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1、 考虑如下的在线考虑如下的在线DVDDVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购为会员，订购DVDDVD租赁服务。会员对哪些租赁服务。会员对哪些DVDDVD有兴趣，只要在线提有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张订单包括多张DVDDVD，这些，这些DVDDVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的据手头现有的DVDDVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得
2、超过赁次数不得超过2 2次，每次获得次，每次获得3 3张张DVDDVD。会员看完。会员看完3 3张张DVDDVD之后，只之后，只需要将需要将DVDDVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：以继续下次租赁。请考虑以下问题：1.1.网站正准备购买一些新的网站正准备购买一些新的DVDDVD，通过问卷调查，通过问卷调查10001000个会员，得到了个会员，得到了愿意观看这些愿意观看这些DVDDVD的人数（表的人数（表1 1给出了其中给出了其中5 5种种DVDDVD的数据）。此外，的数据）。此外，历史数据显示，历
3、史数据显示，60%60%的会员每月租赁的会员每月租赁DVDDVD两次，而另外的两次，而另外的40%40%只租一只租一次。假设网站现有次。假设网站现有1010万个会员，对表万个会员，对表1 1中的每种中的每种DVDDVD来说，应该至来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该少准备多少张，才能保证希望看到该DVDDVD的会员中至少的会员中至少50%50%在一个在一个月内能够看到该月内能够看到该DVDDVD？如果要求保证在三个月内至少？如果要求保证在三个月内至少95%95%的会员能的会员能够看到该够看到该DVDDVD呢？呢？问题重述问题重述第1页/共25页选择关键信息，理清思路选择关键信息，理清思
4、路选择关键信息，理清思路选择关键信息，理清思路信息：信息：每个每个会员每月至多租会员每月至多租2 2次次每次租赁可租每次租赁可租3 3张（寄回可再租）；张（寄回可再租）；1.1.6060会员每月租会员每月租2 2次，次，4040会员每月租会员每月租1 1次次4.1 4.1 问题问题1 1模型模型调查调查10001000名会员，有以下观看意愿的统计：名会员，有以下观看意愿的统计：101025255050100100200200愿意观看的人数愿意观看的人数DVD5DVD5DVD4DVD4DVD3DVD3DVD2DVD2DVD1DVD1DVDDVD名称名称至少要准备多少张至少要准备多少张DVDDVD
5、（上述（上述5 5种），才能使：种），才能使：1010万会员中，至少万会员中，至少5050能看到想看的能看到想看的DVDDVD？（一个月内）？（一个月内）1010万会员中，至少万会员中，至少9595能看到能看到DVDDVD？（三个月内）？（三个月内）第2页/共25页分析：分析：要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要尽可能少买些要满足一定的观看人数，同时为了节约采购费用，又要尽可能少买些DVDDVD。显然，显然，这是个优化问题这是个优化问题。就就DVD1DVD1来说，来说，10001000名被调查者里面有名被调查者里面有200200人想看，意味着人想看，意味着1010万名会员里面有万名
6、会员里面有 人想看，如果每张人想看，如果每张DVDDVD每个月只出租一次，则则每个月只出租一次，则则DVD1DVD1就准备就准备 张。张。但是这样谈不上优化，也不能提高但是这样谈不上优化，也不能提高DVDDVD利用率。所以利用率。所以有二次出租有二次出租。如果考虑实际情况，每张如果考虑实际情况，每张DVDDVD还的时间不一样，有些还的时间不一样，有些DVDDVD多租几次，有些只多租几次，有些只会被租一次，则情况就很复杂。有必要转变考虑角度。尝试会被租一次，则情况就很复杂。有必要转变考虑角度。尝试从简单的角度从简单的角度考虑考虑。第3页/共25页从最保守的估计看：如果一个会员一个月租从最保守的估
