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1、13 二月 20231一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有第1页/共36页13 二月 20232说明:使偏导数都为 0 的点称为驻点.例如,函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故定理1(必要条件)第2页/共36页13 二月 20233时,具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续
2、偏导数,且令则:1)当A0 时取极小值.2)当3)当这个定理不加证明.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理2(充分条件)第3页/共36页13 二月 20234第4页/共36页13 二月 20235例1.1.求函数解:第一步 求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步 判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数第5页/共36页13 二月 20236在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;第6页/共36页13 二月 20237例2.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)
3、点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有 可能为第7页/共36页13 二月 20238二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P 时,为极小 值为最小 值(大)(大)依据第8页/共36页13 二月 20239提示:首先考察函数z在三角形区域D内的极值其次，考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值.第9页/共36页13 二月 202310首先考察函数Z在三角形区域D内的极值.令 解此方程组，得到D内的驻点为(2,1).解:令第10页/共36页
4、13 二月 202311其次，考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值.（1）在x=0上,z=0;（2）在y=0上,z=0;（3）在x+y=6上,解得驻点x=0和x=4 比较得最大值为4，最小值为64.第11页/共36页13 二月 202312把它折起来做成解:设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面例4 有一宽为 24cm 的长方形铁板,第12页/共36页13 二月 202313令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.第13页/共36页13 二月 202314二、条件极值 拉格
5、朗日乘数法极值问题无条件极值:条 件 极 值:条件极值的求法:方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化第14页/共36页13 二月 202315例解第15页/共36页13 二月 202316如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有方法2 拉格朗日乘数法.第16页/共36页13 二月 202317引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.第17页/共36页13 二月 20231
6、8拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如,求函数下的极值.在条件推广第18页/共36页13 二月 202319例5 要设计一个容积为 V 的长方形无盖水箱,试 问长、宽、高各等于多少时,可使得表面积达到 最小?若设长、宽、高各等于 x,y,z,则 目标函数:约束条件:第19页/共36页13 二月 202320例5 解 此例以往的解法是从条件式解出显函数,例如 代入目标函数后,转而求解 的普通极值问题.可是这样做并不总是方便的,而 且往往无法将条件式作显化处理,更不用说多个条 件式的情形了.现在的新办法是设辅助函数并求解以下方程组:第20页/
7、共36页13 二月 202321两两相减后立即得出 再代入第四式,便求得 为消去 ,将前三式分别乘以 x,y,z,则得 第21页/共36页13 二月 202322得唯一稳定点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.第22页/共36页13 二月 202323解则由(1)，(2)得由(1)，(3)得第23页/共36页13 二月 202324将(5)，(6)代入(4)：于是
8、，得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以，最大值就在这个可能的极值点处取得。故，最大值第24页/共36页13 二月 202325例6 解 这里有两个条件式,需要引入两个拉格朗 日常数;而且为了方便计算,把目标函数改取距离 目标函数:约束条件:的平方(这是等价的),即设 第25页/共36页13 二月 202326求解以下方程组:由此又得 再代入条件 式,继而求得:(这里 否则将无解)第26页/共36页13 二月 202327故原点至已知曲线上点的最小距离与最大距离分 别为 最后得到 第27页/共36页13 二月 202328注意:应用拉格朗日乘数法求解条件极值问题，产生
9、的方程组变量个数可能比较多，似乎解这个方程组往往是很困难，但注意我们可以利用变量之间的关系(也就是问题给出的条件)，找到解方程组的简便方法，而不是要用死板的方法去解方程组.第28页/共36页13 二月 202329内容小结1.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法第29页/共36页13 二月 202330设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组在条件求驻点.3.函数的最值问题第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义
10、确定最值第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件)第30页/共36页13 二月 202331作业习 题 7-8 P116 2;8第31页/共36页13 二月 202332已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点 C,使ABC 面积 S最大.思考练习解答提示:设 C 点坐标为(x,y),则 第32页/共36页13 二月 202333设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停第33页/共36页13 二月 202334备用题 1.求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉格朗日函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为 第34页/共36页13 二月 202335为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?提示:目标函数:约束条件:答案:即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以第35页/共36页13 二月 202336感谢您的观看！第36页/共36页