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1、关于导数的概念及求导法则现在学习的是第1页，共74页(1).切线问题切线问题:求曲线求曲线 在点在点 处的处的 切线切线第一节第一节 导数的概念导数的概念另一点另一点 沿曲线沿曲线 趋向点趋向点 时时,割线割线 的极限的极限位置位置 1 1 导数的定义导数的定义所谓曲线所谓曲线 在其上点在其上点 处的切线处的切线,是指当是指当 上上现在学习的是第2页，共74页 割线割线 的斜率的斜率:当点当点 趋于点趋于点 时时,.如果当如果当 时时,上上式极限存在式极限存在,记为记为 ,即即:切线斜率切线斜率现在学习的是第3页，共74页(2).变速直线运动的变速直线运动的瞬时速度问题瞬时速度问题在时刻在时刻
2、 到到 的时间间隔内的时间间隔内,平均速度平均速度如果当如果当 时时,上式的极限存在上式的极限存在,则则 设一物体作变速直线运动，运动的位置函数设一物体作变速直线运动，运动的位置函数为为 ,求在时刻求在时刻 的的瞬时速度瞬时速度 。现在学习的是第4页，共74页定义定义1.1 1.1（导数）（导数）或或若极限不存在若极限不存在,则称则称 在在 处处不可导不可导。现在学习的是第5页，共74页2.为方便起见，为方便起见，当当 时时,也称也称 在点在点 处的导数为无穷大处的导数为无穷大.现在学习的是第6页，共74页3.左导数左导数:右导数右导数:函数函数 在在 处可导处可导若左极限若左极限存在，存在，
3、类似定义类似定义右导数右导数此极限值称为此极限值称为左导数，左导数，并称并称f 在在 处处左可导，左可导，记作：记作：现在学习的是第7页，共74页此时对区间此时对区间I内的任一点内的任一点 ,都对应着都对应着 的一个确定的的一个确定的导数值导数值,于是就构成了于是就构成了I上一个新的函数上一个新的函数,这个函数称为这个函数称为原来函数原来函数 的的导函数导函数,记为记为即即:若函数若函数 f 在区间在区间 I 内的每一点处都可导内的每一点处都可导(若若I包含端点，包含端点，则在左端点右可导，右端点处左可导），则称函数则在左端点右可导，右端点处左可导），则称函数 f 在在区间区间I上可导。上可导
4、。现在学习的是第8页，共74页例例1.求函数求函数 (为常数为常数)的导数的导数.解解:即即:例例2.求求 (为正整数为正整数)的导数的导数.解解:现在学习的是第9页，共74页一般地一般地,当当 为任意实数为任意实数 时时,上面的公式也成立上面的公式也成立.即即:现在学习的是第10页，共74页例例 3.求求 的导数的导数,及它在及它在 处的导数处的导数.解解:即即:类似可得类似可得:现在学习的是第11页，共74页例例 4.求求 的导数的导数.解解:即即:特别地特别地:例例 5.现在学习的是第12页，共74页例例 6.解解:注：注：左右导数是研究分段函左右导数是研究分段函 数在分段点数在分段点可
5、导与否的有效工具。可导与否的有效工具。现在学习的是第13页，共74页例例 7.设设 ,求求解解:现在学习的是第14页，共74页现在学习的是第15页，共74页曲线曲线 在点在点 处处的切线的斜率。的切线的斜率。2.2.导数的几何意义：导数的几何意义：曲线曲线 在点在点 处处的左侧（右侧）切线的斜率。的左侧（右侧）切线的斜率。若函数若函数 f 在在 处不可导，但单侧导数存在，则处不可导，但单侧导数存在，则现在学习的是第16页，共74页例例 10.求曲线求曲线 在点在点 处的切线和法线方程处的切线和法线方程解解:切线斜率切线斜率:切线方程为切线方程为:即即:法线方程为法线方程为:即即:现在学习的是第
6、17页，共74页例例11讨论函数讨论函数 在点在点 处的连续处的连续性和可导性及相应的曲线在点性和可导性及相应的曲线在点 处切线的处切线的 存在性。存在性。现在学习的是第18页，共74页即即 存在存在,于是由于是由 ,得得:3.3.可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理1.1 这表明这表明,在在 处连续处连续.设函数设函数 在在 处可导，处可导，现在学习的是第19页，共74页左可导左可导左连续左连续右可导右可导右连续右连续区间区间I上可导上可导区间区间I上连续上连续逆命题不成立：逆命题不成立：亦有处处连续但处处不可导的函数。亦有处处连续但处处不可导的函数。现在学习的是第20页，共74页例例1