7、计看：如果一个会员一个月租2 2次的话，可以简单的认为每次的话，可以简单的认为每次租赁的次租赁的DVDDVD在他手上停留在他手上停留1515天；租一次的会员天；租一次的会员DVDDVD在手上停留在手上停留3030天。则天。则我们我们在月初第一次发出在月初第一次发出DVDDVD后，月中利用返还的后，月中利用返还的DVDDVD再出租一次再出租一次。简单模型的建立决策变量决策变量决策变量决策变量表示需要准备DVD1的张数。目标函数目标函数目标函数目标函数 找到最小的第4页/共25页1%1%2.5%2.5%5 510102020愿意观看的比例愿意观看的比例DVD5DVD5DVD4DVD4DVD3DVD
8、3DVD2DVD2DVD1DVD1DVDDVD名称名称为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比为方便下面讨论，先算出愿意观看的人数比符号假设：符号假设：为希望看到为希望看到DVD1DVD1的会员人数比；的会员人数比；为网站总人数；（这里为网站总人数；（这里 ）约束条件约束条件约束条件约束条件 一个月内租到DVD的人占想看的人50以上。（第一次出租（第一次出租 张，月中有张，月中有？张还回来，再次租出去。）张还回来，再次租出去。）第5页/共25页整理得模型I解得 ，即最少需要数量：。利用模型I，可以逐个算出5种DVD所需的张数。（结果、程序略）第6页/共25页模型的进一步思考前面假设还DVD的周期
9、是15天，但这不见得符合实际情况，会有短时间就归还的情况。这里重新假设租赁2次的会员返还周期为T，于是一个月就有 次租赁机会。1次出租2次出租3次出租次出租类推前一次的60 表示取上整第7页/共25页约束条件约束条件约束条件约束条件(不变)一个月内租到DVD的人占想看的人50以上。这里第8页/共25页于是得到模型第9页/共25页考虑连续三个月的返还前一次的6060601ss+12一个月到期第10页/共25页约束条件约束条件约束条件约束条件（注意条件的差别）三个月内租到DVD的人占总人数的95以上。这里第11页/共25页于是有模型如下：模型第12页/共25页4.2 4.2 问题问题2 2模型模型
10、表表2 2中列出了网站手上中列出了网站手上2020种种DVDDVD的现有张数和当前需要处理的的现有张数和当前需要处理的100100位会位会员的在线订单，如何对这些员的在线订单，如何对这些DVDDVD进行分配，才能使会员获得最大的满进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前意度？请具体列出前3030位会员（即位会员（即C0001C0001C0030C0030）分别获得哪些）分别获得哪些DVDDVD。注：注：D001D001D020D020表示表示2020种种DVD,C0001DVD,C0001C0100C0100表示表示100100个会个会员，会员的在线订单用数字员，会员的在线订单用数字
11、1,2,1,2,表示，数字越小表示会表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字员的偏爱程度越高，数字0 0表示对应的表示对应的DVDDVD当前不在会员的当前不在会员的在线订单中。在线订单中。第13页/共25页决策变量决策变量决策变量决策变量要确定把哪张DVD租给哪个会员，即分配方案，对于每种DVD,每个会员都要知道是租还是不租。因此我们引入 表示第j种DVD是否租给第i个会员。第14页/共25页分析：分析：如果会员预定的如果会员预定的3 3张张DVDDVD不全有，是否就不租？为使全体的满意度最高，可以不全有，是否就不租？为使全体的满意度最高，可以先租部分缓解一下。因此，先租部分缓解一下。因此，
