传播。求：（1）波的周期及波长；（2）波动方程。分析 将题目给的振动方程与简谐振动方程的一般形式比较后可得振幅、角频率。再根据波速和波源的振动方程写出波动方程的表达式。解（1）将34.0 10cos240yt与cos()yAt作比较，可得振幅3
26、4.0 10 mA，角 频 率240 rad/s，则 周 期328.33 10 sT。波 长=0.25 muT（2）它所形成的波以30 m/s的速度沿 x 轴正方向传播，根据波源的振动方程可得34.0 10cos 2408(m)ytx 6-13 波源作简谐运动，周期为21.0 10 s，振幅为 0.1 m，并以它经平衡位置向正方向运动时为时间起点，若此振动以400 m su 的速度沿 x 轴正方向传播。求：（1）距波源为 8.0 m 出的点 P 的运动方程和初相；（2）距波源为9.0 m和 10.0 m处两点的相位差为多少？02 137-2224 =200T110uTm、波源运动方程00.1c
27、os(200)2ytm 波动方程0.1cos200()4002xytm (1)8xm处振动方程为：(8)890.1cos200()0.1cos(200)40022ytmtm。初相92 （2）距波源为 9.0m 和 10.0m 处两点的相位差 2122()(109)42xx 6-14 如图 6-14(a)所示，为平面简谐波在0t 时的波形图，设此简谐波的频率为 250 Hz,且此时图中质点P的运动方向向上，求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点O为 10 m 处质点的运动方程与0t 时该点的振动速度。分析 通过波形图可以确定机械波的振幅、波长、传播方向、质点的振动位移和振动方向等相关信息，求出
28、坐标原点处的振动方程后，便可得到波动方程。质点的振动速度指的是质点在其平衡位置附近作简谐振动的速度，可通过将振动方程对时间求导来计算。P 0.1 0.2 O 20 m y/m x/m 习题 6-14 图 y(0)t O(b)(a)(0)t x O 习题 6-13 图 138 解(1)由波形图得振幅 0.2Am 波长=40m 波速44025010 m su 圆频率2500rad s 由点 P 向上运动通过作行波图，可知波是沿x轴负方向传播的。在原点 O 处,t=0 时，y0=0.1m 且向 y 轴负方向运动，0cos2AyA 解得 3 而 0sin0vA，sin0 所以 3 或者作出 t=0 时
29、原点振动的旋转矢量图（6-14(b)），亦可得3。所以，原点处振动方程 0.2cos(500)m3yt 波动方程为：0.2cos500()m10003xyt(2)将 x=10m 代入上式得到 P 振动方程：50.2cos(500)m6yt 其振动速度 5100sin(500)6dyvtdt 当 t=0s 时 50m sv 6-15 平面简谐波的波动方程为0.08cos 42ytx，式中 y 和 x 的单位为 m，t 的单位为 s，求：（1）2.1 st 时波源及距波源 0.10 m 两处的相位；（2）离波源 0.80 m 及 0.30 m 两处的相位差。分析 波动方程已知，即可知任意时刻，任意
30、位置的相位，和两点之间的相位差。将题目给的波动方程写成一般形式比较后，可得角频率、波速和初相。再 139 根据212()xx求两点之间的相位差。解 （1）当2.1 st 时，波 源 处 即0mx 的 振 动 方 程 为0.08cos 42.1200.08cos 8.4y，相位为8.4 此时距波源0.10 m两处的振动方程为0.08cos 42.120.10.08cos 8.2y，相位为8.2（2）0.08cos 420.08cos4()2xytxt，则角频率4 rad/s，波速2 m/su，初相0，则频率11Hz2T，波长=2uuTm。离波源 0.80 m 及 0.30 m 两处的相位差212
31、2()(0.80.3)22xx 6-16 为了保持波源的振动不变，需要消耗 4.0 W 的功率。若波源发出的是球面波（设介质不吸收波的能量）。求距离波源 5.0 m 和 10.0 m 处的能流密度。分析 能流密度 I 是指垂直通过单位面积的平均能流，对于简谐波可利用PIS计算。解 能流密度24PPISr 将15mr 和210mr 代入上式，得距离波源5.0 m和 10.0 m处的能流密度分别为221.2710 W/m，323.1810 W/m。6-17 两相干波波源位于同一介质中的 A、B 两点，如图 6-17 所示。其振幅均为 0.01 m、频率均为100 Hz，波速为 800 m/s，B
32、比 A 的相位超前。若取 A点为坐标原点、B 点的坐标44 mBx，求：（1）两波源的振动方程；（2）AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。B A 44m x 习题 6-17 图 140 分析 周期T，振幅A，相位关系都已知，很容易得到 A、B 两点的振动方程。再 根 据 两 列 相 干 波 相 遇 时 干 涉 相 消 的 条 件,3,2,1,0,)12()(2)(121020kkrr进行计算 解（1）=2200 rad/s，AB0.01cos200(m)0.01cos 200(m)ytyt （2）波长=8uuTm 在 A、B 连线上可以分三个部分进行讨论 (a）位于 A 点左侧部分 2()()5.54.5BABArr 由于该区域内两波列的相位差恒为4.5，所以没有静止的点。(b）位于 B 点右侧部分 2()()5.56.5BABArr 由于该区域内两波列的相位差恒为6.5，所以没有静止的点。(c）位于 A、B 连线中间部分，设任意一点到 A 的距离为x，则到 B的距离为44x 22()()(442)(10)82BABAxrrx 静止的点应满足(10)(21),0,1,2,3,2xkk 得 x 分别为 2，6，10，34，38，42 m