7、3.解解:现在学习的是第21页，共74页现在学习的是第22页，共74页第二节第二节 求导的基本法则求导的基本法则1.基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式现在学习的是第23页，共74页2.2.四则运算四则运算定理定理 2.1 设函数设函数 在点在点 处可导处可导,则函数则函数在点在点 处也可导处也可导,且且 现在学习的是第24页，共74页证明证明:仅证（仅证（3）现在学习的是第25页，共74页注注:和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数.例如例如:现在学习的是第26页，共74页例例1.求下列函数的导数：求下列函数的导数：解解:现在学习的是第2
8、7页，共74页现在学习的是第28页，共74页类似地可得类似地可得例例 2.,求求解解:现在学习的是第29页，共74页类似地可得类似地可得例例 3.解解:例例 4.解解:故故现在学习的是第30页，共74页例例5.解解:现在学习的是第31页，共74页定理定理2.2 设函数设函数 在区间在区间 上单调连续，上单调连续，2.2.反函数的求导法则反函数的求导法则 2:2:定理表明反函数的导数等于直接函数在相应点处的定理表明反函数的导数等于直接函数在相应点处的导数的倒数导数的倒数 注注1:后面将证明若在后面将证明若在I上上 ，则，则 f 是是 I上上 的单调连续函数。的单调连续函数。现在学习的是第32页，
9、共74页解解:的反函数为的反函数为于是于是解解:现在学习的是第33页，共74页同理可得同理可得:的反函数为的反函数为于是于是现在学习的是第34页，共74页定理定理2.3(链式法则）链式法则）或或3.3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则现在学习的是第35页，共74页证明：证明：现在学习的是第36页，共74页即即:注：此为求导法则中最重要的公式，可推广到注：此为求导法则中最重要的公式，可推广到 任意有限个情形。应用时要看清复合层次，任意有限个情形。应用时要看清复合层次，求导时要由外向内逐层求导，不重复，求导时要由外向内逐层求导，不重复，不遗漏。不遗漏。现在学习的是第37页，共74页例例 8 ,
10、求求 .例例9解解:解解现在学习的是第38页，共74页例例10.求下列函数的导数求下列函数的导数:解解 (1)当当 时时,因而因而当当 时时,现在学习的是第39页，共74页现在学习的是第40页，共74页例例11.求下列函数的导数求下列函数的导数:现在学习的是第41页，共74页现在学习的是第42页，共74页其中其中 可导可导.现在学习的是第43页，共74页4.4.初等函数的求导问题初等函数的求导问题一切初等函数的求导问题都解决，可导的一切初等函数的求导问题都解决，可导的初等函数的导函数仍为初等函数。初等函数的导函数仍为初等函数。基本的求导公式表：基本的求导公式表：现在学习的是第44页，共74页现
11、在学习的是第45页，共74页例例12.求下列函数的导数求下列函数的导数:现在学习的是第46页，共74页现在学习的是第47页，共74页此为此为对数求导法对数求导法，当所求导的函数为连乘积函数，当所求导的函数为连乘积函数或幂指函数时，可考虑用此法。或幂指函数时，可考虑用此法。现在学习的是第48页，共74页 习题习题2.1 P.87-892.(4)3.4.6.8.10.(1)11.(1)(3)(4)(5)(6)12.(2)(4)13 14 16 23.(2)(4)(5)(6)(9)(12)(14)(15)(19)(20)(21)24.(2)(3)现在学习的是第49页，共74页5.5.高阶导数高阶导数
