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1、一、一、引例引例1.变速直线运动的速度（瞬时速度）设描述质点运动位置的函数为则 到 的平均速度为而在 时刻的瞬时速度为自由落体运动注第1页/共51页2.切线斜率切线斜率曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率切线 MT 的斜率第2页/共51页两个问题的两个问题的共性共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题 注第3页/共51页二、导数的定义二、导数的定义定义1.设
2、函数在点存在,且极限为记作:即则称函数的某邻域内有定义,若 在点处可导,在点的导数.第4页/共51页运动质点的位置函数在 时刻的瞬时速度曲线在 M 点处的切线斜率注第5页/共51页若上述极限不存在,在点 不可导.若也称在若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在 I 内可导.的导数为无穷大.第6页/共51页例例1.求函数求函数(C 为常数)的导数.解:例2.求函数解:第7页/共51页说明：说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）第8页/共51页例例3.求函数求函数的导数.解:则即类似可证得第9页/共51页例例4.求函数求函数的导数
3、.解:即或第10页/共51页原式是否可按下述方法作:Ex 1.证明函数证明函数在 x=0 不可导.证:不存在,Ex 2.设存在,求极限解:原式第11页/共51页三、三、导数的几何意导数的几何意义义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与 x 轴平行,称为驻点;若切线与 x 轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:第12页/共51页例例5.问曲线问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(1,1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线第13页/共51页四、四、函数的可导性与连续性的关函数的可导性与连续性的关
4、系系定理1.证:设在点 x 处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点 x 连续.注意:函数在点 x 连续未必可导.反例:在 x=0 处连续,但不可导.即第14页/共51页在点的某个右 邻域内有定义，五、五、单侧导单侧导数数若则称之为函数在 处的右 导数,记作即(左)(左)例如,在 x=0 处有定义2.设存在,第15页/共51页定理定理2.存在在点处右 导数存在定理3.在点必 右 连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间 a,b 上可导在开区间 内可导,在闭区间 上可导.且第16页/共51页内容回内容回顾顾1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学
5、求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;作业：P86:6,7，9,13,16,17 第17页/共51页练习练习1.函数 在某点 处的导数区别:是函数,是数值;联系:有什么区别与联系?与导函数2.设存在,则第18页/共51页3.设设,问 a 取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在 x=0 连续.第19页/共51页第二节第二节二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章 第20页/共51页思路思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函
6、数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容第21页/共51页一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且下面证明（2）、（3）,并同时给出相应的推论和例题.第22页/共51页(2)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)第23页/共51页例例1.解:第24页/共51页(3)证:设则有故结论成立.推论:(C为常数)第25页/共51页1.导数-增量比值的极限复习第一节与四则运算求导法则 2011.10.25例.已知则第26页/共51页3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:2.切线的斜率
7、;复习2011.10.25第27页/共51页6、四则运算求导法则、四则运算求导法则 复习2011.10.25第28页/共51页例例2.求证求证证:类似可证:注第29页/共51页二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理2.y 的某邻域内单调可导,且由反函数的连续性知 因此第30页/共51页例例3.求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得第31页/共51页2)设设则特别当时,第32页/共51页在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证:在点 u 可导,故（当 时 )故有第33页/共51页例如,关
8、键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情此法则可推广到多个中间变量的情形形.第34页/共51页例例4.求下列导数求下列导数:解:(1)(2)(3)说明:类似可得第35页/共51页例例5.设设求解:思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习:设第36页/共51页例例6.设设解:记则(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P96例17.的反函数第37页/共51页四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数(P95)第38页/共51页练习练习1.求解:练习2.设解:求第39页/共51页1.有限次四则运算的求导法有限次四则运算
9、的求导法则则(C为常数)2.复合函数求导法则3.初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数内容小结第40页/共51页4.求导公式及求导法则 (见 P95)注意:1)2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.P 97 2.单号;6.(9,10);7.(5,8);8.(2,3,6);11.(3，5，8)作业内容小结第41页/共51页1.求下列函数的导数求下列函数的导数解:(1)(2)或第1、2节课外练习第42页/共51页2.设设求解:方法1 利用导数定义.方法2 利用求导公式.第43页/共51页课外练习课外练习 1.设设解：2.设解:其中可导,求求第44页/共51页解:因为3.设存在,且求所以第45页/共51页在 处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.4.设设故第46页/共51页5.求解:关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导第47页/共51页6.设设求解:第48页/共51页感谢您的欣赏！第51页/共51页