D96几何中的应用67054.pptx
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1、定义 设数集则称映射为一元向量值函数,记为其中D为定义域,t 为自变量,为因变量。一元向量值函数是普通一元函数的推广,其自变量 仍取实数值,而因变量n 维向量。一元向量值函数简称向量值函数,而将普通实值函数称为数量函数。在R3中,若向量函数的分量函数依次为则向量函数可表为或第1页/共34页OxyzM设 的起点在原点,终点为M,即当t 改变时,随着改变,终点M也随着改变,其轨迹 称为向量函数的终端曲线,也称为向量值函数的图形。称为曲线 的向量方程。可以类似于数量函数来定义极限、连续、导数等:定义1 设向量值函数若存在常向量 ,则常向量 叫向量值函数或第2页/共34页可以证明:定义2 设向量值函数
2、如果则称向量值函数 在 连续。可以证明:向量值函数在某点连续的充要条件是其各分量函数都在该点连续。若向量值函数在某区域上每一点都连续,则称它在该区域上连续,或称其为该区域上的连续函数。定义3 设向量值函数如果第3页/共34页存在,则称其为向量值函数在该点处的导数或导向量。此时也称向量值函数在该点可导。若向量值函数在某区域上每一点都可导,则称它在该区域上可导。可以证明:向量值函数在某点可导的充要条件是其各分量函数都在该点可导。且向量值函数的导数运算法则与数量函数的导数运算法则在形式上相同,参见92面,其证明也可仿照数量函函数的导数运算法则,或对向量值函数的分量运用对应的法则证明。第4页/共34页
3、导向量的几何意义(92面):OxyzMN 导向量是点M处的一个切向量,其方向与t 的增长方向一致。导向量的物理意义(93面):速度向量、加速度向量。例1 设解第5页/共34页例2 空间曲线的向量方程为求曲线在点 t=2 相应点处的单位切向量。解于是由导数的几何意义知,曲线在点 t=2 相应点处的单位切向量为和前者指向与t 的增长方向一致,后者相反。第6页/共34页 例3 一人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿 位置向量的路径螺旋式向上,求(1)滑翔机在任意时刻t 的速度、加速度向量:(2)滑翔机在任意时刻t 的速率(速度的大小):(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻:第7页/共34页复习复习
4、:平面曲线的切线与法平面曲线的切线与法线线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共34页二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面.点击图中任意点动画开始或暂停第9页/共34页1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共34页此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量.如个别为
5、0,则理解为分子为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0,因此得法平面方程 说明:若引进向量函数,则 为 r(t)的矢端曲线,处的导向量 就是该点的切向量.第11页/共34页例例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解:由于对应的切向量为在机动 目录 上页 下页 返回 结束,故第12页/共34页2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共34页则在点切线方程法平面方程有或或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共34页也可表为法平面方程法平面方程
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- D96 几何 中的 应用 67054
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