12、 或或 或或即即:如果如果 的导函数的导函数 在在 处可导，处可导，现在学习的是第50页，共74页类似地定义类似地定义 的二阶导数的二阶导数 在点在点 的导数为的导数为或或 或或在点在点 的的三阶导数三阶导数,记作记作:一般地一般地,的的 阶导数阶导数 在点在点 的导数称为的导数称为在点在点 的的 阶导数阶导数(简称为简称为 阶导数阶导数),记作记作:或或 或或现在学习的是第51页，共74页二阶及二阶以上的导数统称为二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数,函数函数现在学习的是第52页，共74页例例13.求下列函数的求下列函数的 阶导数阶导数:解解:一般地一般地,可得可得:现在学习的是第53
13、页，共74页特别特别,特别特别,现在学习的是第54页，共74页一般地一般地,可得可得:类似地类似地,可得可得:现在学习的是第55页，共74页定理定理2.42.4现在学习的是第56页，共74页例例 14.,求求 .解解:设设 则则于是于是,现在学习的是第57页，共74页解解:例例15.求下列函数的求下列函数的 n 阶导数阶导数:现在学习的是第58页，共74页例例16.解解:p p2x,16cos)1()2(xxynn-=现在学习的是第59页，共74页6.6.隐函数求导法隐函数求导法显函数显函数隐函数隐函数链式法则链式法则现在学习的是第60页，共74页例例17现在学习的是第61页，共74页解：方程
14、两边对解：方程两边对 求导，得：求导，得：在点在点 处切线斜率处切线斜率 法线斜率法线斜率 因此所求切线与法线方程分别为因此所求切线与法线方程分别为 与与例例18现在学习的是第62页，共74页解：应用隐函数的求导法解：应用隐函数的求导法,得得 上式两边再对上式两边再对 求导求导,得得:例例19现在学习的是第63页，共74页7.7.由参数方程确定的函数的求导法则由参数方程确定的函数的求导法则现在学习的是第64页，共74页现在学习的是第65页，共74页求求解解:例例20.设设现在学习的是第66页，共74页故所求的切线方程为：故所求的切线方程为：与与相对应的点为相对应的点为例例21.已知三叶玫瑰线已
15、知三叶玫瑰线时，时，求求曲线上相应点处的切线方程。曲线上相应点处的切线方程。解：解：现在学习的是第67页，共74页8.8.相关变化率（自学内容）相关变化率（自学内容）相关变化率相关变化率现在学习的是第68页，共74页 例例22.一气球从离开观察员一气球从离开观察员 500米处离地面米处离地面铅直上升铅直上升 其速率为其速率为 140 米米/秒秒。当气球高度为。当气球高度为 500 米时米时 ，观察员视线的仰角增加率是多少，观察员视线的仰角增加率是多少？解：设气球上升解：设气球上升 t 秒后其高度为秒后其高度为 h，观察员的仰角观察员的仰角其中其中都是时间都是时间 t 的函数。的函数。现在学习的
16、是第69页，共74页上式两边对上式两边对 t 求导，得求导，得：即观察员视线的仰角增加率是即观察员视线的仰角增加率是 0.143 弧度弧度/秒秒。代入上式得代入上式得现在学习的是第70页，共74页 例例 23.甲船向正南乙船向正东直线航行甲船向正南乙船向正东直线航行,开始开始时甲船恰在乙船正北时甲船恰在乙船正北 40 km处处,后来在某一时刻后来在某一时刻测得甲船向南航行了测得甲船向南航行了 20 km,此时速率为此时速率为 15km/h;乙船向东航行了乙船向东航行了15 km,此时速率为此时速率为 25km/h。问问这时两船是在分离还是在接近这时两船是在分离还是在接近，速率是多少，速率是多少
17、？上式两边对上式两边对 t 求导求导，得，得 解：如图解：如图，设在任一时刻，设在任一时刻 t 甲船甲船航行的距离为航行的距离为 x(t)，乙船航行的距离乙船航行的距离为为 y(t)，两船的距离为两船的距离为 z(t),则则现在学习的是第71页，共74页已知已知:当当时时,代入上式代入上式,得得因为因为,所以观测时两船相距所以观测时两船相距 25 里里,正以正以3 km/h 的速率彼此远离的速率彼此远离。现在学习的是第72页，共74页 习题习题2.1 P.90-9125.(5)(6)26.(1).27.(2)28.(2)29.31.(6)(7)32.(2)(3)(6)37.(2)41现在学习的是第73页，共74页感谢大家观看现在学习的是第74页，共74页