12、每次租赁可以少于或等于每次租赁可以少于或等于3 3张张。会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到会员满意度的数字越小，则满意度越高。注意到0 0最小，但是并不表示满意，最小，但是并不表示满意，因此，因此，要对表中数据处理，使其能显示出满意的一致性要对表中数据处理，使其能显示出满意的一致性（数字大表示满意，（数字大表示满意，或相反）。或相反）。符号：符号：表示表示i i个会员对个会员对j j种种DVDDVD的满意度数字（表格数据）的满意度数字（表格数据）表示表示i i个会员对个会员对j j种种DVDDVD的偏爱系数的偏爱系数第15页/共25页目标函数目标函数目标函数目标函数 总体满意度最高（租
13、到的会员对DVD的偏爱系数和 最大）约束条件约束条件约束条件约束条件每人至多租3张DVD；每种DVD租出去的量小于或等于存量；为j种DVD的存量第16页/共25页因此，建立模型模型第17页/共25页4.3 4.3 问题问题3 3模型模型继续考虑表继续考虑表2 2，并假设表，并假设表2 2中中DVDDVD的现有数量全部为的现有数量全部为0 0。如果你是网。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种站经营管理人员，你如何决定每种DVDDVD的购买量，以及如何对这些的购买量，以及如何对这些DVDDVD进行分配，才能使一个月内进行分配，才能使一个月内95%95%的会员得到他想看的的会员得到他想看的DVD
14、DVD，并且，并且满意度最大？满意度最大？问题实质：问题实质：确定确定DVDDVD购买量，一个月内购买量，一个月内9595以上会员看到想看的；以上会员看到想看的；对对DVDDVD分配，满意度最大。分配，满意度最大。第18页/共25页购买量的确定分析：分析：这一步骤其实又回到了前面的第一个问题。回顾前面的方法，我们这一步骤其实又回到了前面的第一个问题。回顾前面的方法，我们需要需要需要需要一个一个一个一个DVDDVDDVDDVD的观看意愿统计的观看意愿统计的观看意愿统计的观看意愿统计。现在手上有的资料是客户预订单，已经体现出观看意愿。作出处理：现在手上有的资料是客户预订单，已经体现出观看意愿。作出
15、处理：如如如如果某果某果某果某DVDDVDDVDDVD在某位会员的满意度是前三名的，就视为愿意观看在某位会员的满意度是前三名的，就视为愿意观看在某位会员的满意度是前三名的，就视为愿意观看在某位会员的满意度是前三名的，就视为愿意观看。(这里可这里可以手算，也可以用软件辅助。以手算，也可以用软件辅助。)第19页/共25页统计观看意愿统计观看意愿 设设 为对第为对第j j张张DVDDVD愿意观看的人数愿意观看的人数 则则第第i i个会员不愿意看第个会员不愿意看第j j种种DVDDVD第第i i个会员愿意看第个会员愿意看第j j种种DVDDVD愿意观看第j种DVD的人数第20页/共25页目标函数目标函
16、数目标函数目标函数 设第j种DVD购买量为 ，目标使其最小约束条件约束条件约束条件约束条件 租到DVD的人占愿意观看的95以上第21页/共25页从而模型第22页/共25页最优分配方案的确定分析：分析：分配不需要考虑分配不需要考虑9595以上的观看率，已经在本节的第以上的观看率，已经在本节的第1 1小问解决，只小问解决，只需要考虑满意程度。需要考虑满意程度。这里与第这里与第2 2个问题类似，但是区别在于问题个问题类似，但是区别在于问题2 2要求一次性的分配，满要求一次性的分配，满意度最大；这里是在一个月内分配，于是存在意度最大；这里是在一个月内分配，于是存在DVDDVD租赁周期的问题。租赁周期的
17、问题。不妨假设出分配周期，则可以每次分配都按照第不妨假设出分配周期，则可以每次分配都按照第2 2问的结论问的结论模型模型处理。处理。第23页/共25页一个月内分配2次模型模型模型模型的要求的要求的要求的要求：事先知道分配的人数事先知道分配的人数方法二：方法二：第一次对100名会员分配。月中返还60后，在订单表上修改：已经租到该片的会员，将其对该片的偏爱度修改为0，其后的数字顺延向前进一个程度。第二次分配时，只需剔除没有还的会员。方法一：方法一：将100名会员分为2批，先分一批，当月中返回60后，再做第二次分配。考虑到第考虑到第2 2次分配的会员是第一次的次分配的会员是第一次的6060，可以算出第一次分配人数。，可以算出第一次分配人数。第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页