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1、定义定义:给定数集给定数集 D R,称称映射映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：严格定义见P90因此下面仅以 n=3 的情形为代表第1页/共31页向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则:(P91)设是可导向量值函数,是可导函数,则C 是常向量,c 是任一常数,第2页/共31页向量值函数导数的几何意向量值函数导数的几何意义义:在 R3中,设的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致.,则设第3页/共31
2、页向量值函数导数的物理意向量值函数导数的物理意义义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有 例1.设速度向量：加速度向量：解：第4页/共31页例例2.设空间曲线设空间曲线 的向量方程的向量方程为为 求曲线 上对应于解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为=6第5页/共31页例例3.一人悬挂在滑翔机上一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响受快速上升气流影响作螺作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解:(1)(3
3、)由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.第6页/共31页二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.置.空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线 在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程第7页/共31页1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况因此曲线 在点 M 处的则 在点M 的导向量为法平面方程 给定光滑曲线为0,切线方程第8页/共31页例例4.求曲线求曲线在点 M(1,1,1)处的切线 方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对
4、应于故点M 处的切向量为因此所求切线方程为 法平面方程为即思考:光滑曲线的切向量有何特点?答:切向量第9页/共31页2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有 可表示为处的切向量为 第10页/共31页则在点切线方程法平面方程有或或第11页/共31页也可表为法平面方程法平面方程(自己验证)第12页/共31页例例5.求曲线求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法1 令则即切向量第13页/共31页法平面方程法平面方程即解法2 方程组两边对 x 求导,得曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得第14页/共31页切线方程即法平面方程即点 M(1,2,1)处
5、的切向量第15页/共31页三、三、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0.则 在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.第16页/共31页证证:在 上,得令由于曲线 的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.第17页/共31页曲面 在点 M 的法向量:法线方程 切平面方程切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线.第18页/共31页曲面时,则在点故当函数 法线方程令特别特别,当光滑曲面当光滑曲面 的方程为显的方
6、程为显式式 在点有连续偏导数时,切平面方程法向量第19页/共31页法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习 第20页/共31页例例6.求球求球面面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:令所以球面在点(1,2,3)处有:切平面方程 即法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)第21页/共31页例例7.确定正数确定正数 使曲使曲面面在点解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面,因此有第22页/共31页1.空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线
7、切向量内容小结内容小结第23页/共31页切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况一般式情况.第24页/共31页空间光滑曲面曲面 在点法线方程1)隐式情况.的法向量切平面方程2.曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线第25页/共31页空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况显式情况.法线的方向余弦法向量第26页/共31页思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)第27页/共31页证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此 作业 P99 2，4，6，7，10，11，122.设设 f(u)可可微微,第七节 证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为第28页/共31页备用题备用题1.证明曲面证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒第29页/共31页2.求曲求曲线线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.第30页/共31页感谢您的欣赏！第31页/共31页